Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học. Tài liệu dành cho học sinh đam mê toán thcs thpt, giúp học sinh có thêm kiến thức về toán học.
Trang 1Võ Tiến Trình 1
NGUYÊN LÍ DIRICHLET Nguyên lí Dirichlet
Nếu nhốt n 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất 2 con
Nguyên lí Dirichlet tổng quát
Nếu có N vật được đặt trong k ngăn kéo thì sẽ tồn tại một ngăn kéo chứa ít nhất
N
k
vật
k
vật Khi đó tổng số vật trong k
ngăn kéo tối đa là k N 1 k N N
(mâu thuẩn)
Ví dụ 1 Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp, luôn tồn tại một số tự nhiên chia
hết cho n
Giải
Giả sử trong n số tự nhiên liên tiếp là a a , 1, , a n 1không có số nào chia hết cho n
Khi đó các số dư sẽ thuộc tập 1, 2, ,n 1 Vì có tất cả n phép chia có dư nên sẽ có n
số dư Có n số dư nhưng chỉ nhận tối đa n 1 giá trị nên theo nguyên lí Dirichlet có ít
nhất hai số dư bằng nhau tức là có hai số khi chia cho n có cùng số dư, giả sử hai số đó là
i
A ai và A j a (j 0 i j , n 1, i j)
Khi đó A j A n i tức là j i n (điều này vô lí vì 0 j i n)
Vậy bài toán được chứng minh xong
Giải
Ví dụ 2 Chứng minh tồn tại một số có dạng 20152015…2015000…00 và chia hết cho
2016
Trang 2Võ Tiến Trình 2
Lấy 2016 số : 2015, 20152015, …, 20152015…2015 chia cho 2016
Vì đây là dãy số lẻ nên không có số nào chia hết cho 2016, do đó số dư trong các phép chia trên chỉ có thể là 1, 2, …, 2015
Có 2016 phép chia nhưng tối đa chỉ có 2015 số dư, theo nguyên lí Dirichlet phải có hai số trong dãy có cùng số dư khi chia cho 2016
Gọi hai số đó là A i 2015 2015 (i số 2015)
2015 2015
j
Giả sử j i Khi đó A j A i2016
2015 2015000 000
A A ( j i số 2015 và i số 0)
Vậy A j A i là số dạng 2015 2015000 000 và chia hết cho 2016
Ví dụ 3 (Tuyển sinh vào 10 chuyên Toán PTNK 2010 - 2011)
a) Hãy chỉ ra một bộ bốn số nguyên dương phân biệt mà tổng ba số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố
b) Chứng minh rằng không tồn tại năm số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba
số bất kỳ trong chúng là một số nguyên tố
Giải
a) Ta kiểm tra bộ số 1;5;7;11
1 5 7 13; 1 7 11 19; 5 7 11 23; 1 7 11 19
Vậy bộ 1;5;7;11 thỏa yêu cầu
b)Khi chia 1 số nguyên cho 3 số dư có thể là 0, 1, 2 Do đó khi chia 5 số nguyên phân biệt cho 3 ta có 2 trường hợp
Trường hợp 1 Xuất hiện đầy đủ ba số dư là 0, 1, 2 Khi đó tổng của 3 số nguyên mà khi chia cho 3 ứng với ba số dư 0, 1, 2 sẽ chia hết cho 3 nên tổng của ba số nguyên này không là số nguyên tố
Trang 3Võ Tiến Trình 3
Trường hợp 2 Không xuất hiện đả ba số dư, nghĩa là có tối đa 2 số dư, khi đó theo nguyên lí Dirichlet sẽ có 3 số có cùng số dư, tổng ba số này chia hết cho 3 nên không
là số nguyên tố
Vậy không tồn tại năm số nguyên dương phân biệt sao cho tổng ba số bất kỳ trong chúng
là một số nguyên tố
Ví dụ 4 (Tuyển sinh vào 10 chuyên Toán PTNK 2011 - 2012)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3, BC 4
a) Chứng minh rằng từ 7 điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật ABCD luôn tìm được
hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 5
b) Chứng minh rằng khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với 6 điểm bất kỳ nằm trong
hình chữ nhật ABCD
Giải
a) Chia hình chữ nhật thành 6 hình chữ nhật nhỏ có kích thước 1 x 2 mỗi hình có đường chéo độ dài là 5
Có 7 điểm cho vào 6 hình chữ nhật, theo nguyên tắc đirichlet thì có ít nhất hai điểm nằm chung 1 hình là A, B và AB 5
b)Chia hình chữ nhật ban đầu thành 5 phần hình như hình vẽ
Trang 4Võ Tiến Trình 4
Trong mỗi hình thì khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm là 5
Có 6 điểm cho vào 5 hình, theo nguyên lí Dirichlet luôn có hai điểm A, B nằm trong một hình và AB 5
Ví dụ 5 Cho một hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình
vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2
3 Chứng minh rằng trong số 13 đường thẳng đã cho, có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một điểm
Giải
Trang 5Võ Tiến Trình 5
Gọi d là đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích
là 2
3 Để tạo thành hai tứ giác thì đường thẳng d không thể cắt hai cạnh kề nhau
của hình vuông
Giả sử d cắt hai cạnh AB và CD tại M và N, khi đó nó cắt đường trung bình
EF của hình vuông tại I Qua I vẽ đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB, CD lần lượt tại P, Q
Ta có SADNM SADQIM SIQN SADQP AD FI
SBCNM SBPINC SINQ SBCQP BC EI
Ta có: 2
BCNM ADNM
Chú ý: đường thẳng d có thể trùng đường thẳng PQ
Do đó đường thẳng d cắt đường trung bình của hình vuông tại điểm I và I chia
đường trung bình theo tỉ số 2
3 Như vậy ta thấy mỗi đường thẳng d chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ lệ diện
tích là 2
3 thì đi qua điểm I trên đường trung bình của hình vuông và chia đường
trung bình theo tỉ số 2
3 Theo tính chất đối xứng của hình vuông thì có tất cả 4
điểm I như vậy Có 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một trong 4 điểm I
như trên, theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm
Trang 6Võ Tiến Trình 6
Bài tập
Bài 1 Cho dãy số 5 số tự nhiên bất kì Chứng minh tồn tại một số chia hết cho 5 hoặc
tổng của một số số chia hết cho 5
Bài 2 Chứng minh rằng từ bất kì 100 số nguyên bất kỳ có thể chọn ra một hay một vài số
sao cho tổng của chúng tận cùng bởi hai số 0
Bài 3 Cho A là tập hợp bất kì gồm 101 số tự nhiên, mỗi số không lớn hơn 200 Chứng
minh rằng trong A có ít nhất hai số mà một số này chia hết cho số kia
Bài 4 Chứng minh rằng từ n + 1số dương khác nhau nhỏ hơn 2n, có thể chọn được ba số
sao cho tổng hai số trong chúng bằng số thứ ba
Bài 5 Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n < 17 sao cho 25 − 1 chia hết cho 17 Bài 6 Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho 1983 − 1 chia hết cho 10 Bài 7 Chứng minh rằng với một số bất kì n tồn tại một số có dạng 111…000 mà chia hết
cho n
Bài 8 Trong một ô vuông kích thước 5x5 ô, ta viết vào mỗi ô một trong 3 số -1; 0; 1
Chứng minh rằng trong các tổng của 5 số theo một cột, một hàng hoặc đường chéo có ít nhất hai tổng bằng nhau
Bài 9 Trong một hình tròn bán kính bằng 1 Chứng minh rằng không thể có nhiều hơn 5
điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong chúng đều lớn hơn 1
Bài 10 Trong mặt phẳng cho 25 điểm phân biệt với tích chất là trong 3 điểm bất kì luôn
có hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại đường tròn
có bán kính bằng 1 chứa ít nhất 13 điểm trên
Bài 11 a)Cho M là tập hợp chứa 9 số nguyên dương, các số trong M không có ước
nguyên tố lớn hơn 6 Chứng minh rằng luôn chọn được trong M hai số sao choo tích của chúng là số chính phương
b)Cho tập hợp L gồm 2003 số nguyên và không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn 24 Chứng minh rằng L có 4 phần tử mà khi lấy tích bốn số đó ta được một số là mũ bốn của một số nguyên
Trang 7Võ Tiến Trình 7
Bài 12.a) Trong 11 số nguyên dương nhỏ hơn 29 Chứng minh rằng luôn có hai số
nguyên tố cùng nhau
b) Kết quả câu a) có còn đúng hay không nếu trong 10 số nguyên dương nhỏ hơn 29
Bài 13 Cho 10 điểm nằm trong một hình vuông có độ dài cạnh là 1 thì có 2 điểm cách
nhau nhỏ hơn 0.48, và có ba điểm nằm trong hình tròn bán kính 0.5
Bài 14 Cho 100 điểm vào một hình lập phương độ dài cạnh là 1 Chứng minh rằng có 4
điểm tạo thành một tứ diện (tetrahedron) mà thể tích lớn nhất là 1
99
Bài 15 Ta phân chia 200 quả bóng vào 100 hộp sao cho không hộp nào chứa nhiều hơn
100 quả bóng và mỗi hộp chứa ít nhất 1 quả bóng Chỉ ra rằng có thể tìm thấy một số các hộp sao cho tổng các quả bóng trong các hộp đó là 100 quả
Bài 16 (Tuyển sinh vào 10 chuyên Toán PTNK 2015 - 2016)
Để khuyến khích phong trào học tập, một trường THCS đã tổ chức 8 đợt thi cho các học sinh Ở mỗi đợt thi, có đúng 3 học sinh được chọn để trao giải Sau khi tổ chức xong 8 đợt thi, người ta nhận thấy rằng với hai đợt thi bất kì luôn có đúng một học sinh được trao giải ở cả hai đợt thi đó Chứng minh rằng:
a) Có ít nhất một học sinh được trao giải ít nhất 4 lần
b) Có đúng một học sinh được trao giải ở tất cả 8 đợt thi