HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2015 Mơn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Bảng A Bài A.1 Cho dãy số (an ) xác định công thức truy hồi: 2an+1 − 2an + a2n = 0, n = 0, 1, 2, Chứng minh (an ) dãy đơn điệu Biết a0 = 1, tìm lim an n→∞ Tìm điều kiện a0 để dãy (an ) có giới hạn hữu hạn Trong trường hợp này, tìm lim nan n→∞ Bài A.2 Cho α, β hai số thực mà |α| = |β| Tìm tất hàm f : R → R liên tục thỏa mãn phương trình f (αx) = f (βx) + x2 với x ∈ R Có tồn hàm f thỏa mãn điều kiện nói khơng |α| = |β|? Bài A.3 Cho f hàm nhận giá trị thực, xác định liên tục [0,1] Chứng minh tồn số x1 , x2 , x3 ∈ (0, 1) cho f (x1 ) 4x1 + f (x2 ) 6x22 = f (x3 ) Bài A.4 Cho f : [0, ∞) → [0, ∞) hàm liên tục Biết tồn giới hạn x (f (t))2 dt = a ∈ (0, ∞), lim f (x) x→∞ tìm limx→∞ √ xf (x) ∞ Bài A.5 Cho (an ) dãy đơn điệu giảm, không âm, cho chuỗi ∞ n(an − an+1 ) hội tụ minh chuỗi an hội tụ Chứng n=1 n=1 Hết Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm