SKKN bài toán cực trị lớp 10

Khi trong một bài toán vật lý yêu cầu tìm cực trị cực đại hoặc cực tiểu – của một đại lượng vật lý, các bạn học sinh thường nghĩ ngay đến việc dùng đạo hàm, cụ thể là lấy đạo hàm của đại lượng đó rồi cho bằng không. Việc biết tính thành thạo đạo hàm thì tất nhiên là rất có lợi, nhưng điều đó chỉ có được đối với các học sinh ở lớp cuối cấp THPT, nhưng ngay cả các HS lớp dưới cũng hay gặp các bài toán về cực trị, đặc biệt là trong các kì thi học sinh giỏi, mà học sinh thường chưa được học đạo hàm. Hơn nữa, lời giải dùng đạo hàm không phải bao giờ cũng là đơn giản nhất và đẹp nhất. Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bạn “Một số phương pháp tìm cực trị trong bài toán động học và động lực học chất điểm” mà không dùng đạo hàm. Sử dụng đạo hàm ẩn có ý nghĩa vật lý. Ví dụ, cực trị của tọa độ đạt được khi hình chiếu của vật tốc bằng không; cực trị của vận tốc đạt được khi gia tốc bằng không… Khảo sát tam thức bậc hai, công thức có sẵn về đỉnh của parabol, tìm nghiệm tam thức. Sử dụng biến đổi lượng giác và các cực trị của hàm lượng giác. Ví dụ, nếu hàm khảo sát dẫn đến hàm số sin của một biến góc, thì cực đại đạt được khi sin bằng 1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacốpki. Chuyển về hệ quy chiếu khác. Trong hệ quy chiếu mới việc tìm cực trị có thể dễ hơn rất nhiều. Sử dụng phương pháp đồ thị. Khi đó việc tìm cực trị quy về một phép dựng hình đơn giản. Phương pháp biến thiên nhỏ. Với biến thiên nhỏ của tham số, độ biến thiên của đại lượng cần khảo sát phải bằng không.

MỞ ĐẦU

1 Đặt vấn đề

Khi trong một bài toán vật lý yêu cầu tìm cực trị - cực đại hoặc cực tiểu – của một đại lượng vật lý, các bạn học sinh thường nghĩ ngay đến việc dùng đạo hàm, cụ thể là lấy đạo hàm của đại lượng đó rồi cho bằng không Việc biết tính thành thạo đạo hàm thì tất nhiên là rất có lợi, nhưng điều đó chỉ có được đối với các học sinh ở lớp cuối cấp THPT, nhưng ngay cả các HS lớp dưới cũng hay gặp các bài toán về cực trị, đặc biệt là trong các

kì thi học sinh giỏi, mà học sinh thường chưa được học đạo hàm Hơn nữa, lời giải dùng đạo hàm không phải bao giờ cũng là đơn giản nhất và đẹp nhất

Trong bài này tôi sẽ giới thiệu các bạn “Một số phương pháp tìm cực trị trong bài toán động học và động lực học chất điểm” mà không dùng đạo hàm

- Sử dụng đạo hàm ẩn có ý nghĩa vật lý Ví dụ, cực trị của tọa độ đạt được khi hình chiếu của vật tốc bằng không; cực trị của vận tốc đạt được khi gia tốc bằng không…

- Khảo sát tam thức bậc hai, công thức có sẵn về đỉnh của parabol, tìm nghiệm tam thức

- Sử dụng biến đổi lượng giác và các cực trị của hàm lượng giác Ví dụ, nếu hàm khảo sát dẫn đến hàm số sin của một biến góc, thì cực đại đạt được khi sin bằng 1

- Sử dụng bất đẳng thức Cô-si, Bunhia-cốpki

- Chuyển về hệ quy chiếu khác Trong hệ quy chiếu mới việc tìm cực trị có thể dễ hơn rất nhiều

- Sử dụng phương pháp đồ thị Khi đó việc tìm cực trị quy về một phép dựng hình đơn giản

- Phương pháp biến thiên nhỏ Với biến thiên nhỏ của tham số, độ biến thiên của đại lượng cần khảo sát phải bằng không

2 Mục tiêu nghiên cứu

- Một số phương pháp giải bài toán cực trị trong bài tập vật lý

- Tìm lời giải đẹp nhất trong một số bài toán cực trị

3 Phương pháp nghiên cứu

- Tìm tài liệu từ sách bài tập, sách bồi dưỡng HS giỏi, mạng internet

- Tổng hợp tài liệu và phân loại các phương pháp giải bài toán cực trị

4 Giới hạn (phạm vi) nghiên cứu

Chỉ tìm hiểu về phương pháp cực trị vận dụng giải các bài tập phần động học chất

điểm và động lực học chất điểm cho các em HS mới bắt đầu tiếp xúc với các bài toán cực trị

5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu.

- Một số phương pháp để giải bài toán cực trị

- Lời giải đẹp trong bài toán cực trị

I Cơ sở lý thuyết

1 Phương trình bậc hai

Ta có phương trình y = f(x) = ax2 + bx + c = 0

 = b2 – 4.a.c

- Nếu:  > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt: x =

2

b a

 � 

- Nếu  = 0: phương trình có nghiệm kép: x = -

2

b a

- Nếu  < 0: phương trình vô nghiệm

* Cực trị của tam thức bậc hai

+ a > 0 thì ymim = 

4a

 khi x =

-2

b

a + a < 0 thì ymax = 

4a

 khi x =

-2

b a

* Định lí Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và

x2 thì:

x1 + x2 = -

2

b

a và x1.x2 = c

a

2 Bất đẳng thức

* Bất đẳng thức Cô – si ( Cauchy)

- Cho hai số dương a và b, ta có: a + b  2 a b  min

max

( )

2

a b

a b

� dấu “ =” xảy ra khi a = b

- Áp dụng cho n số hạng (ai > 0): a1 + a2 +…+ an  n n 1 2

n

a a a

dấu “ =” xảy ra khi a1 = a2 = … = an

a > 0

O

x

y

ymim

- b/2a

x

y

a < 0

O

ymax

- b/2a

* Bất đẳng thức Bunhia – cốp ki (Bunyakovsky)

- Ta có: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²  m ax 2 2 2 2

min

� dấu “ =” xảy ra khi c

a= b

d

- Có 2n số thực (n  2): Với hai bộ số a1, a2,…, an và b1, b2,…, bn ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 1

1

a

2

a

b = …= n

n

a b

3 Các công thức lượng giác thường dùng

a Công thức cộng:

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb

tan(a - b) = sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb

tan(a + b) = sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

b Công thức nhân đôi :

sin2x = 2sinxcosx cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - 1 = 1 – 2sin2x

tan2x = 2

2 1

tanx tan x

2

cot x cotx



c Công thức hạ bậc:

os

2

cos x

sin

2

d Công thức tích thành tổng.

cosxcosy= 1 ( ) ( )

2

1

y x Sin y x

sinxsiny= 1 ( ) ( )

e Công thức tổng (hiệu) thành tích:

sinx + siny = 2sin

cos

� � � � sinx – siny = 2 os

cosx + cosy = 2cos

cos

� � � � cosx – cosy = 2sin

sin

tanx + tany = sin x ycos(xcosy )

tanx – tany = cossin x y(xcosy ) cotx + coty = sin x ysin(xsiny )

cotx – coty = sin y xsin(xsiny )

f Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a2 b2 �c2

ách giải : Chia hai vế phương trình cho a2 b2 , ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

a b  a b  a b

Đặt: 2a 2 cos ; 2b 2 sin

a b   a b  

  Khi đó phương trình tương đương:

cos sinx sin cosx 2c 2

a b

 hay sinx  2c 2 sin

a b



II Các bài toán minh họa

* Bài toán 1: Một xe ô tô tới gần điểm A với tốc độ v1 = 80m/s Tại thời điểm khi còn đi L

= 10km nữa, thì từ A một xe tải đi ra theo phương vuông góc với tốc độ v2 =60m/s Hỏi

khoảng cách ngắn nhất giữa xe ô tô và xe tải bằng bao nhiêu?

Giải

- Dễ dàng thấy rằng khoảng cách giữa ô tô và xe tải có một cực tiểu - ban đầu khoảng cách đó giảm khi xe ô tô tới gần A thì khoảng cách đó tăng lên Sự phụ thuộc của khoảng cách (mà đúng hơn là bình phương khoảng cách) giữa ô tô và xe tải vào thời gian

có dạng

s2 = (L - v1t)2 + (v2t)2 = (v1 + v2)t2 - 2Lv1t + L2

- Đơn giản hơn cả là xét cực tiểu của hàm này nhờ đạo hàm Lấy đạo hàm rồi cho

bằng 0, ta được:

t = , s = = 6km

- Hoặc có thể tách riêng phần có chứa t thành dạng bình phương một tổng, ta có

s2 = (

- Thấy ngay s2 cực tiểu khi biểu thức trong ngoặc thứ hai bằng 0 Từ đó ta nhận lại

được các kết quả trên

- Ta cũng có thể dùng tam thức bậc 2 Xét phương trình

(

Nếu s là cực tiểu cố định thì phương trình trên phải có nghiệm duy nhất, tức là biệt thức Δ của nó phải bằng 0 Kết quả ta sẽ nhận được giá trị của s đúng như đã tìm được ở trên (bạn hãy thử kiểm tra xem!)

- Tuy nhiên, lời giải đẹp và ngắn gọn nhất là

dựa trên sự chuyển HQC về hệ gắn với một trong

hai xe, ví dụ là xe ô tô Khi đó trong HQC này xe tải

chuyển động với vận tốc không đổi bằng

tức là theo đường thẳng đứt nét vẽ trong H.1

Khoảng cách cực tiểu giữa o tô đứng yên (trong

HQC này) và xe tải có thể tìm được bằng cách dựng

s = Lsinα =

* Bài toán 2: Người ta phóng một vật từ dưới lên trên theo một tấm ván nghiêng với vận

tốc nhỏ nhất đủ để vật lên được tới mép trên của tấm ván Hỏi với góc nghiêng của tấm

ván bằng bao nhiêu thì thời gian chuyển động của vật là nhỏ nhất? Tính thời gian đó Biết

hệ số ma sát của vật và tấm ván là μ = 0,75, và chiều dài tấm ván là l = 4m

Giải

- Khử v0 từ các công thức động học

0 = v0 - at, l = v0t - ta nhận được t =

- Như vậy để t là nhỏ nhất thì gia tốc a

của vật phải lớn nhất Từ các phương trình

động lực học:

mgsinα + Fms = ma

N - mgcosα = 0

- Ta tìm được a = g(sinα + μcosα)

- Để tìm cực đại của a, ta có thể dùng đạo hàm, ta được: tan = 1/

 a = g

- Mà cũng có thể dùng biến đổi, sau đó biện luận dựa trên giá trị của sin hoặc cos:

A

1

v

2

v r

21

v r

1

L

s



H.1









x y

sinα + μcosα = ( sinα + cosα ) = sin(α+β)

với β = arccos(1/ )

- Cực đại của biểu thức trên bằng , đạt được khi sin(α+β) = 1 Do đó gia tốc cực đại bằng amax = g

- Và do đó thời gian cực tiểu: tmin = = = 0,8 s

- Cũng có thể dựa vào bất đẳng thức Bunhia – cốp ki, gia tốc a cực đại khi:

sinα + μcosα  (sinα + μcosα)max khi tan = 1/

 a = g Và do đó thời gian cực tiểu: tmin = = 0,8 s

Và theo tôi đây cũng là lời giải đẹp nhất cho loại bài toán cực trị này.

* Sau đây là một số bài toán về cực trị có lời giải đẹp nhất đối với tôi:

* Bài toán 3: Hãy xác định vận tốc cực tiểu phải truyền cho quả bóng chuyền để khi nảy

từ chính mặt đất nó có thể bay qua lưới với độ cao h = 2,5m, đặt cách nơi bóng đập vào đất s = 6m

Giải

- Ta viết phương trình chuyển động của quả bóng tại thời điểm nó sượt qua điểm cao nhất của lưới chiếu trên trục nằm ngang và thẳng đứng

s = (v0cosα)t, h = (v0sinα)t -

- Rút t từ phương trình thứ nhất, rồi thay vào phương trình thứ hai, ta được

h = s.tanα - = s.tanα - (tan2α +1)

- Nếu từ đó rút ra v02 và phân tích cực tiểu như hàm của tanα thì tính toán sẽ rất cồng kềnh Bởi vậy chúng ta sẽ dùng phương pháp đã chứng tỏ là có hiệu quả mà ta đã

trình bày ở trên, cụ thể là xét công thức của v0 như phương trình đối với tanα với v0 đã

cho Đối với giá trị cực tiểu của vận tốc v 0 = v min , phương trình phải chỉ có 1 nghiệm:

- Đối với v2

min, ta nhận được phương trình bậc hai, giải ra ta được:

v2 min = g

- Thay số vào, ta có vmin = ≈ 9,5m/s

* Bài toán 4: Hai chất điểm chuyển động đều với vận tốc v1 và v2 dọc theo hai đường thẳng vuông góc với nhau và về giao diểm O của hai đường ấy Tại thời điểm t=0 hai

chất điểm cách điểm O các khoảng l1 và l2 Sau thời gian bao nhiêu khoảng cách giữa hai

chất điểm là cực tiểu và khoảng cách cực tiểu ấy bằng bao nhiêu ?

Giải

- Chọn gốc tọa độ O tại giao điểm của 2 đường.

- Ta có: x1 = l1 – v1.t; x2 = l2 – v2.t

- Khoảng cách giữa hai chất điểm: d2 = x1 + x2 = (l1 – v1.t)2 + (l2 – v2.t)2

= (v12 + v22).t2 – 2(l1.v1 + l2.v2).t + l12 + l22

- Ta có: v1 + v2 > 0 nên y = (d2)min khi:

t = -

2

b

a = 1 12 2 22



  d mim = 

4a



= 1 22 2 12





* Bài toán 5: Hai chất điểm chuyển động thẳng đều trên hai

trục Ox và Oy vuông góc với nhau Tại thời điểm t = 0, vật 1

đang ở A cách O một đoạn l1, vật 2 đang ở B cách O một đoạn

l2, hai vật cùng chuyển động hướng về O với các vận tốc v1 và

v2

a Tìm điều kiện để hai vật đến O cùng một lúc

b Cho l1 = 100 m, v1 = 4 m/s, l2 = 120 m, v2 = 3 m/s Tìm khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t = 10 s

c Với các dữ kiện như câu b Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật? Xác định vị

trí của vật 1 khi đó ?

O

x y

1

v r

B

A

l1

l2

2

v r

a Hai vật đến O cùng một lúc thì thời gian chuyển động của chúng phải bằng nhau:

v v

b Tại thời điểm t = 10 s khoảng cách từ các chất điểm đến O là:

x = l1 – v1.t = 60 m

y = l2 – v2.t = 90 m

* Khoảng cách giữa hai chất điểm

l x y � 108,17 m

c Khoảng cách hai vật

d  x  y  (100 4t)   (120 3t)   25t  1520t 24400 

Từ đây ta có d min = 

4a



= 36m, khi t = -

2

b

a = 30,4s.

 Vị trí của vật 1 là: x = l1 – v1.t = - 21,6 m

* Bài toán 6: Hai chiếc tàu biển chuyển động cùng vận tốc hướng tới điểm O trên hai

đường thẳng hợp nhau góc  = 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai con tàu.

Biết ban đầu chúng cách O những khoảng là a = 60 km, b = 40 km

Giải

* Phương pháp đại số

x = vt - 40 (1)

y = vt - 60 (2)

- Khoảng cách 2 tàu ở thời điểm t: d2 = x2+ y2 - 2xycosα mà α = 600 nên:

d2 = x2 + y2 - xy (3)

- Thay (1)(2) vào (3) ta có:

d2 = v2t2 - 100vt + 2800 (4)

- Vế phải (4) là tam thức bậc 2 có cực tiểu khi: t = (5)

dmin =

2

v r

1

v r

x

y

 d

* Phương pháp hình học: ( lời giải đẹp)

- Hệ qui chiếu B đứng yên:

- Vì v1 = v2 = v và α = 600nên ΔOAC là tam

giác đều

- Suy ra: BC = a - b = 20 km

dmin = BC sinα = ≈ 17,32 km

* Bài toán 7: Hai động tử M1, M2 đồng thời chuyển động trên hai đường thẳng đồng quy ( góc ) với v1 và v2 Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng và thời gian đạt khoảng cách

đó, biết khoảng cách ban đầu là l Biết một động tử xuất phát từ giao điểm của hai đường thẳng

Giải

* Cách 1: Tam thức bậc 2 ( phương pháp đại số)

- Phương trình tọa độ:

x = t - v2t (1)

- Khoảng cách giữa hai động trở ở thời điểm t:

d2 = x2 + y2 - 2xycosα (3)

- Thế (1) và (2) vào (3) ta được:

d2 = ( v12 + v22 + 2v1v2cosα)t2 - 2l(v1cosα + v2)t + t2 (4)

Vế phải (4) là tam thức bậc 2 có cực tiểu khi:

t = =

 dmin = =

1

v r

2

v

H

B

dmin



2

v r O

a



x

y

d

2

1

v r

l

* Cách 2: Phương pháp hình học

Chọn hệ qui chiếu đứng yên là động tử 2

Động tử 1 chuyển động trên AH

dmin = BH = l.sinβ (1)

Thế (2) (3) vào (1): dmin =

Thời gian để đạt được d' = dmin : t = =

với cos2β = 1 - sin2β = 1 sin2α = =

 cosβ =

Vậy t =

Biện luận:

- Nếu α = 900 dmin = Giống bài trước t

- Nếu α > 900 : để bài toán có nghĩa thì

t > 0 v1cosα + v2 > 0 v2 ≥ v1 |cosα|



x

y

dmin

2

1

v r

l 2

v

H

12

v r

* Bài toán 8: Một ô tô chuyển động từ A đến B dài L = 800 m Khởi hành từ A, ô tô

chuyển động nhanh dần đều, tiếp sau đó ô tô chuyển động chậm dần đều và dừng lại ở B Biết độ lớn gia tốc của xe không vượt quá ao = 2 m/s2

Hãy tính thời gian ngắn nhất mà ô tô chạy từ A đến B.

Giải

- Gọi a1, a2 là độ lớn gia tốc của ô tô trong hai giai đoạn

- Áp dụng: vmax2 = 2a1.s1 = 2a2.s2  1 2

a

a L

a a

 vmax2 = 1 2

2 .a a L

a a

- Mà: t = t1 + t2 = ax ax

2

L



- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si: 2 1

a  a  2

( trong trường hợp này ta có: 2 1

a a = 1  2 1



mà

2L

0

L a

- Vậy t cực tiểu khi: a1  a2 = a0  tmin = 2

0

L a

* Bài toán 9: Hai máng nhẵn AB và CE trong cùng một

mặt phẳng thẳng đứng, cùng tạo nên góc  so với phương

ngang Từ A và C đồng thời thả hai vật trượt không vận

tốc đầu Thời gian trượt từ A đến B và từ C đến E là t1 và

t2 Hỏi sau thời gian nào kể từ lúc bắt đầu chuyển động,

khoảng cách giữa hai vật là ngắn nhất?

Giải

- Theo định luật II Niu-tơn: Pr

+ Nr = m ar

(1)

- Chiếu (1) lên phương chuyển động: a1 = a2 = a = g.sin

A

B E

C





- Chọn gốc tọa độ O  C, chiều dương là chiều chuyển động, v0 = 0, AC = b;

s1 = s2 = x = 1

2a.t2 > 0

- Khoảng cách giữa hai vật: d2 = x2 + (b – x)2 – 2.x(b – x).cos

 d2 = b2 – 2x(b - x)( 1 – cos2)

 d2 = b2 – x(b – x).4sin2

dmin  [x(b – x)]max Theo BĐT cosi: x (b – x)  1

4.(x + b – x)2

 x (b – x)  2

4

b

[x(b – x)]max khi: x (b – x) =

2

4

b  x =

2

b

 b = 2x

 AB – CB = 2x

 AB – CE = 2x  1

2a.t12 - 1

2a.t22= 2 1

2a.t2  t = 12 22

2

t t

* Bài toán 10: Từ một điểm trên mặt đất người ta ném đồng thời hai vật với các vận tốc

ban đầu có cùng độ lớn v0 Vật A được ném lên thẳng đứng, vật B được ném xiên lên trên hợp với phương ngang một góc  Bỏ qua sức cản không khí

a Lập biểu thức tính khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm t kể từ lúc ném

b Để trong thời gian hai vật chuyển động khoảng cách giữa hai vật lớn nhất thì  phải bằng bao nhiêu?

Giải

a Phương trình tọa độ:

A

B E

C





x

x

 d

- Vật A: y1 = v0t -

2

g

t2; x1 = 0; t  2v0

g

- Vật B: y2 = v0tsin -

2

g

t2

; x2 = v0tcos ; t  2v0

g sin

- Khoảng cách giữa hai vật : d = 2 2

(y y ) x = 2 2

0 2v t ( 1 – sin )

b Từ điều kiện về thời gian ta có:

d2 = 2v0.t2(1 - sin)  04

2

8v

g sin2( 1 - sin)

 d2  04

2

32v

2

 sin 2

 ( 1 - sin)

- Theo bất đẳng thức Cô-si ta có : d2  04

2

32v

sin sin

27

 d2  04

2

32v

27  d  4 6 02

9

v g

 dmax =

2 0

4 6 9

v g

- Vậy: (

2 0

4 6

9

v

g )2=

4 0 2

8v

g sin2( 1 - sin)   = 41,80

* Bài toán 11: Cho cơ hệ như hình vẽ: Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2, giữa M

và m là k1.Tác dụng một lực Fr lên M theo phương hợp với phương ngang một góc  Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M và tính góc  tương ứng?

Hướng dẫn

* Xét vật m: P Nr1 r1Frms21 mar (1)

- Chiếu lên Ox: Fms21= ma 21

1

mn

F a m



�

- Chiếu lên Oy: N1 – P1 = 0 � N1 = P1  Fms21= k1.N1 = k1.mg

F r



M m

k mg

m

� Khi vật bắt đầu trượt thì thì a1 = k1mg

* Xét vật M: F Pr  r2 P Nr1 r2Frms12Frms M a.r2

- Chiếu lên trục Ox: Fcos F ms12F ms M a 2 12

2

a

M



�

- Chiếu lên Oy: Fsin(P P1 2)N2 0�N2   P P1 2 Fsin

- Ta có: F ms12 k mg1 ; F ms k N2 2 k P P2( 1 2 Fsin )

2

a

M



�

* Khi vật trượt: a1�a2 1 2 1 2

1

k g

M



1 (cos 2sin ) 1 2( 1 2)

ۣ

1 2 1 2

2

F



* Nhận xét: Fmin �ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:

2

�

* Vậy: min 1 2 2

2

1

F

k



sin

k

* Bài toán 12: Một hộp chứa cát ban đầu đứng yên, được kéo trên sàn bằng một sợi dây

với lực kéo F = 1000N, hệ số ma sát giữa hộp và sàn là 0,35 Lấy g = 10m/s2

a Hỏi góc giữa dây và phương ngang là bao nhiêu để kéo được lượng cát lớn nhất?

b Khối lượng cát và hộp trong trường hợp đó bằng bao nhiêu?

Giải

- Chọn hệ trục tọa độ xOy như hình vẽ

- Định luật II Niu-tơn: Nr

+ Pr + Fr + Frms

= m ar

(1)

- Chiếu ( 1) lên Oy: N = P - F.sin