Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học.
http://toanth.net/ NGUN LÍ DIRICHLET Ngun lí Dirichlet Nếu nhốt n thỏ vào n chuồng có chuồng chứa Ngun lí Dirichlet tổng qt Nếu có N vật đặt k ngăn kéo tồn ngăn kéo chứa N k vật N Chứng minh Giả sử ngăn kéo chứa vật Khi tổng số vật k k N N ngăn kéo tối đa k 1 k N (mâu thuẩn) k k Ví dụ Chứng minh n số tự nhiên liên tiếp, tồn số tự nhiên chia hết cho n Giải Giả sử n số tự nhiên liên tiếp a, a 1, , a n khơng có số chia hết cho n Khi số dư thuộc tập 1, 2, , n 1 Vì có tất n phép chia có dư nên có n số dư Có n số dư nhận tối đa n giá trị nên theo ngun lí Dirichlet có hai số dư tức có hai số chia cho n có số dư, giả sử hai số Ai a i A j a j ( i, j n 1, i j ) Khi A j Ai n tức j i n (điều vơ lí j i n ) Vậy toán chứng minh xong Giải Ví dụ Chứng minh tồn số có dạng 20152015…2015000…00 chia hết cho 2016 Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Lấy 2016 số : 2015, 20152015, …, 20152015…2015 chia cho 2016 Vì dãy số lẻ nên khơng có số chia hết cho 2016, số dư phép chia 1, 2, …, 2015 Có 2016 phép chia tối đa có 2015 số dư, theo nguyên lí Dirichlet phải có hai số dãy có số dư chia cho 2016 Gọi hai số Ai 2015 2015 (i số 2015) A j 2015 2015 (j số 2015) Giả sử j i Khi A j Ai 2016 A j Ai 2015 2015000 000 ( j i số 2015 i số 0) Vậy A j Ai số dạng 2015 2015000 000 chia hết cho 2016 Ví dụ (Tuyển sinh vào 10 chuyên Toán PTNK 2010 - 2011) a) Hãy bốn số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số chúng số nguyên tố b) Chứng minh không tồn năm số nguyên dương phân biệt cho tổng ba số chúng số nguyên tố Giải a) Ta kiểm tra số 1;5;7;11 13; 11 19; 11 23; 11 19 Vậy 1;5;7;11 thỏa yêu cầu b)Khi chia số nguyên cho số dư 0, 1, Do chia số nguyên phân biệt cho ta có trường hợp Trường hợp Xuất đầy đủ ba số dư 0, 1, Khi tổng số nguyên mà chia cho ứng với ba số dư 0, 1, chia hết tổng ba số nguyên không số nguyên tố Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Trường hợp Không xuất đả ba số dư, nghĩa có tối đa số dư, theo nguyên lí Dirichlet có số có số dư, tổng ba số chia hết không số nguyên tố Vậy không tồn năm số nguyên dương phân biệt cho tổng ba số chúng số nguyên tố Ví dụ (Tuyển sinh vào 10 chuyên Toán PTNK 2011 - 2012) Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3, BC a) Chứng minh từ điểm nằm hình chữ nhật ABCD ln tìm hai điểm mà khoảng cách chúng khơng lớn b) Chứng minh khẳng định câu a) với điểm nằm hình chữ nhật ABCD Giải a) Chia hình chữ nhật thành hình chữ nhật nhỏ có kích thước x hình có đường chéo độ dài Có điểm cho vào hình chữ nhật, theo ngun tắc đirichlet có hai điểm nằm chung hình A, B AB b)Chia hình chữ nhật ban đầu thành phần hình vẽ Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Trong hình khoảng cách lớn hai điểm Có điểm cho vào hình, theo ngun lí Dirichlet ln có hai điểm A, B nằm hình AB Ví dụ Cho hình vng 13 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Chứng minh số 13 đường thẳng cho, có đường thẳng qua điểm Giải Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Gọi d đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích Để tạo thành hai tứ giác đường thẳng d khơng thể cắt hai cạnh kề hình vng Giả sử d cắt hai cạnh AB CD M N, cắt đường trung bình EF hình vng I Qua I vẽ đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, CD P, Q Ta có S ADNM S ADQIM S IQN S ADQP AD.FI S BCNM S BPINC S INQ S BCQP BC EI S BCNM BC.EI EI S ADNM AD.FI FI Ta có: Chú ý: đường thẳng d trùng đường thẳng PQ Do đường thẳng d cắt đường trung bình hình vng điểm I I chia đường trung bình theo tỉ số Như ta thấy đường thẳng d chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ lệ diện tích qua điểm I đường trung bình hình vng chia đường trung bình theo tỉ số Theo tính chất đối xứng hình vng có tất điểm I Có 13 đường thẳng, đường thẳng qua điểm I trên, theo ngun lý Dirichlet có đường thẳng qua điểm Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Bài tập Bài Cho dãy số số tự nhiên Chứng minh tồn số chia hết cho tổng số số chia hết cho Bài Chứng minh từ 100 số ngun chọn hay vài số cho tổng chúng tận hai số Bài Cho A tập hợp gồm 101 số tự nhiên, số không lớn 200 Chứng minh A có hai số mà số chia hết cho số Bài Chứng minh từ n + 1số dương khác nhỏ 2n, chọn ba số cho tổng hai số chúng số thứ ba Bài Chứng minh tồn số tự nhiên n < 17 cho 25 − chia hết cho 17 Bài Chứng minh tồn số tự nhiên k cho 1983 − chia hết cho 10 Bài Chứng minh với số n tồn số có dạng 111…000 mà chia hết cho n Bài Trong ô vng kích thước 5x5 ơ, ta viết vào số -1; 0; Chứng minh tổng số theo cột, hàng đường chéo có hai tổng Bài Trong hình tròn bán kính Chứng minh khơng thể có nhiều điểm mà khoảng cách hai điểm chúng lớn Bài 10 Trong mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt với tích chất điểm ln có hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn đường tròn có bán kính chứa 13 điểm Bài 11 a)Cho M tập hợp chứa số nguyên dương, số M khơng có ước ngun tố lớn Chứng minh chọn M hai số choo tích chúng số phương b)Cho tập hợp L gồm 2003 số ngun khơng có số có ước nguyên tố lớn 24 Chứng minh L có phần tử mà lấy tích bốn số ta số mũ bốn số nguyên Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Bài 12.a) Trong 11 số nguyên dương nhỏ 29 Chứng minh ln có hai số ngun tố b) Kết câu a) có hay khơng 10 số nguyên dương nhỏ 29 Bài 13 Cho 10 điểm nằm hình vng có độ dài cạnh có điểm cách nhỏ 0.48, có ba điểm nằm hình tròn bán kính 0.5 Bài 14 Cho 100 điểm vào hình lập phương độ dài cạnh Chứng minh có điểm tạo thành tứ diện (tetrahedron) mà thể tích lớn 99 Bài 15 Ta phân chia 200 bóng vào 100 hộp cho không hộp chứa nhiều 100 bóng hộp chứa bóng Chỉ tìm thấy số hộp cho tổng bóng hộp 100 Bài 16 (Tuyển sinh vào 10 chun Tốn PTNK 2015 - 2016) Để khuyến khích phong trào học tập, trường THCS tổ chức đợt thi cho học sinh Ở đợt thi, có học sinh chọn để trao giải Sau tổ chức xong đợt thi, người ta nhận thấy với hai đợt thi ln có học sinh trao giải hai đợt thi Chứng minh rằng: a) Có học sinh trao giải lần b) Có học sinh trao giải tất đợt thi Võ Tiến Trình ... PTNK 2010 - 2011) a) Hãy bốn số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số chúng số nguyên tố b) Chứng minh không tồn năm số nguyên dương phân biệt cho tổng ba số chúng số nguyên tố Giải a) Ta kiểm tra... số nguyên cho số dư 0, 1, Do chia số nguyên phân biệt cho ta có trường hợp Trường hợp Xuất đầy đủ ba số dư 0, 1, Khi tổng số nguyên mà chia cho ứng với ba số dư 0, 1, chia hết tổng ba số nguyên. .. nguyên không số nguyên tố Võ Tiến Trình http://toanth.net/ Trường hợp Khơng xuất đả ba số dư, nghĩa có tối đa số dư, theo ngun lí Dirichlet có số có số dư, tổng ba số chia hết không số nguyên tố Vậy