đề thi HSG thừa thiên huế năm học 2017 - 2018 Su tm bi https://blogtoanhoc.com Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi thừa thiên huế năm học 2017 - 2018 (Lêi gi¶i gåm 07 trang) 2x m , Hm mx a) Khi m 1, hàm số cho có đồ thị H1 cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A B Tính diện tích tam giác OAB b) Chøng minh r»ng víi mäi m th× đồ thị hàm số H m cắt đường thẳng Câu 1: (4,0 điểm) Cho hàm số y d : y x 2m hai điểm phân biệt C, D thuộc đường H cố định thẳng d cắt Ox, Oy điểm M , N Tìm m để SOCD 3SOMN Đường Hướng dÉn gi¶i: 2x 1 a) Khi m 1, hàm số cho trở thành: y H1 x 1 A H1 Ox 1 Gäi A ;0 , B 0; 1 OA ; OB 2 B H1 Oy 1 1 Tam giác OAB vuông O nên: SOAB OA.OB (®vdt) 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm H m vµ d lµ: 2x m mx x 2m mx x m x 2m mx 1 (I ) 1 x x Víi m th× ( I ) m m 2 2mx 2m x m 2 x 2mx (*) 2 Phương trình (*) có m 0, m vµ: 2m 0, m m m m Suy m phương trình (*) có nghiệm thực phân biệt khác m Vậy m H m d cắt điểm phân biệt x1 x2 m *Gäi x1 , x2 nghiệm (*), theo định lí Vi-ét thì: x2 x1 x1 x2 Gäi C x1 ; y1 , D x2 ; y2 giao điểm H m d Ta cã: y1 x1 2m x1 x1 x2 2 x2 2 x1 x1 1 Tương tự y2 Vậy hai điểm C , D nằm đồ thị hàm số y x2 x Sưu tầm https://blogtoanhoc.com H (§PCM) M d Ox *Ta cã: M m; , N 0; 2m OM m ; ON 2m m N d Oy 1 Khi ®ã SOMN OM ON m m m 2 Ta cã OC.OD x12 x22 x1 x2 x14 x24 x12 x22 x x x x24 x12 x22 x14 x24 x1 x2 2 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 m m 2m 2 1 m 2m 4m 8m 25 VËy OC.OD 16 4 Ta cã SOCD 3SOMN 25 4m 8m 3m 2 128m 32m 25 m 23 23 m 16 C©u 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: cos x 2 cos x 4 3 sin x b) Giải phương trình sau: x3 x x 25 x 18 , x Híng dÉn gi¶i: cos x sin x a) §iỊu kiƯn xk cos x sin 3 x Víi ®iỊu kiện phương trình cho tương đương với: k x k tan x 1 cos x sin x 1 2 cos x sin x x k sin x cos x 2 sin x cos x sin x x 3 k Đối chiếu với ĐK ta phương trình có hä nghiƯm lµ: x x 3 k k Sưu tầm https://blogtoanhoc.com k ; x k k ; b) Cách 1: Đưa hàm đặc trưng Phương trình (1) tương đương với: x3 x 25 x3 18 x 25 1 x 25 x3 x3 x 18 x 20 x3 x x (*) a x3 *Đặt PT(*) trë thµnh: b x a a b b a b a b 1 a b *Víi a b ta cã: x3 x (1 x)(1 x x ) 2(1 x) 2(1 x x ) x x x2 37 x2 5x x 2 x x x Cách 2: Nhân liên hỵp x 0 (1) x3 10 1 x x 25 x3 18 x 10 1 x 1 x x x x x 25 x3 18 x 10 x 15 x 1 x 5x 1 x x 1 x x2 5x x2 5x 37 x 5x x 1 x x2 5x 1 x x 1 x Ta cã: (**) x x x2 1 x 1 x x 1 x x x2 5x (**) x2 5x 4x2 5x 2 1 x 1 x 1 x x 4x2 5x (VN ) Câu 3: (4,0 điểm) x y y x y (1) a) Giải hệ phương tr×nh sau: x, y (2) x x x y b) Cã 30 tÊm thỴ đánh số từ tới 30 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác xuất để tổng số ghi thẻ chia hết cho Hướng dẫn giải: a) §iỊu kiƯn x 2; y Ta cã: (1) x3 x y y y x x y 1 y 1 Sưu tầm https://blogtoanhoc.com x3 y 1 x y 1 x y 1 x x( y 1) y 1 1 y x Thay y x vµo (2) ta cã: x3 x x x x3 x x3 x x x x x 2 x 2x 2 x2 x 2 x2 2 (*) nên PT(*) vô nghiệm x2 Víi x y VËy hƯ ®· cho cã nghiƯm lµ: x; y 2;3 Víi mäi x 2 ta cã VT (*) x 1 3; VP(*) b) Gäi A lµ biÕn cố: Rút ngẫu nhiên thẻ mang số có tæng chia hÕt cho 3” Ta cã n C303 *Ta chia 30 thẻ đánh số từ tới 30 làm loại sau: Loại 1: 10 thỴ mang sè chia cho d 1; Loại 2: 10 thẻ mang số chia cho dư 2; Loại 3: 10 thẻ mang số chia hết cho 3; *Rót thỴ mang sè cã tỉng chia hÕt cho xảy trường hợp sau: TH1: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH2: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH3: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH4: thẻ gồm thẻ loại 1; thẻ loại thẻ loại có: 10.10.10 1000 cách n A 3C103 1000 68 X¸c st cđa biÕn cè A lµ: P A n C30 203 Câu 4: (3,0 điểm) 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường trßn C : x 1 y điểm M 6; a) Chøng minh ®iĨm M nằm đường tròn C b) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt C hai điểm A, B cho MA2 MB 50 Hướng dẫn giải: a) Đường tròn C có tâm I 1; , bán kÝnh R Ta cã: IM 5; IM R Vậy điểm M nằm đường tròn C b) Gọi H trung điểm AB Ta cã IH AB Sưu tầm https://blogtoanhoc.com I H B MA2 MB MH HA MH HB A MH HA2 HB MH HA HB MH HA2 IM IH IA2 IH 2 IM IA IH d M 50 10 IH 60 IH 10 Ta cã MA2 MB 50 60 IH 50 IH Gäi n a; b a b vectơ pháp tuyến đường thẳng d cần tìm Phương trinh tổng quát đường thẳng d là: a x b y b 3a 10 b 9a a b b 3a *Với b 3a phương trình d là: x y x y 12 Ta cã IH d I ; d 5a 2 *Víi b 3a phương trình d là: x y x y C©u 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA SB SC a vµ SD x a 0; x a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S ABCD theo a vµ x b) TÝnh x theo a ®Ĩ thĨ tÝch khèi chãp S ABCD lín nhÊt Híng dÉn gi¶i: S a a a x a A B a O D a C a) Gọi O AC BD *Tam giác SAC cân S có SO trung tuyến nên: SO AC (1) * ABCD hình thoi nên BD AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: AC SBD Sưu tầm https://blogtoanhoc.com 1 AO.SSBD CO.S SBD AC.S SBD 3 *Xét tam giác vuông OAD, OAB, OAS có cạnh OA chung AD AB AS nªn chóng b»ng Suy ra: OD OB OS SBD vuông S 1 Khi ®ã: S SBD SB.SD ax vµ BD x a 2 Do ®ã: VS ABCD VA.SBD VC SBD x2 a2 Ta cã: AC AO AD DO a 1 VËy VS ABCD xa 3a x ax 3a x 2 2 b) Theo bất đẳng thức Cô-si thì: x 3a x 3a x x 3a x 2 3a 2 VS ABCD 3a a a VËy VS ABCD lín nhÊt vµ chØ khi: x 3a x x 3a a x 2 C©u 6: (2,0 ®iĨm) 1 Cho c¸c sè thùc x, y tháa mãn x, y ;1 Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: 2 P x y xy 3 x y x y2 Híng dÉn gi¶i: Ta cã x, y nªn: x 1 y 1 xy x y 2 Khi ®ã x y x y xy x y x y 1 x y x y (1) 2 1 4 x y xy x y x y 1 x y 8 Từ đánh giá (1) (2) nên ta có: P x y 1 x y 3 x y x y 2 x y Vµ: x5 y xy xy x y xy Đặt t x y Do x, y ;1 nªn t 1; 2 2 Ta cã P f t t 1 t 3t t 2t Sưu tầm https://blogtoanhoc.com (2) XÐt hµm sè f t xác định liên tục đoạn 1; cã: f t 12 t 1 5t 4t t 2t 5t t 6t 24 12 t 1 t 2t t 5t 6t 12t 24 3 2 12 t 1 5t 4t 24 t 2t 5t t t 8 3 12 t 1 t 2t 12 t 1 t 12 1 2 12 t 1 2 (do t 2) Ta cã t 1 t 1 t 1 1 t 1 t 1 t 12 1 12 t 1 0, t 1; 2 Suy ra: t 12 1 VËy f t 0, t 1; Nên hàm số f t nghịch biến đoạn 1; Do ®ã f t f Vậy P Giá trị nhỏ P -1 đạt x y - HÕt Sưu tầm https://blogtoanhoc.com ...Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi thừa thi n huế năm học 2017 - 2018 (Lời giải gồm 07 trang) 2x m , Hm mx a) Khi m 1, hàm số cho... x1 x1 1 T¬ng tù y2 Vậy hai điểm C , D nằm đồ thị hàm số y x2 x Su tm https://blogtoanhoc.com H (§PCM) M d Ox *Ta cã: M m; , N 0; 2m OM m ; ON 2m... chiÕu víi §K ta phương trình có họ nghiệm là: x x 3 k k Sưu tầm https://blogtoanhoc.com k ; x k k ; b) Cách 1: Đưa hàm đặc trưng Phương trình (1) tương đương