HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2015 Mơn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng B Bài B.1 Cho dãy số (an ) xác định công thức truy hồi: 2an+1 − 2an + a2n = 0, n = 0, 1, 2, Chứng minh (an ) dãy đơn điệu Biết a0 = 1, tìm lim an n→∞ Tìm điều kiện a0 để dãy (an ) có giới hạn hữu hạn Trong trường hợp này, tìm lim nan n→∞ Bài B.2 Với số thực α = ±1, tìm tất hàm f : R → R liên tục cho f (αx) = f (x) + x2 ∀ x ∈ R Có tồn hàm f thỏa mãn điều kiện nói khơng α = ±1? Bài B.3 Cho f : [0, 1] → R hàm khả vi liên tục Chứng minh tồn số x1 , x2 , x3 ∈ (0, 1) cho f (x2 ) f (x1 ) + = f (x3 ) 4x1 6x22 Bài B.4 Cho f : [0, 1] → (−∞, 1] hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện Chứng minh 1 (f (x))3 dx ≤ Bài B.5 Cho f : [0, +∞) → (0, +∞) hàm liên tục Đặt x g(x) = f (x) f (t) dt ∀ x ≥ Chứng minh hàm g bị chặn [0, +∞) Hết Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm f (x) dx =