tiểu luận nguyên lí dirichlet

MỤC LỤC Trang Lời mở đầu Giới thiệu chung Nguyên lý Dirichlet ứng dụng I Cơ sở lý thuyết II Ứng dụng Phương pháp ứng dụng Ứng dụng a) Nguyên lý Derichlet số học b) Nguyên lý Derichle tổ hợp 12 c) Nguyên lý Derichlet hình học 14 d) Nguyên lý Derichlet chứng minh bất đẳng thức 17 Tài liệu tham khảo 19 Nguyên lí Dirichlet LỜI MỞ ĐẦU Một nguyên lý quan trọng toán học nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet nhà toán học người Đức Johnann Peter Gustav Lejeune Dirichlet đề xuất Đây nguyên lý đơn giản, lại có nhiều ứng dụng lập luận giải toán số học, tổ hợp,… Cũng thường xuyên bắt gặp định lý kỳ thi lớn IMO hay kỳ thi quốc tế khác Có nhiều tốn cần chứng minh tồn vật hay tượng mà không cần tường minh vật, tượng Do đó, Nguyên lý Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, nguyên lý công cụ hiệu để chứng minh nhiều kết sâu sắc lĩnh vực khác tốn học Vì lý trên, tiểu luận này, chọn đề tài Nguyên lý Dirichlet Mong trở thành tài liệu hữu ích bạn đọc Tuy nhiên, trình nghiên cứu tìm hiểu dù nỗ lực khó tránh khỏi sai sót Hi vọng nhận góp ý thầy bạn đọc Và cuối cùng, xin chân thành cảm ơn thầy Trần Nam Dũng tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện cho chúng em hoàn thành tiểu luận Người thực Nhóm SV Số học logic tốn học pg Ngun lí Dirichlet GIỚI THIỆU CHUNG I Vài nét tiểu sử nhà toán học người Đức Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 tháng năm 1805 – tháng năm 1859) Cuộc đời Nhà toán học người Đức Dirichlet học trò Gauss người hâm mộ Gauss Nhờ giỏi tiếng Pháp, ơng đóng vai trị quan trọng việc giao lưu tư tưởng giửa hai phía sông Rhin Trong thời gian học Pari, 1822 1825, ơng làm gia sư gia đình tướng nhà trị Maximilien Foy Trong thời gian này, ông tham gia nhà bác học trẻ, quây quần xung quanh Fourier Vì ơng gắn bó với Fourier và… với chuỗi lượng giác Từ 1826 đến 1828, Dirichlet giảng viên trường Đại Học Breslau Từ 1829 ông làm việc trường Đại học Berlin Từ 1931 đến 1855 ông giáo sư trường Đại học Berlin Từ 1855, sau Gauss qua đời, ông kế tục Gauss trường Đại học Gơttinggen pg Ngun lí Dirichlet Dirichlet người khiêm tốn trung thực nhân Nhưng, khác với vợ ông Jacobi, Dirichlet không xuất sắc mặt sư phạm Mặc dù vậy, giảng ơng có ảnh hưởng lớn đến nhà toán học thuộc hệ sau như:Riemann, Eisenstein, Kronecker, Dedekin… Sau Dirichlet qua đời, óc ông bảo khoa sinh lý học Trường Đại Học Gơttingen Sự nghiệp Dirichlet có phát minh lớn lí thuyết số Ơng thiết lập cơng thức cho cho số lớp dạng tồn phương hai ngơi với định thức cho trước Ơng chứng minh định lý tập hợp vô hạn số nguyên tố cấp số cộng gồm số nguyên mà số hạng đầu công sai nguyên tố Để giải tốn trên, ơng sử dụng hàm giải tích, gọi hàm (chuỗi) Dirichlet Ông sáng lập lý thuyết tổng quát đơn vị đại số trường số đại số Về giải tích, Dirichlet người quan niệm hàm cho ứng với x phần tử y, mà khơng cần phải có biểu thức y theo x phép tính số học Dirichlet người đề xuất nghiên cứu khái niệm hội tụ có điều kiện chuỗi Ông phát biểu chứng minh điều kiện đủ, thường gọi điều kiện Dirichlet, để chuỗi Fourier hàm số hội tụ tới hàm số Dirichlet có cơng trình đáng kể học vật lý toán, đặc biệt lý thuyết II Nguyên lý Dirichlet (Nguyên lý Dirichlet phát biểu năm 1834) Nếu f: E→F ánh xạ, E F tập hợp hữu hạn cho Card(E)>Card(F) F không đơn ánh Nguyên lý Dirichlet thiết lập, sử dụng đặt tên “Nguyên lý ô chuồng chim bồ câu” Người ta gọi “nguyên lý ngăn kéo” hay “nguyên lý hộp” pg Ngun lí Dirichlet “Ngun lý chuồng chim bồ câu” phát biểu sau: Nếu n chim bồ câu phân phối vào m ô chuồng n>m có chứa hai chim bồ câu “Nguyên lý ngăn kéo” hay “Nguyên lý hộp” phát biểu sau: Nếu n đồ vật phân phối vào m ngăn kéo n>m có ngăn kéo chứa hai đồ vật Gắn với tên Dirichlet cịn có hàm số, minh họa quan niệm hàm Dirichlet Hàm số Dirichlet: Đó hàm số f: R→R xác định f(x)=1 x số hữu tỉ f(x)=0, x số vơ tỉ Nó hàm đặc trưng Q R III Phương pháp Phương pháp sử dụng nguyên lý Dirichlet phương pháp mà học sinh làm quen sớm từ học bậc tiểu học Đây phương pháp thể rõ “cái đẹp” toán học, làm cho học sinh thêm u thích mơn tốn Chính mà kì thi học sinh giỏi cấp, bậc thường xuyên xuất toán sử dụng phương pháp Để hiểu rõ nguyên lý ta đến với phần Nguyên lý Dirichlet Ứng dụng pg Nguyên lí Dirichlet NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG I CƠ SỞ LÍ THUYẾT Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n + 1con thỏ vào n chuồng có chuồng chứt hai thỏ Ngun lý Dirichlet tổng quát: Mệnh đề: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp N  chứa   đồ vật k (Ở đây, [x] giá trị hàm trần số thực x, số nguyên nhỏ có giá trị lớn x Khái niệm đối ngẫu với [x] – giá trị hàm sàn hay hàm phần nguyên x – số nguyên lớn có giá trị nhỏ x.) Chứng minh: N  Giả sử hộp chứa   vật Khi tổng số đồ vật là; k N  N  k (   - 1) < k   = N k k Điều mâu thuẩn với giả thiết có N đồ vật cần xếp Nguyên lí Dirichlet đối ngẫu Cho tập hữu hạn S ≠ ∅ S1, S2, …, Sn tập S cho | S1 | + | S2 | + … + | Sn | > k | S | Khi đó, tồn phần tử x  S cho x phần tử chung k+ tập Si ( i = 1, 2, … n) Nguyên lí Dirichlet mở rộng pg Nguyên lí Dirichlet Nếu nhốt n thỏ vào m ≥ chuồng tồn chuồng có  n  m  1  m  thỏ, kí hiệu [α] để phần nguyên số α Chứng minh : Giả sử trái lại chuồng thỏ khơng có đến  n  m  1  n    n  1  m    m  1   m    n  1   con, số thỏ chuồng nhỏ  m   n  1  m   n  Từ suy tổng số thỏ khơng vượt q m Điều vơ lí có n thỏ Vậy giả thiết phản chứng sai Nguyên lí Dirichlet mở rộng chứng minh Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phầntử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phầntử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Hình Ngun lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng pg Nguyên lí Dirichlet Giả sử A,B hai tập hợp hữu hạn S (A),S (B) tương ứng kí hiệu sốlượng phần tử A B Giả sử có số tự nhiên k mà S(A)>k.S(B) ta có quy tắc cho tương ứng phần tử A với phần tử B Khi tồn k+1 phần tử A mà chúng tương ứng với phần tử B Chú ý: Khi k = 1, ta có lại ngun lí Dirichlet Ngun lí Dirichlet vơ hạn: Nếu chia tập hợp vô hạn táo vào hữu hạn ngăn kéo, phải có ngăn kéo chưa vô hạn táo Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử *Tập phần tử khoảng đường thẳng Trong mục ta kí hiệu d(I) độ dài khoảng I  R + Cho A khoảng giới nội, A 1, A2, … , An khoảng cho Ai  A (i = 1, 2, …, n) d(A) < d(A1) + d(A2) + … + d(An) Khi nh ất có hai khoảng số khoảng có điểm chung Chứng minh Thật vậy, giả sử khơng có cặp khoảng cho có điểm chung Khi đó, d(A1  A  … An) = d(A1) + d(A2) + … + d(An) > d(A) Mặt khác, từ Ai  A (i = 1, 2, …, n) suy d(A1  A  … An )≤ d(A) Các bất đẳng thức mâu thuẫn với Vậy có hai khoảng số khoảng có điểm chung  Tập phần tử miền phẳng giới hạn đường cong phẳng khép kín Trong mục ta kí hiệu S(A) diện tích miền A mặt phẳng + Nếu A miền giới hạn đường cong phẳng khép kín, A1, A2, … , An miền cho Ai  A (i = 1, 2, …, n) S(A) < S(A1) + S(A2) + … + S(An), có hai miền số miền nói có điểm chung pg Ngun lí Dirichlet Chứng minh Tương tự chứng minh Định lí II ỨNG DỤNG Phương pháp ứng dụng Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện : + Số ‘thỏ” phải hiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, khơng bắt buộc chuồng phải có thỏ Bí thành cơng ngun lý Dirichlet kỹ thuật “xây chuồng” “tạo thỏ” Trong nhiều tốn, chuồng gì, thỏ rõ ràng, nhiều toán, xây chuồng tạo thỏ tinh tế Ta phải biết chọn thành phần chính” “hướng đến mục tiêu” (Trần Nam Dũng) Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ứng dụng a) Nguyên lý Dirichle số học Ví dụ 1: Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp Chứng minh phải có lớp có từ học sinh trở lên Giải: Giả sử 23 lớp lớp có khơng q học sinh Khi số học sinh là: 3.23=989 học sinh (ít 1000–989=11 học sinh) Theo ngun lí Dirichlet phải có lớp có từ học sinh trở lên Trong tốn này, “thỏ” 1000 học sinh, “chuồng” 23 lớp Ví dụ 2: pg Ngun lí Dirichlet Có năm loại học bổng khác Hỏi phải có sinh viên để chắn có người nhận học bổng Giải: Gọi N số sinh viên, đó: [ ] Vậy số N bé thỏa mãn 26 Trong toán này, số “chuồng” loại học bổng, số “thỏ” số sinh viên cần tìm Ví dụ 3: Trong học sinh làm kiểm tra, khơng có bị điểm 2, có học sinh điểm 10 Chứng minh rẳng tìm học sinh có điểm kiểm tra nhau(điểm kiểm tra số tự nhiên) Giải: Có – hoc sinh phân chia vào loại điểm (từ đến 9) Giả sử loại loại điểm điểm không học sinh lớp học có khơng q: 5.8 = học sinh, học sinh Vậy tồn học sinh có điểm kiểm tra Trong toán “thỏ” 43 điểm kiểm tra từ đến 9, “chuồng” loại điểm nói Bài tập tự luyện Bài 1: CMR tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2007 Bài 2: Chứng minh số tự nhiên luôn tồn số k cho chia hết cho Bài 3: Chứng minh tồn số dạng 20032003…2003000…0 chia hết cho 2002 pg 10 Nguyên lí Dirichlet Hướng dẫn giải: Xét 2008 số có dạng 1,11, ,11 11 Theo nguyên tắc Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 2007 Giả sử hai số là: Khi với – chia hết cho 2007 Do chia hết cho 2007 Đặt A= , ta lấy giá trị đầu k tính từ số Với giái trị k ta giá trị khác A Đem A chia cho phép chia, có số dư từ đến ta có số dư , tức có nhiều Áp dụng định lý Dirichlet, ta có hai giái trị A có số dư chia cho Ta giả sử hai số A1= có số dư cho  A2= (giả sử m>n)Vì hai số , nên hiệu chúng chia hết cho )-( = chia hết cho Vì khơng chia hết cho , nên ) phải chia hết cho , tồn k=m-n thỏa mãn điều kiện đề bài( dpcm) Ta xét dãy gồm 2002 số hạng có dạng: 2003; 20032003; 200320032003;…; 2003…2003 Chia số hạng dãy cho 2002 Ta số dư từ 1-2001, ta khơng thể có số dư số chia số chẵn, số bị chia số lẻ nên phép chia hết Ta nhận thấy có tất 2002 phép chia, có 2001 số dư Vậy theo ngun lý Dirichlet 2002 số có hai số có số dư chia cho 2002 Ta giả sử hai số am=20032003…2003 an=2003 2003 Khi hiêu hai số chia hết cho 2002 Hiệu hai số có dạng: 2003 2003000 Vậy ln ln tồn số có dạng 20032003…2003000…0 chia hết cho 2002 (đpcm) pg 11 Nguyên lí Dirichlet b) Nguyên lý Dirichlet tổ hợp Ví dụ1: Một lớp học có 30 học sinh Khi viết tả, em A phạm 14 lỗi, em khác phạm lỗi Chứng minh có học sinh không mắc lỗi mắc số lỗi Giải: Phòng 1: Chứa em mắc lỗi Phòng 2: Chứa em mắc lỗi …………………………………… Phòng 14: Chứa em mắc 14 lỗi Phòng 15: Chứa em khơng mắc lỗi Theo giả thiết phịng 14 có em A Cịn lại 14 phịng chứa 29 em Theo nguyên lý Dirichlet tồn phòng chứa em Từ có điều phải chứng minh Trong tốn này, số “chuồng” số phịng, số “thỏ” số học sinh Ví dụ 2: Giả sử nhóm người cặp hai bạn thù Chứng tỏ nhóm có ba người bạn lẫn có ba người kẻ thù lẫn Giải: Gọi A người Trong số người nhóm có ba người bạn Ahoặc có ba người kẻ thù A, điều suy từ ngun lí Dirichlet, người khác bạn thù A pg 12 Nguyên lí Dirichlet Trong trường hợp đầu ta gọi B,C,D bạn A ba người có hai người bạn họ với A lập thành ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức ba người B,C,D khơng có bạn chứng tỏ họ ba người thù lẫn Tương tự chứng minh trường hợp có ba người kẻ thù A (ĐPCM) Bài tập tự luyện Bài1: Trong lưới vng kích thước 5.5, người ta điền ngẫu nhiên vào ô giá trị −1,0 1, sau tính tổng tất theo hàng ; theo cột theo hai đường chéo Chứng minh tồn hai tổng có giá trị Bài 2: Trong giải bóng chuyền có đội tham gia, thi đấu vòng tròn lượt Chứng minh tìm đội A, B, C, D cho A thắng B, C, D, B thắng C, D C thắng D Bài 3: Trong nhóm gồm 2n+1 người với n người tồn người khác n người quen với tất họ Chứng minh nhóm người có người quen với tất người Hướng dẫn giải: Gọi tổng S1,S2, S12 Có tất 12 tổng Ta nhận thấy tổng nhận giá trị {−5,− …0,… ,5} Có tất 11 giá trị khác Từ đó, theo nguyên lý Dirichlet ta suy điều cần chứng minh Trong bóng chuyền khơng có hồ, đội thi đấu vịng trịn lượt có tất 28 trận thắng Theo nguyên lý Dirichlet, tồn đội bóng A có trận thắng Xét đội thua A đội đấu với trận, tồn đội thắng trận (trong số trận đấu đội với nhau) Giả sử pg 13 Ngun lí Dirichlet B C, D đội thua B Cuối cùng, C thắng D A, B, C, D tìm, cịn D thắng C đội cần đội cần tìm A, B, D, C Ta chứng minh nhóm người có n+1 người đơi quen Rõ ràng có người quan có k người đơi quen (trong k  n) tồn người khác số họ quen với k người Từ suy tồn n+1 người đơi quen A1, A2, …, An+1 Xét n người lại Theo điều kiện,tồn người Ai quen với tất n người Nhưng Ai quen với tất người c) Nguyên lí Dirichlet hình học Ví dụ 1: Cho hình vng 13 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2:3 CMR số 13 đường thẳng đó, có đường thẳng qua điểm Giải: Gọi d đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2:3 Đường thẳng d khơng thể cắt hai cạnh kề hình vng khơng tạo thành hai tứ giác Giả sử d cắt hai cạnh AB CD M N, cắt đường trung bình EF I Giả sử Như đường thẳng cho chia đường trung bình hình vng theo tỉ số 2:3 Có điểm chia đường trung bình hình vng ABCD theo tỉ số 2:3 Có 13 đường thẳng, đường thẳng qua điểm Vậy theo ngun lý Dirichlet có đường thẳng qua điểm Ví dụ 2: pg 14 Ngun lí Dirichlet Trong hình vng cạnh 1, đặt 51 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh có số 51 điểm nằm hình trịn bán kính Giải : Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh Theo nguyên lý Dirichlet ,tồn hình vng (a) chứa điểm số 51 điểm Đường trịn ngoại tiếp (a) có bá kính  Vậy ba điểm nói nằm hình trịn đồng tâm với đường trịn (a) có bán kính Bài tập tự luyện Bài 1: Trong mặt phẳng có 1995 điểm ba điểm tìm điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính khơng 998 điểm Bài 2: Trong hình vng có cạnh chứa số đường tròn Tổng tất chu vi chúng 10 Chứng minh tồn đường thẳng cắt đường trịn đường trịn đó? Bài 3: (Bổ đề Minkowsky) Trên mặt phẳng cho hình lồi F nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng có diện tích lớn Khi chứa điểm nguyên khác gốc tọa độ Hướng dẫn giải: Gọi A điểm cho Ta vẽ đường tròn (A,1) Trường hợp 1: Có nhiều 998 điểm nằm đướng (A,1)= > (A,1) đường tròn thỏa mãn Trường hợp 2: Có 998 điểm năm (A,1) Gọi B điểm không nằm (A,1), AB>1, ta vẽ đường trịn (B,1) pg 15 Ngun lí Dirichlet Ta chứng minh điểm nằm hai đường tròn Xét điểm C bất kì, giả sử C khơng thuộc hai đường trịn AC>1,BC>1, AB>1( Mẫu thuẫn với giả thiết, điểm ln tìm khoảng cách hai điểm nhỏ 1) Vậy điều giả sử sai, hay điểm thuộc hai đường trịn Ta có 1995 điểm, 1995=2x1997+1, áp dụng ngun lí Dirichlet, ta có khơng 998 điểm thuộc cúng đường trịn có bán kính 1.(dpcm) Ta chọn cạnh hình vng chiếu vng góc đường trịn xuống cạnh (xem hình 1) Ta có, hình chiếu đường trịn bán kính R xuống AB đoạn thẳng có độ dài 2R Vì cạnh hình vng chọn có đoạn thẳng chiếu xuống với tổng độ dài 10  Mà 10  > Nên theo nguyên lý Dirichlet đối ngẫu suy có điểm M thuộc AB điểm chung đoạn thẳng chiếu xuống Khi đó, đường thẳng qua M vng góc với AB cắt đường trịn B C chiếu lên cạnh CD A D Xét phép vị tự tâm O, tỷ số 1/2 , biến F thành G Do G có diện tích lớn nên theo bổ đề 1, tồn hai điểm A, B thuộc G cho véc-tơ AB có toạ pg 16 Nguyên lí Dirichlet độ nguyên Gọi A’ điểm đối xứng với A qua O Do hình G đối xứng qua gốc toạ độ nên A’ thuộc G Do G lồi nên trung điểm M A’B thuộc G Gọi N điểm đối xứng O qua M N thuộc F ON = AB, suy N điểm nguyên khác O (đpcm) d) Nguyên lý Dirichlet chứng minh bất đẳng thức Từ nguyên lí Derichle, ta có mệnh đề: Từ số thực x, y, z ln tìm số có tích khơng âm.(*) Mệnh đề áp dụng hiệu cho nhiều bất đẳng thức, số ví dụ: Ví dụ 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Giải: Theo nguyên lý Dirichlet, nhận thấy số a,b,c có hai số ≥ ≤ Giả sử số a,b, đó: Sử dụng đẳng thức, ta có: Ví dụ 2: Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z + = 4xyz Chứng minh xy + yz + zx  x + y + z (1) Giải: Ta có: x + y + z + = 4xyz  z  x  y 1 xy  pg 17 Nguyên lí Dirichlet Thay vào (1), ta x  y 1 ( x  y  1)  x  y  xy xy  VT  với x, y VP  x, y nằm phía Theo mệnh đề (*), ta ln chọn Bài tập tự luyện Bài 1: Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  3(a + b + c)2 Bài 2: Cho a, b, c ≥ Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải: Áp dụng bất đẳng thức CBS, ta có (a + b + c)2  (a2 + + 1)(1 + b2 + c2) = (a2 + 2)(b2 + c2 + 1) Như ta cần chứng minh (b2 + 2)(c2 + 2)  3(b2 + c2 + 1)  (b2 – 1)(c2 – 1)  Điều ln có ta chọn b2, c2 phía Nhân vế với 2, biến đổi ta được: Theo ví dụ 1, ta cần chứng minh   ĐPCM pg 18 Nguyên lí Dirichlet Tài liệu tham khảo http://vi.wikipedia.org/wiki http://vie.math.ac.vn/ http://123doc.org/document/866237-ung-dung-cua-nguyen-ly-dirichlet-trong-motso-bai-toan-to-hop.htm?page=7 http://www.mediafire.com/download/5miuv5h5ku5c5ji/%5BVNMATH.COM%5D -DUNG-DIRICHLET-CM-BAT-DANG-THUC.rar http://www.vnmath.com/ https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/kien-thuc-toan/nguyen-ly-dirichlet-vamot-so-bai-toan-ap-dung http://idoc.vn/tai-lieu/luan-van-nguyen-li-dirichlet-va-ung-dung-giai-toan-socap.html http://diendantoanhoc.net/ http://dethi.violet.vn/present/show/entry_id/6133607/cm_id/3065444 http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113278/cac-bai-tap-ap-dung-nguyen-ly-dirichlet http://vi.wikipedia.org/wiki/Johann_Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet 10 https://docs.google.com/file/d/0B9MAp87pW7ZxWXdLbjlUbENEOGc/view 11 http://hoctainha.vn/ pg 19 ... phần Nguyên lý Dirichlet Ứng dụng pg Nguyên lí Dirichlet NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG I CƠ SỞ LÍ THUYẾT Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n + 1con thỏ vào n chuồng có chuồng chứaít hai thỏ Nguyên. . .Nguyên lí Dirichlet LỜI MỞ ĐẦU Một nguyên lý quan trọng toán học nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet nhà toán học người Đức Johnann Peter Gustav Lejeune Dirichlet đề xuất Đây nguyên. .. F khơng đơn ánh Nguyên lý Dirichlet thiết lập, sử dụng đặt tên ? ?Nguyên lý ô chuồng chim bồ câu” Người ta gọi ? ?nguyên lý ngăn kéo” hay ? ?nguyên lý hộp” pg Nguyên lí Dirichlet ? ?Nguyên lý ô chuồng