Xử lý tín hiệu số - leminhthuy2106 ď Chuong 2_Z

Xử lý tín hiệu số - leminhthuy2106 ď Chuong 2_Z tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...

FITA- HUA Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC 2.5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z PHÍA FITA- HUA 2.1 BIẾN ĐỔI Z 2.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: • Biến đổi Z dãy x(n): X (z) = ∞ ∑ x ( n) z n = −∞ Trong Z – biến số phức −n (*) Biểu thức (*) gọi biến đổi Z hai phía ∞ Biến đổi Z phía dãy x(n): X ( z ) = ∑ x ( n) z −n (**) n=0 • Nếu x(n) nhân : (*) • Ký hiệu: x(n) X(z) hay Z ←→ X(z) x(n) −1 Z ← → (**) ≡ X(z) = Z{x(n)} hay x(n) = Z -1{X(z)} 2.1.2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z FITA- HUA (ROC) • Miền hội tụ biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence) tập hợp tất giá trị Z nằm mặt phẳng phức cho X(z) hội tụ Im(Z) Rx+ • Để tìm ROC X(z) ta áp dụng tiêu chuẩn Cauchy C O R Rx- Re(z) 0 • Tiêu chuẩn Cauchy: Một chuỗi có dạng: ∞ ∑ x( n) = x(0) + x(1) + x( 2) +  n= hội tụ nếu: n lim x ( n) < n→ ∞ Ví FITA- HUA x ( n) = a n u( n) dụ 2.1.1: Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải: X (z) = ∞ −n x ( n ) z = ∑ n = −∞ ∑ [ a u( n)] z ∞ n −n n = −∞ lim  az n→ ∞    n= n= ROC a ; ROC : Z > a Vậy: X ( z ) = −1 − az n Im(z) /a/ X (z) = − az −1 Nếu: ∞ = ∑ a n z − n = ∑ ( az −1 ) Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) hội tụ: 1n n −1 ∞ Re(z) x ( n) = − a n u( − n − 1) Ví dụ 2.1.2: Tìm biến đổi Z & ROC của: FITA- HUA Giải: X (z) = ∞ ∑ x ( n) z −n m ∞ = ( ) ( = − ∑ a −1z = − ∑ a −1z m =1 n n = −∞ n = −∞ ∞ ∑ [ − a u( − n − 1)] z ∞ m=0 ) n −n a ∑ z n = −∞ +1 Im(z) /a/ Re(z) −1 X ( z) = − ∑ (a z ) + 1= −1 − az m=0 n −1 n   Nếu: lim  a z  n→ ∞   =− −1 m Theo tiêu chuẩn Cauchy, X(z) hội tụ: ∞ −n 1n a = a a u ( n − ) x ( n ) = a u ( n − ) Vậy: −1 − az 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z FITA- HUA c) Nhân với hàm mũ an Z Nếu: x ( n) ←→ X ( z ) : ROC = R Z n a x ( n ) ← → X (a −1 z ) : ROC = a R Thì: Ví dụ 2.2.3: Xét biến đổi Z & ROC của: n x1 (n) = a u (n) Giải : ∞ x2 (n) = u (n) x ( n) = u( n) ←→ X ( z ) = ∑ u( n)z = ;R : z > −1 1− z n = −∞ Z n n −1 a x ( n) = a u( n) ←→ X (az ) = ; R' : z > a −1 − az Z −1 FITA- HUA 2.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z d) Đạo hàm X(z) theo z Z x ( n ) ← → X ( z ) : ROC = R Nếu: dX(z) : ROC = R Thì: n x (n) ←→ − z dz Z Ví dụ 2.2.4: Tìm biến đổi Z & ROC g ( n) của: Giải: Theo ví dụ 2.1.1: n = na u (n) n x(n) = a u (n) ←→ X ( z ) = ; ROC : z > a −1 − az Z −1 dX ( z ) az Z = :z >a g ( n) = nx ( n) ←→ G( z ) = − z −1 (1 − az ) dz Với giả thiết ROC X(z): |z|> max{ |zci| }: i=1÷ N, FITA- HUA biến đổi Z ngược thành phần Ki/(z-zci)r là: n −i +1 −1 z n ( n − ) ( n − i + ) a Z ←  → u ( n) i (i − 1)! ( z − a) Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là: N n(n − 1) (n − i + 2)a n−i +1 x ( n) = ∑ K i u (n) + ∑ K l ( zcl ) nu (n) (i − 1)! i =1 l = r +1 r z3 − z + z ROC : z > Ví dụ: 2.3.4: Tìm x(n) biết: X ( z ) = ( z − 2) ( z − 1) Giải: K1 K2 K3 X ( z) z2 − 5z + = + + = 2 ( z − 1) z ( z − 2) ( z − 1) ( z − 2) ( z − 2) Với hệ số tính bởi: FITA- HUA d ( 2−1)  X ( z ) d  2z − 5z +  2 =  =1 K1 = ( z − 2)   ( −1)  (2 − 1)! dz  z  Z =2 dz  ( z − 1)  Z =2 d ( 2− )  X ( z ) z − 5z +  = =2 K2 = ( z − ) ( 2− )   ( z − 1) Z =2 (2 − 2)! dz  z  Z =2 X ( z) z − 5z + =1 K3 = ( z − 1) = ( z − 2) z Z =1 Z =1 Vậy X(z)/z có biểu thức là: X ( z) = + + z ( z − 2) ( z − 2) ( z − 1) ROC : z > 2 z −1 ⇒ X ( z) = + + (1 − z −1 ) (1 − z −1 ) (1 − z −1 ) ⇒ x ( n) = n u ( n) + n n u ( n) + u ( n) c) Xét X(z)/z có cặp điểm cực Zc1 Z*c1 phức liên hiệp, FITA- HUA điểm cực lại đơn: Zc3,…,ZcN, A( z ) X ( z ) A( z ) = = * b ( z − z )( z − z z B( z ) N c1 c1 )( z − zc )  ( z − zcN ) X(z)/z phân tích thành: X ( z) K1 K2 K3 KN = + + +  + z ( z − zc1 ) ( z − zc*1 ) ( z − zc ) ( z − zcN ) N X ( z) K1 K2 Ki = + +∑ * z ( z − zc1 ) ( z − zc1 ) i =3 ( z − zci ) Với hệ số K1, Ki tính giống điểm cực đơn: X( z ) Ki = ( z − zci ) : i = 1÷ N z Z = Z ci Do hệ số A(z), B(z) thực, nên K2=K1* FITA- HUA X1 (z ) K1 K1 * = + Xét : z ( z − z c1 ) ( z − z *c1 ) K1 K1 * ⇒ X1 (z ) = + −1 (1 − z c1z ) (1 − z *c1z −1 ) Nếu gọi: K1 = K1 e jβ zc1 = zc1 e jα Và giả thiết ROC: /z/>max{/zci/}: N  n n Vậy: x( n ) = 2 K1 zc1 cos( nα + β ) + ∑ K i ( zci ) u( n ) i =3   −z :z > Ví dụ: 2.3.7: Tìm x(n) biết: X ( z ) = FITA- HUA ( z − z + 2)( z − 1) Giải: X ( z) −1 −1 = = z ( z − z + 2)( z − 1) [ z − (1 + j )][ z − (1 − j )] ( z − 1) K1 K1* K3 = + + [ z − (1 + j )] [ z − (1 − j )] ( z − 1) −1 K1 = = [ z − (1 − j )]( z − 1) Z =1+ j −1 K3 = = −1 ( z − z + 2) Z =1 1/ 1/ −1 ⇒ X ( z) = + + −1 −1 − (1 + j ) z − (1 − j ) z (1 − z −1 ) [ ] [ ] z > 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG TTBB FITA- HUA 2.4.1 Định nghĩa hàm truyền đạt Miền n: x(n) h(n) y(n)=x(n)*h(n) Z Miền Z: h(n) Z X(z) H(z) Y(z)=X(z)H(z) H(z): gọi hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z) 2.4.2 Hàm truyền đạt biểu diễn theo hệ số PTSP N M k =0 r =0 Z ∑ ak y(n − k ) = ∑ bk x(n − r ) Y ( z) M ⇒ H ( z) = = ∑ b r z −r X ( z) r=0 N Y ( z ) ∑ ak z k =0 N −k a z ∑ k k =0 −k M = X ( z )∑ bk z −r r =0 Ví dụ: 2.4.1: Tìm H(z) h(n) hệ thống nhân cho bởi: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1) FITA-Giải: HUA Lấy biến đổi Z hai vế PTSP áp dụng tính chất dịch theo t/g: Y ( z ) − z −1 + z −2 = X ( z ) − z −1 [ ] [ ] Y ( z) − z −1 2z − z ⇒ H ( z) = = −1 −2 = X ( z) − 5z + z z − 5z + H ( z) 2z − K1 K2 = = + z ( z − 2)( z − 3) ( z − 2) ( z − 3) 2z − K1 = =1 ( z − 3) z = 2z − K2 = =1 ( z − 2) z = 1 ⇒ H ( z) = + −1 (1 − z ) (1 − z −1 ) Do hệ thống nhân nên: h(n) = ( 2n + 3n ) u(n) FITA- HUA 2.4.3 Hàm truyền đạt hệ thống ghép nối a Ghép nối tiếp h1(n) x(n) h(n)=h1(n)*h2(n)  Miền n: ≡ x(n) h2(n) Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) Z y(n) y(n) H1(z)H2(z) H1(z) H2(z) Y(z) X(z) H(z)=H1(z)H2(z) Y(z)  Miền Z: ≡ X(z) 2.4.3 Hàm truyền đạt hệ thống ghép nối (tt) FITA- HUA b Ghép song song x(n) h2(n) + y(n) ≡  Miền n: h1(n) x(n) X(z) H1(z) H2(z) + y(n) Y(z) ≡  Miền Z: h1(n)+h2(n) X(z) H1(z)+H2(z) Y(z) 2.4.4 Tính nhân ổn định hệ TTBB rời rạc FITA- HUA a Tính nhân  Miền n: Hệ thống TTBB nhân h(n) = : n zc max = max{ zc1 , zc ,, zcN } Hệ thống TTBB nhân Im(z) ROC /zc/max Re(z) ROC H(z) là: z > zc max = max{ zc1 , zc ,, zcN } 2.4.4 Tính nhân ổn định hệ TTBB rời rạc (tt) FITA- HUA b Tính ổn định ∞ ∑ h( n) < ∞  Miền n: Hệ thống TTBB ổn định n = −∞  Miền Z: H ( z) = ∞ ∑ h( n) z −n ≤ ⇒ H ( z) ≤ ∑ h( n) n = −∞ −n = h ( n ) z ∑ n = −∞ n = −∞ ∞ ∞ (*) ∞ −n h ( n ) z ∑ n = −∞ : z = Theo đ/k ổn định (*), nhận thấy H(z) hội tụ với /z/=1 Hệ thống TTBB ổn định ROC H(z) có chứa /z/=1 c Tính nhân ổn định FITA- HUA ROC H(z) là: Hệ thống TTBB nhân z > zc Hệ thống TTBB ổn định max = max{ zc1 , zc ,, zcN } ROC H(z) có chứa /z/=1 Im(z) Hệ thống TTBB nhân ổn định ROC /zc/max Re(z) /z/=1 ROC H(z) là: z > zc max zc max 2): b Hệ thống ổn định (1/2 ∞)... (1-z-1cosω(o1)/( 1-2 z − az ) o ) ) sin(ωon)u(n (z-1sinωo)/( 1-2 z-1cosωo+z-2) ) ROC ∀z |z| >1 |z| |a| |z| < |a| |z| > |a| |z| < |a| |z| >1 |z| >1 FITA- HUA 2.3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC 2.3.1 CÔNG THỨC