Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học.
http://toanth.net/ Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên A Phương trình I Phương trình bậc hai ẩn: ax by c a, b, c 1 + Định lý: a, b số nguyên dương d a, b Khi 1 vơ nghiệm ngun c d vô số nghiệm nguyên c d Hơn x0 ; y0 nghiệm ngun 1 phương trình có nghiệm nguyên tổng quát là: b a x0 n; y0 n , n d d Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 18 x 15 y 2009 Giải Ta có: 18,15 2009 : 18 x 15 y 2009 x y 2009 Suy không tồn x, y nguyên thỏa mãn phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm ngun 15 x y 150 Giải y Ta có: 15 x y 150 x 10 Suy nghiệm nguyên phương trình là: y 5n, x 10 n B Một số dạng phương trình khác I Dạng 1: + Đưa phương trình cho dạng: f x g y k k với f x , g y đa thức hệ số nguyên, ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phương trình sau: f x m với k m.n g y n Những phương trình dạng : xy ax by c giải theo cách + Dùng tính chất chia hết thu hẹp điều kiện ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy x y Giải + xy x y y x 3 x y x 3 x 3 x 3 y Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Vì x, y x 3, y ta có: x x 1 x x 5 y y 5 y y 1 x x x x 2 y y 3 y y Vì nghiệm nguyên dương nên phương trình có nghiệm 4; , 8;3 2x 1 2 (vì x ) x3 x 3 x x y x 5 x 2 Vì y x 3 | x x y x 1 x y 3 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: 4; , 8;3 +Hoặc xy x y y x 3 x y I.1.Bài tập: 1.1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y 2009 Giải 2 x y x y x y 2009 Vì x, y x y , x y ta có: x y 2009 x y 2009 x y x y 1 x y x y 1 x y 2009 x y 2009 x 1005 x 1005 x 1005 x 1005 y 1004 y 1004 y 1004 y 1004 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình 1005,1004 1.2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 ( p số nguyên tố) x y p Giải Nhận xét x; y nghiệm y; x nghiệm 1 xy p x y x y p p y p p x p y p p x y p Vì x, y x p, y p đó: Võ Tiến Trình http://toanth.net/ x p p2 x p p2 x p p x p p y p 1 y p 1 y p p y p p x p2 p x p p2 x p x y p y y p 1 y p 1 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình p p; p 1 , p 1; p p , p; p 1.3) Tìm nghiệm ngun khơng âm phương trình 21x y xy 123 Giải 21x y xy 123 21x 126 y x 249 21 x y x 249 x y 21 249 Vì x, y x 6, y 21 ta có: 249 249.1 249 1 3.83 3 83 Vì x, y x 6, y 21 21 nên phươpng trình khơng có nghiệm ngun dương 1.4) Tìm nghiệm ngun khơng âm phương trình x2 x 1 y Giải 2 x x y x x y y x 1 y x 1 y x 1 2 y x y Vì y x y x y x nên 2 y x x Vậy nghiệm ngun khơng âm phương trình 0;1 1.5) Tìm nghiệm nguyên phương trình x x y 2 y Giải x x y y y 1 x x x Ta thấy x 1 không nghiệm phương trình, ta có: x2 x y x 1 x 1 x 1 Vì y x 1 | x 1; 2;1; 2 x 1 x 2 y 3 x 2 x 3 y 3 x 1 x y x 1 x y Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Vậy nghiệm nguyên phương trình 2; 3 , 3; 3 , 0;3 , 1;3 1.6) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 21xy Giải 3 x y 21xy x y xy x y x y 21xy 3xy x y x y 49 6 x y7 349 x y7 Vì xy x y | 349 x y 1; 349;1;349 + x y 1 x y 8 3xy 518 (loại 518 ) + x y 349 x y 356 3xy 129278 (lọai 129278 ) + x y x y 6 xy 222 xy 74 x y 6 Hệ vô nghiệm xy 74 + x y 349 x y 342 xy 114618 xy 38206 x y 342 Hệ vô nghiệm xy 38206 Vậy phương trình vơ nghiệm ngun II Dạng 2: Phương trình đối xứng Phương pháp: để giải phương trình nghiệm nguyên phương trình đối xứng: f x, y , z , ta giả sử x y z x max y, x, để thu hẹp miền giá trị biến Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y xy Giải Do vai trò x, y nhau, khơng tính tổng qt ta giả sử x y Chia hai vế phương trình cho xy ta được: 1 1 x y 1 2 Vì x y ta có: hay y mà y y 1, x y y y y x x phương trình vơ nghiệm y 2 x 2 Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: 2; II.1 Bài tập: 2.1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y z xyz 1 Giải Do vai trò x, y, z bình đẳng nên ta giả sử x y z Chia hai vế 1 cho xyz ta được: 1 1 yz zx xy 1 x3 x Do ta có: yz zx xy x x 1, y z yz z 1 y 1 * Giải * với điều kiện y z ta được: z 3, y Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: 1; 2;3 hốn vị 2.2) Một tam giác có số dộ dài ba đường cao số nguyên dương bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh tam giác tam giác Giải Gọi tam giác ABC Đặt a BC , b CA, c AB Gọi x, y, z tương ứng đường cao qua đỉnh A, B, C tam giác Vì bàn kính đường tròn nội tiếp nên: x 2, y 2, z Giả sử x y z 1 Diện tích tam giác ABC là: S ABC ax by cz 1 2 Mặt khác ta có: S ABC S BCI SCAI S ABI a b c với I tâm đường tròn nội tiếp Từ 1 ta có: a b c abc 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z 1 1 Do : z z Thay z vào ta được: x y z z x y x 1 x y xy x 3 y 3 x y ax by cx a b c a b c Võ Tiến Trình http://toanth.net/ 2 x 2 x x (loại) 2 y 2 y y Vậy x y z a b c Vậy tam giác ABC 2.3) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: x y xyz 1 Giải Do x, y có vai trò nên ta giả sử x y x Nếu x y ta có: x x z x xz xz x y 1, z Nếu x y từ 1 ta có: x xyz x y x xyz x yz + yx y z 1, 1 x x ! y 2, z x + yz y 1, z x Vậy nghiệm tự nhiên hệ là: 1;1;3 , 3; 2;1 , 2;3;1 , 2;1; , 1; 2; 2.4) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y xy 19 1 Giải Do vai trò x, y nên ta giả sử x y Từ 1 ta có: 19 x y xy x x 3x hay x 19 x x + x 1, y y 18 (không có nghiệm nguyên dương) + x 2, y y 15 y y 5 (loại) Vậy nghiệm nguyên dương phương trình 2;3 , 3; 2.5) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x y z xyz 20 1 Giải Do vai trò x, y, z bình đẳng nên ta giả sử x y z Ta có: 20 x y z xyz x x x hay x x + x 1, y z yz 19 y 19 y y Nếu y 1, z z 18 (khơng có nghiệm ngun dương) Nếu y 2, z z 15 z , có nghiệm 1; 2;3 + x 2, y z yz 16 y 16 y y Nếu y 1, z z 15 z ,có nghiệm 2,1, 3 Nếu y 2, z z 12 z , có nghiệm 2; 2; Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: 1; 2;3 hốn vị nó, 2; 2; III Dạng 3: Hạn chế tập nghiệm điều kiện ẩn Phương pháp: Để hạn chế tập nghiệm ta dùng bất đẳng thức kết hợp với điều kiện ẩn + Nếu số giá trị ẩn không nhiều ta dùng phương pháp thử trực tiếp + Dùng bất đẳng thức số giá trị ẩn nhiều Phương pháp ta có số ý sau: + Nếu vai trò biến dùng phương pháp giải phương trình đối xứng để giải + Nếu thấy ẩn có cấu trúc giống bậc, tích số ngun liên tiếp ta dùng nhận xét sau: n a) x n y n x a a * y x i, i 1; a b) x x 1 x n y y 1 y n x a x a 1 x a n y x i, i 1, a Ví dụ 3: a) Tìm nghiệm ngun phương trình x y 50 Giải Đk: x 50 x y 50 y 50 x y 50 x 10 x Vì y nguyên nên x 4k x 2k 2k 50 k 25 k 0;1; 2;3; 4;5 + k x y 50 + k x y 32 + k x y 18 + k x 18 y + k x 32 y + k x 50 y Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 0;50 , 50; , 2;32 , 32; , 8;18 , 18;8 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y x x 1 Giải 1 x y x4 x x4 x x 3 Do ta có: y x 1 y x 2 2 + y x 1 x 1 x x x y 25 2 + y x x x x2 x2 Võ Tiến Trình (loại) http://toanth.net/ Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 2;5 , 2; 5 , 2;5 , 2; 5 III.1 Bài tập: 3.1) Tìm nghiệm nguyên phương trình y x x x x 1 Giải Nếu x y 1 Xét x , từ 1 ta có: y x x x3 x4 x4 x3 x2 3x2 x x x 3x x x x y x x x3 x4 x4 x x3 x 8x x2 x2 x 5x2 x2 x 2 Do ta có: x x y x x y x x 1 Vậy ta có phương trình: x 1 1 x x x x x x 1 x x x + x 1 y + x y 112 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 0;1 , 0; 1 , 1;1 , 1; 1 , 3;11 , 3; 11 3.2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x x y x y 1 Giải 1 y y 16 x x 3x x y 1 Nếu x y y 16 y 7 Xét x Ta có: y x x x x x x x x x x x x2 x x x y 4 x x3 3x2 x x x x3 x2 x x 2 x x 3 x x x 3 Võ Tiến Trình 2 http://toanth.net/ Do ta có: x x y 2 y x x 1 x x 3 2 y x x 2 2 + y x x 1 x x 1 x x x x x 2 y 1 y 4 y 7 2 + y x x x x x x3 x x x x (không có nghiệm ngun) Vậy nghiệm ngun phương trình 0; 1 , 0; 7 , 2; 1 , 2; 7 3.3) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x xy y x y Giải 2 x xy y x y x y xy xy 1 x y x y xy 1 Mâu thuẩn x y nằm hai số phương liên tiếp 2 2 3.4) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x x y y 10 1 Giải: 1 y y 1 x x 10 Ta có: x x y y 1 x x 12 x x 1 y y 1 x 3 x Do ta có: y y 1 x 1 x y y 1 x x 3 + y y 1 x 1 x , ta có: x 1 x x x 10 x y y y 1 30 y 5 2 2 + y y 1 x x 3 , ta có: x x 3 x x 10 x y y y 1 12 y 3 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 2; , 2; 5 , 2; , 2; 5 , 1; , 1; 3 , 1; , 1; 3 IV Dạng Dùng phương pháp cực hạn Ví dụ Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun dương x2 y z t Võ Tiến Trình 1 http://toanth.net/ Giải Giả sử phương trình cho có nghiệm ngun dương, gọi x0 ; y0 ; z0 ; t0 nghiệm nguyên dương bé tập nghệm ngun dương phương trình Khi ta có x02 y02 z02 t02 So sánh hai vế ta có : z0 t0 3 z0 3 t0 2 Do z0 z1 , t0 3t1 thay vào trên: x02 y02 z12 t12 x02 y02 z12 t12 2 Ta lại có x0 y0 chia hết x0 y0 phải chia hết cho 3, gọi x0 x1 , y0 y1 thay vào (2) 2 2 Ta lại có: x1 y1 z1 t1 Vậy x1 , y1 , z1 , t1 nghiệm nguyên dương (1) x1 x0 ; y1 y0 ; z1 z0 ; t1 t0 Điều mâu thuẩn với tính nhỏ x0 ; y0 ; z0 ; t0 Vậy phương trình cho vơ nghiệm IV Bài tập 4.1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y 2 z t2 4.2)Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y z xyz (Gợi ý: chứng minh x, y , z chẵn) **Một số đề thi: 1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 1 11 x y z t Giải x, y , z , t nguyên dương, từ 1 ta có: x2 x 1, x 2, x 4, Võ Tiến Trình 1 1, 1, y z t 2 y 1, z 1, t y 2, z 2, t y 4, z 4, t 1, 10 http://toanth.net/ 1 1 1 1 1 x y z t 4 4 Dấu " " xảy nên x y z t Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: 2; 2; 2; Do ta có: 2) Tìm số ngun dương x, y, z cho: 13 x 23 y 33 z 36 Giải x y z 36 x y 27 z 36 Với x, y, z nguyên dương ta có: x 1, y 1, z 1 x 1, y 8, 27 x 27 Do đó: x y 27 z 27 36 Dấu " " xày nên x y z Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 1;1;1 3 3) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 17 y 34 xy 51 x y 1740 Giải Nhận xét: với số ngun x x dạng sau: x 17k r , r 0;1; 2;3; 4;5;6; 7;8 Do x 17t;17t 1;17t 4;17t 9;17t 16;17t 8;17t 2;17t 15;17t 13 , t Phương trình cho : x 17 y xy x y 1740 x 17 102 y xy x y Nhận thấy vế phải có dạng 17t x khơng có dạng 17t phương trình vơ nghiệm ngun 4) Có tồn tai hay không số nguyên x, y cho: x y 2007 Giải Giả sử tồn x, y nguyên thỏa mãn x y 2007 Suy y lẻ y lẻ nên y y1 1 y1 Ta có: x y1 1 2007 x y12 y1 2006 x y12 y1 1003 Suy x lẻ x lẻ nên x x1 1 x1 Ta có: x12 1 y12 y1 1003 x12 x1 y1 y1 1 1002 Vì y1 y1 1 x12 x1 y1 y1 1 1002 (vô lý) Vậy không tồn x, y nguyên thỏa mãn x y 2007 Võ Tiến Trình 11 http://toanth.net/ 5) Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy x 2006 y 12033 Giải xy x 2006 y 12033 x y 2006 y y x 2006 x 2006 y x 2005 y 3 x 2006 y x 2003 y 5 x 2006 1 y 3 x 2007 y 9 x 2006 3 y 1 x 2009 y 7 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 2005; 3 , 2003; 5 , 2007; 9 , 2009; 7 6) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 x y 7) Tìm nghiệm ngun khơng âm phương trình: y 1 y x 1 x Giải y 1 4 y x 1 x y y3 y y y x x x2 y4 y3 y2 y 1 2x2 2x y y y y y 1 x x 1 y y 1 x x x x số phương Mặc khác: x x x x x x 1 (do x số nguyên không âm) Vậy x x x 1 x Với x ta có: y y 1 y y y y 1 (loại) Vậy nghiệm nguyên không âm phương trình là: 0; 8) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 10 xy Giải x y x y 10 xy x y xy x y xy xy xy 1 x y Nếu x, y nghiệm nguyên phương trình xy xy 1 xy Do x, y nguyên nên có hai khả sau: Võ Tiến Trình 12 http://toanth.net/ + Nếu xy từ 1 ta có x y + Nếu xy từ 1 ta có x y 1 Vậy nghiệm nguyên phương trình : 0; , 1;1 , 1; 1 9) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2x y z 1184 với x y z 1184 1 x y z x y x Giải z x 25.37 Do y x z x số lẻ lớn 1, x lũy thừa 2 x 25 x Ta có: y 5 z 5 y x z x 1 37 2 36 Xét y 5 z 5 36 y 5 1 x 5 y 5 22.32 Do x 5 y 5 số lẻ, y 5 lũy thừa y y y Ta có: z y z 7 z 10 2 2 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình là: 5;7;10 10) Tìm số nguyên dương phân biệt thỏa: x y y x Giải x y y x x y x y x y x xy y x y 3 3 x xy y ( x y ) 3xy x y xy xy x x Mà x, y nguyên dương x y nên xy xy y y 1 Thử lại ta có nghiệm nguyên dương phân biệt phương trình là: 1; , 2;1 11) Một toán cổ: Một trăm trâu ăn trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, Trâu già lụ khụ, ba bó Hỏi có trâu loại Võ Tiến Trình 13 ... 1004 y 1004 Vậy nghiệm nguyên dương phương trình 1005,1004 1.2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1 ( p số nguyên tố) x y p Giải Nhận xét x; y nghiệm y; x nghiệm 1 xy... 7 Vậy nghiệm nguyên phương trình là: 2005; 3 , 2003; 5 , 2007; 9 , 2009; 7 6) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 x y 7) Tìm nghiệm ngun khơng âm phương trình: ... để giải phương trình nghiệm nguyên phương trình đối xứng: f x, y , z , ta giả sử x y z x max y, x, để thu hẹp miền giá trị biến Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: