Đề kiểm tra kỳ Đại số tuyến tính, K62B Tháng 10/2012 Thời gian : 100 phút Lưu ý: Đề nghị sinh viên làm kiểm tra viết rõ ràng (không cần chữ đẹp), đánh số trang vào làm, viết đầy đủ họ tên, lớp, ngày sinh (nếu trùng tên) Để nhận đủ điểm câu hỏi, người làm phải nêu rõ lý luận Bài tập (4đ) Cho f : X → Y ánh xạ hai tập hợp Chứng minh f đơn ánh với tập Z hai ánh xạ g, h : Z → X thỏa mãn f ◦ g = f ◦ h, ta có g = h Bài tập (3đ) Cho số tự nhiên n > Số phức z gọi bậc n đơn vị z n = Chứng minh tổng tất bậc n đơn vị Bài tập (1đ+1đ+1đ) Đúng hay sai? (a) Tồn hệ vector R3 thỏa mãn vector hệ độc lập tuyến tính (b) Tồn ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 cho Ker f = {0} (c) Với không gian vector V R4 , tồn ma trận A ∈ M(4 × 4, R) thỏa mãn Im A = V Ở Im A không gian vector sinh vector cột A Bài tập (2đ+1đ+4đ) Trong R3 xét hai hệ vector sau α1 = (2, 3, 5), α2 = (0, 1, 2), α3 = (1, 0, 0) β1 = (1, 1, 1), β2 = (1, 1, −1), β3 = (2, 1, 2) (a) Chứng minh hai hệ vector độc lập tuyến tính (b) Chứng minh tồn tự đồng cấu tuyến tính f ∈ End(R3 ) thỏa mãn f (αi ) = βi với ≤ i ≤ (c) Tìm ma trận biểu diễn f sở tắc sở (α1 , α2 , α3 ) Bài tập (3đ) Tìm hệ phương trình định nghĩa khơng gian vector R3 sinh vector (1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4) Bài tập (2đ+3đ) (a) Cho V không gian vector không gian vector ma trận vuông M(n × n, R) A ma trận vuông cấp n M(n × n, R) Chứng minh A giao hoán với ma trận sở V A giao hốn với ma trận V (b) Một ma trận vuông A gọi ma trận chéo phần tử nằm ngồi đường chéo Chứng minh ma trận A ∈ M(n × n, R) giao hốn với ma trận chéo A ma trận chéo Bài tập (5đ) Tính lũy thừa sau n 0 3 0 với n ∈ N