Từ một điểm M tựy ý trờn đường thẳng d và ở ngoài đường trũn O vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường trũn O, P, N là hai tiếp điểm.. Dựng vị trớ điểm M trờn đường thẳng d sao cho tứ giỏc
Trang 1Phòng GD-ĐT Triệu Sơn kỳ thi chọn học sinh giỏi toán 9 (đề số 5)
năm học : 2008 - 2009
Môn : Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút: Vòng 2)
Bài 1 (4 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:
1. 4 4 x2 4 x4 16 4 x 1 x2 y2 2 y 3 5 y
2 x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyờn)
Bài 2: (3.0 điểm)
Căn bậc hai của 64 cú thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4
Hỏi cú tồn tại hay khụng cỏc số cú hai chữ số cú thể viết căn bậc hai của chỳng dưới dạng như trờn và là một số nguyờn? Hóy chỉ ra toàn bộ cỏc số đú.
Bài 3: (3 điểm)
Cho a3+b3+c3= 3abc 0 Tính giá trị của biểu thức :
Bài 4: (5 điểm)
Cho đường trũn (O; R) và đường thẳng d khụng đi qua O cắt đường trũn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M tựy ý trờn đường thẳng d và ở ngoài đường trũn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường trũn (O), (P, N là hai tiếp điểm).
1 Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB
2 Dựng vị trớ điểm M trờn đường thẳng d sao cho tứ giỏc MNOP là hỡnh vuụng.
3 Chứng minh rằng tõm của đường trũn đi qua 3 điểm M, N, P luụn chạy trờn đường thẳng cố định khi M di động trờn đường thẳng d.
Bài 4: (3 điểm)
Trờn mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường trũn (K) cú đường kớnh
OP Trờn trục hoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0) Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường trũn (K) tại A; B ; C Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC theo a; b; c.
Bài 5: (2 điểm) Cho a, b, c > 0
Chứng minh rằng: 19b - a3 23 + 19c - b3 23 + 19a - c3 23 3(a + b + c)
ab + 5b cb + 5c ac + 5a
Hết./.
Hớng dẫn chấm: đề số 5
Trang 2Bài 1 1.1
2đ
Điều kiện :
2 2
x x x
0,25
Từ (2) (x2 – 4)(x2 + 4) 0 x2 4 0 kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 0,5 Thay vào (4): y2 – 2y + 1 0 ; Đỳng với mọi giỏ trị của y 0,5 Thay x = 2 vào phương trỡnh và giải đỳng, tỡm được y = 1,5 0,5 Vậy nghiệm của phương trỡnh: (x = 2; y = 1,5) 0,25 1.2
2đ
Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
x2 – 2y – 5 = 0 x2 = 2y2 + 5 x lẻ 0,5 Đặt x = 2k + 1 ; ( k Z) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 2y2 = 4k2 + 4k – 4
y2 = 2(k2 + k – 1) y chẵn
0,5
Đặt y = 2n; (n Z) 4n2 = 2(k2 + k – 1) 2n2 + 1 = k(k + 1) (*) 0,5 Nhỡn vào (*) ta cú nhận xột: Vế trỏi nhận giỏ trị lẻ, vế phải nhận giỏ trị chẵn (Vỡ k và k + 1 là hai số nguyờn liờn tiếp) (*) vụ nghiệm pt đó cho vụ nghiệm 0,5 Bài 2 3đ Gọi số cần tỡm là : ab 10 a b (a, b là số nguyờn và a khỏc 0) 0,25
Theo giả thiết: 10a b a b là số nguyờn, nờn ab và b là cỏc số chớnh phương, do đú: b chỉ cú thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
0,5
Ta cú: 10 a b a b 10 a b a 2 2 a b b 2 5 a b a2
(vỡ a 0)
0,5
Do đú a phải là số chẵn: a 2 k, nờn 5 b k 0,25 Nếu b 1 a 8 81 8 1 9 (thỏa điều kiện bài toỏn) 0,5 Nếu b 4 a 6 64 6 4 8 (thỏa điều kiện bài toỏn) 0,5 Nếu b 9 a 4 49 4 9 7 (thỏa điều kiện bài toỏn) 0,5 Bài 3 3đ
Biến đổi: B = a b b c a c
abc
Từ giả thiết: ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0
( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0 ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0
0,5
Vậy ta đợc a + b + c = 0 , hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0 0,25
* Với a + b + c = 0 , ta đợc a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b
Khi đó B = abc
abc
= - 1
0,5
* Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0 2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0 ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 Vậy a = b = c
1,0
Trang 3Khi đó B = 2 2 2 b c a
bca = 8
0,5
Bài 4
d
d '
D
B
I E N
P
H O
M
4.1
1đ
Ta cú: MN = MP (Tớnh chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh được 2 tam giỏc MAN và MNB đồng dạng 0,5
Suy ra: MA MN MN2 MP2 MA MB
0,5
4.2
2đ Để MNOP là hỡnh vuụng thỡ đường chộo OM ON 2 R 2 0,5 Dựng điểm M: Ta dựng hỡnh vuụng OADC, dựng đường trũn tõm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M 0,5 Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta cú MN MO2 ON2 R, nờn Tam giỏc ONM vuụng cõn tại N Tương tự, tam giỏc OPM cũng vuụng cõn tại P Do đú MNOP là hỡnh vuụng
0,5
Bài toỏn luụn cú 2 nghiệm hỡnh vỡ OM R 2 R 0,5 4.3
2đ
+ Ta cú: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nờn M, N, O, P cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh
OM Tõm là trung điểm H của OM Suy ra tam giỏc ba điểm M, N, P thuộc đường trũn đường kớnh
OM, tõm là H
0,5
+ Kẻ OE AB, thỡ E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ HL ( ) d thỡ HL // OE, nờn HL là đường trung bỡnh của tam giỏc OEM, suy ra: 1
2
HL OE (khụng đổi)
1,0
+ Do đú, khi M đi động trờn (d) thỡ H luụn cỏch dều (d) một đoạn khụng đổi, nờn H chạy trờn đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE cố định 0,5 Bài 5
Trang 4x c
b a
1
C
B A
O K P
Nối AO, xét tam giác vuông POM có OA là đường cao Theo hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng ta có: PO2 = PM PA
1 1
PA
1,0
Áp dụng hÖ thøc trong tam gi¸c vu«ng vào: POM và PON lại có: PA PM = PB PN ( = PO2)
PA PB
PN PM mà góc APB chung APB ~NPM(c.g.c)
.
(1 )(1 )
a b
AP NM AB
1,0
Tương tự tính được : AC = 2 2
( 1)( 1)
a c
0,5
BC = 2 2
( 1)( 1)
b c
0,5
Bµi 6 2® Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab
(a + b)(a + b - ab) ab(a + b) a + b ab(a + b)
0,25
2
a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - a b(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - a b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a
b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a 19b - a
4b - a
ab + 5b
1,0
Tương tự với a, b, c > 0 thì:
19c - b 19a - c
4c - b; 4a - c
cb + 5c ac + 5a
0,5
Từ đó ta có BĐT cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 0,25