THI HS Toán lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề bài Bài 1 ( 5 điểm ) Cho biểu thức A = a a a a aa a + + + 3 12 2 3 65 92 với 9,4,0 aaa . a, Rút gọn biểu thức A. b, Tìm giá trị của a để A< 1. c, Tìm giá trị nguyên của a để A có gía trị là một số nguyên. Bài 2 ( 4 điểm ) Cho hệ phơng trình +=+ = 12 2 ayx ayax a, Giải hệ phơng trình khi 2 = a . b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn 1 = yx . Bài 3 ( 3 điểm ) Cho bốn số thực dcba ,,, thoả mãn đồng thời: 7 =+++ dcba và 13 2222 =+++ dcba . Hỏi a có thể nhận giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Bài 4 ( 4 điểm ) Từ điểm K bất kì trên đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R. Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đờng tròn. Giả sử góc KAB bằng độ ( 0 < < 90 ). a, Tính KA, KB, KH theo R và . b, Tính KH theo R và 2 . c, Chứng minh rằng: cos 2 = 1 2sin 2 cos 2 = 2 cos 2 - 1 Bài 5 ( 4 điểm )Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên đờng tròn. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MA, BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C. Chứng minh rằng: a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM. b, BC song song với MA. c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đờng tròn cố định. hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 9 Bài 1( 5 điểm ) a, ( 2 điểm ) Với a 0 và a 4 ; a 9 thì A = )3)(2( )2)(12()3)(3(92 +++ aa aaaaa 0,5đ = )3)(2( 242992 +++ aa aaaaa 0,5đ = )3)(2( 2 aa aa 0,25đ = )3)(2( )2)(1( + aa aa 0,5đ = 3 1 + a a 0,25đ b, (1 điểm) Với a 0 và a 4 ; a 9 thì A < 1 3 1 + a a < 1 0 3 31 < ++ a aa 3 4 a < 0 0,5đ 03 < a 3 < a a < 9 0,25đ Kết hợp với điều kiện ta có 90 < a và a 4 0,25đ c, (2 điểm) Ta có A = 3 4 1 + a 0,5đ Với a nguyên, a 0 và a 4 ; a 9 thì A có giá trị nguyên khi và chỉ khi 3 a là ớc của 4 0,25đ Do đó 3 a nhận các giá trị ;1 2 ; 4 ;1 0,5đ Từ đó a nhận giá trị : 1; 4; 16; 25; 49 0,5đ Vì a 4 nên a nhận các giá trị 1; 16; 25; 49 0,25đ Bài 2 (4 điểm) a, (2 điểm) Thay a = 2 vào hệ phơng trình đợc: +=+ = 122 222 yx yx 0,25đ +=+ = 22224 222 yx yx 0,25đ = += 222 223)42( yx x 0,25đ Tìm đợc 42 223 + = x 0,5đ Tìm đợc 42 232 + = y 0,5đ KL 0,25đ b, (2 điểm) Từ x y = 1 y = x 1 thay vào hệ PT đợc +=+ = 1)1(2 )1(2 axx axax 0,25đ += = 2 2)2( ax axa a 2 + a - 6 = 0 0,5đ (a 2)(a + 3) = 0 0,5đ Tìm đợc a= -3; 2 0,5đ KL 0,25đ Bài 3 (3 điểm) Từ a +b+c+d = 7 b+c+d = 7 a 0,25đ (b+c+d) 2 = b 2 + c 2 + d 2 + 2bc +2cd + 2bd 0,25đ mà (b c ) 2 0 ; (c - d ) 2 0 ;(d - b ) 2 0 ; b 2 + c 2 2bc; c 2 + d 2 2cd; d 2 + b 2 2bd; 0,75đ Từ đó (b+c+d) 2 3(b 2 + c 2 + d 2 ) 0,5đ (7 - a) 2 3(13 a 2 ) 0,25đ (a 1)(a- 2 5 ) 0 0,5đ Tìm đợc 1 a 2 5 0,25đ do đó a có thể nhận giá trị lớn nhất là 2 5 0,25đ Bài 4 (4 điểm) a, (1,5 điểm) Lập luận đểcó AKB = 90 0 (0,25đ); KAB = KBH (0,25đ); Xét AKB vuông tại H có KA = AB cos = 2R cos (0,25đ); KB = AB sin = 2R sin (0,25đ); Xét KHB vuông tại H có KH = KB sin (0,25đ) = 2R sin 2 (0,25đ); b, (1 điểm) Vẽ KO; KC AB xét KCO vuông tại C có OC = OK cos2 (0,5đ); Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2 = R(1 - cos2 ) (0,25đ); c, (1,5 điểm) Theo câu a có KH = 2R sin 2 theo câu b có KH = R(1 - cos2 ) (0,25đ); nên 2R sin 2 = R(1 - cos2 ) (0,25đ) do đó cos2 = 1 - 2sin 2 (0,25đ); x H K C O B A Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng minh đợc sin 2 + cos 2 = 1 nên sin 2 = 1 - cos 2 (0,25đ); Từ đó có cos2 = 1 2(1 cos 2 ) = 2 cos 2 - 1 (0,5đ); Bài 5 (4 điểm) a, (2 điểm) Chứng minh đợc IAK đồng dạng với IBA (0,5đ) IA 2 = IK.IB , mà I là trung điểm của AM nên IM 2 = IK.IB (0,5đ) Chứng minh đợc MIK đồng dạng với BIM (1đ) b, (1điểm) Từ câu a IMK = MBI , lại có MBI = BCK(0,5đ); IMK = BCK BC // MA(0,5đ); c, (1 điểm) H là trực tâm của MAB tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ); AH = AO =R H (A;R) cố định C K I O B x M A . THI HS Toán lớp 9 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề bài Bài 1 ( 5 điểm ) Cho biểu thức. Kết hợp với điều kiện ta có 90 < a và a 4 0,25đ c, (2 điểm) Ta có A = 3 4 1 + a 0,5đ Với a nguyên, a 0 và a 4 ; a 9 thì A có giá trị nguyên khi và