Đề kiểm tra kỳ Đại số tuyến tính, K62A Tháng 10/2012 Thời gian : 100 phút Lưu ý: Đề nghị sinh viên làm kiểm tra viết rõ ràng (không cần chữ đẹp), đánh số trang vào làm, viết đầy đủ họ tên, lớp, ngày sinh (nếu trùng tên) Để nhận đủ điểm câu hỏi, người làm phải nêu rõ lý luận Bài tập (4đ) Hợp hai tập đếm có phải tập đếm không? Bài tập (4đ) Một số α ∈ C gọi số đại số nghiệm đa thức khơng đồng có hệ số số hữu tỷ Chứng minh tập số đại số tập đếm Bài tập (1đ+1đ+1đ) Đúng hay sai? (a) Ma trận khả nghịch với hệ số thực có vết khác (b) Tồn ma trận khơng khả nghịch A, hệ số thực, cỡ × đồng dạng với −1 (c) Nếu vector v1 , v2 , v3 , v4 sinh R3 v1 , v2 , v3 sở R3 −1 sở gồm −3 α1 = (−3, 7), α2 = (1, −2) tự đồng cấu ψ ∈ End(R2 ) có ma trận sở gồm β1 = (6, −7), β2 = (−5, 6) Bài tập (3đ+2đ+1đ) Tự đồng cấu ϕ ∈ End(R2 ) có ma trận (a) Viết ma trận chuyển sở từ sở tắc R2 sang (α1 , α2 ) ma trận chuyển sở từ sở tắc sang (β1 , β2 ) Viết ma trận nghịch đảo hai ma trận (b) Viết ma trận biểu diễn ϕ ψ sở tắc (c) Viết ma trận biểu diễn ϕψ sở tắc Bài tập (2đ+2đ) Xét khơng gian vector M(2 × 2, R) ma trận vuông cấp Chứng minh ma trận A giao hoán với ma trận sở M(2 × 2, R) A giao hốn với ma trận M(2 × 2, R) Tìm ma trận A thỏa mãn A giao hốn với ma trận M(2 × 2, R) Bài tập (3đ) Tìm hệ phương trình định nghĩa không gian vector R3 sinh vector (2, 4, −4) (3, 5, −2) Bài tập (2đ+4đ) Cho ma trận A = a b c d ∈ M(2 × 2, R) (a) Chứng minh A2 − (a + d)A + (ad − bc)I = (b) Chứng minh tồn k ≥ số nguyên dương thỏa mãn Ak = A2 =