Đề kiểm tra kỳ Đại số tuyến tính, K62C Tháng 10/2012 Thời gian : 100 phút Lưu ý: Đề nghị sinh viên làm kiểm tra viết rõ ràng (không cần chữ đẹp), đánh số trang vào làm, viết đầy đủ họ tên, lớp, ngày sinh (nếu trùng tên) Để nhận đủ điểm câu hỏi, người làm phải nêu rõ lý luận Bài tập (4đ) Cho f : X → Y ánh xạ hai tập hợp Chứng minh f toàn ánh với tập Z hai ánh xạ g, h : Y → Z thỏa mãn g ◦ f = h ◦ f, ta có g = h Bài tập (1đ+3đ) Viết số phức sau dạng a + ib với a, b ∈ R (1 − i)n − 2i √ , (b) (a) + 3i (1 − 3i)n Bài tập (4đ+2đ+1đ) Cho tự đồng cấu ϕ ∈ End(R2 ) có ma trận α1 = (1, 2), α2 = (2, 3), tự đồng cấu ψ ∈ End(R2 ) có ma trận 4 sở gồm sở gồm β1 = (3, 1), β2 = (4, 2) (a) Viết ma trận chuyển sở từ sở (α1 , α2 ) sang (β1 , β2 ) tìm ma trận nghịch đảo ma trận (b) Viết ma trận biểu diễn ϕ sở (β1 , β2 ) (c) Viết ma trận biểu diễn ϕ + ψ sở (β1 , β2 ) Bài tập (1đ+1đ+1đ) Đúng hay sai? (a) Tồn tồn cấu tuyến tính f : R3 → R2 (b) Tồn ánh xạ tuyến tính f : R4 → R4 thỏa mãn f đơn cấu tuyến tính khơng tồn cấu (c) Tập tất vector x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 với x1 x2 = không gian vector R3 Bài tập (3đ) Tìm hệ phương trình định nghĩa không gian vector R4 sinh vector (1, 0, 0, −1), (2, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4) Bài tập (3đ+4đ+2đ) Cho A = a b c d ∈ M(2 × 2, R) (a) Chứng minh A2 − (a + d)A + (ad − bc)I = (b) Chứng minh tồn k ≥ số nguyên dương thỏa mãn Ak = A2 = (c) Tìm A biết Tr(AAt ) =