Thi thông tin phát hiện HSG toán 8 - GN

Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC, gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh rằng AM vuông góc với IK... N là giao điểm AM và IK.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán lớp 8 (Thời gian 120’) Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử

b) Chứng tỏ giá trị biểu thức A chia hết cho 24 với mọi giá trị n  N

Câu 2: (4 điểm)

So sánh hai số sau:

A = 2009 20082009 2008

 và B = 2009200922 2008200822 



Câu 3: (4 điểm)

Tìm các giái trị nguyên của x để giá trị tương ứng của biểu thức sau cũng có giá trị nguyên

3 2

C(x) =

x 1





Câu 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC, gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM vuông góc với IK

Câu 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = a, AC = b, AB = c, diện tích tam giác ABC là S

Chứng minh rằng: 4S = (a + b + c)(b + c – a)

ĐÁP ÁN TOÁN 8

Câu 1:

a) A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n

= n(n3 + 6n2 + 11n + 6)

= n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6)

= n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)]

= n(n + 1)(n2 + 5n + 6)

= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (2 điểm) b) A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

Trong đó là tích 4 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3  A 3  (1)

4 số tự nhiên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, trong 2 số chẵn liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 Nên tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8  A 8  (2)

3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau (3)

Từ (1), (2), (3)  A (3.8)  A 24 n N.   (2 điểm) Câu 2: (4 điểm)

Hai số đều là phân số có tử, mẫu là số dương

A = 2009 20082009 2008



Hai số A và B là hai phân số dương có cùng tử, ta so sánh hai mẫu

(2009 + 2008)2 > 20092 + 20082

A < B.



Câu 3: (4 điểm)

2

Khi cho x một giá trị nguyên thì x2 là một số nguyên, do đó biểu thức C(x) có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 1 2

 nhận giá trị nguyên

 x – 1 Ư(2) =    1; 2

x – 1 = - 1  x = 0  C(0) = -2

x – 1 = 1  x = 2  C(2) = 6

x – 1 = -2  x = -1  C(-1) = 0

x – 1 = 2  x = 3  C(3) = 10

Câu 4:

GT ABC, A 90 ;AH BC, HI AB, HK AC; MB = MC.  0   

H O

K

B A

Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)

Gọi O là giao điểm của AH và IK N là giao điểm AM và IK

AM = MC = BC

2 (Tính chất trung tuyễn ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)  MAK = MCK 

OKA = OAK (Tính chất đường chéo hình chữ nhật)

MAK + OKA = MCK + OAK

AM IK









Câu 5: (4 điểm)

A

b

a c

S = 1

2 bc  4S = 2bc (1)

(a + b + c)(b + c – a)

= (b + c)2 – a2

= b2 + 2bc + c2 – a2

= (b2 + c2 – a2) + 2bc

= 0 + 2bc (Định lí Pitago: b2 + c2 = a2 nên b2 + c2 – a2 = 0)

= 2bc (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4S = (a + b + c)(b + c – a)