Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử.. Bài 5:7 điểm Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.. Tính tổng: HD HE HF b.. Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF..
Trang 1Phòng Giáo dục và đào tạo chơng mỹ Trờng thcs nam phơng tiến b
Đề kiểm Định chất lợng học sinh khá,giỏi
năm học 2009 2010– 2010
Môn: Toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 150 phút)
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
2
10 2
2
x
x x
a Rỳt gọn M
b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất
Bài 2:(3 điểm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử
b Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc thỡ A < 0
Bài 3:(3 điểm)
a Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
b Cho cỏc số x,y,z thỏa món đồng thời:
x + y + z = 1: x2+ y2+ z2= 1 và x3+ y3+ z3= 1
Tớnh tổng: S = x2009+y2010+ z2011
Bài 4:(3 điểm)
a Giải phơng trình:
20 9
1 2
x
30 11
1 2
x
42 13
1 2
x
18 1
b Giải phơng trình với nghiệm là số nguyên:
x( x2 + x + 1) = 4y( y + 1)
Bài 5:(7 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn có các đờng cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a Tính tổng: HD HE HF
b Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2
c Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF
d Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN
Chứng minh đờng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định
.Hết
Họ và tên thi sinh Số báo danh
Phòng Giáo dục và đào tạo chơng mỹ trờng thcs nam phơng tiến b
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Trang 21 a
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
1 ) 2 ( 3
6 )
2 )(
2 (
2
x x
x x x x
= x 2((x x2)(2) (x 2)x 2)
= (x 2)(6x 2)
2
10 2
2
x
x
2
x
= 6
2
x
) 2 )(
2 (
x
2 1
0,5
0,5 0,5 0,5
b + Nếu x 2 thì M 0 nên M không đạt GTLN
+ Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dơng, nên M
muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 – x) phải là GTNN,
Mà (2 – x) là số nguyên dơng 2 – x = 1 x = 1
Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1
0,5 0,5 0,5 0,5
2 a A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc)
= (b c ) 2 a2 (b c )2 a2
= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
0,5 0,5 0,5
b Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giỏc)
Tơng tự: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) <0 ; (b + c –a ) >0
Vậy A< 0
0,5 0,5 0,5
3 a A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010
Do (x-y)2
0 ; (y - 2)2 0 Nờn:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010
Dấu ''='' xảy ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2
Vậy GTNN của A là 2010 tại x = y =2
0,5
0,5 0,5
b Ta cú: (x + y + z)3= x3+ y3+ z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)
kết hợp cỏc điều kiện đó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Một trong cỏc thừa số của tớch (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 z = 1, lại kết
hợp với đ/k: x2+ y2+ z2= 1 x = y = 0
Vậy trong 3 số x,y,z phải cú 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1,
Nờn tổng S luụn cú giỏ trị bằng 1
0,5 0,5 0,5
4 a Phơng trình đợc biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: x 4; 5; 6; 7 )
(x 4)(x 5) ( x 5)(x 6) ( x 6)(x 7) = 1
18
0,5 0,5
Trang 3 ( 1 1
x x ) + ( 1 1
x x ) + ( 1 1
18
18 (x + 4)(x +7) = 54
(x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phơng trình là: S = 13; 2
0,5 0,5
b + Phơng trình đợc biến đổi thành: (x + 1)(x2+ 1) = (2y + 1)2
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x2+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Vì nếu d = UCLN (x+1, x2+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
2 1
1
2
2 1 1
1
2d mà d lẻ nên d = 1
+ Nên muốn (x + 1)(x2+ 1) là số chính phơng
Thì (x+1) và (x2+ 1) đều phải là số chính phơng
Đặt:
2
1 1
(k + x)(k – x) = 1 1
0
k x
0
k x
+ Với x = 0 thì (2y + 1)2= 1 y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt)
Vậy nghiệm của phơng trình là: (x;y) =(0;0),(0; 1)
0,25
0,25
0,25 0,25
5
O
K I
N
M
E
H F
A
D B
C
0,5
a
Trớc hết chứng minh: HD
S HBC
S ABC
Nên HD HE HF
S ABC
HD HE HF
0,5 0,5 0,5 0,5
b Trớc hêt chứng minh BDH BEC
BH.BE = BD.BC
0,5 0,5
Trang 4Và CDH CFB CH.CF = CD.CB.
BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (đpcm)
0,5 0,5
c Trớc hết chứng minh: AEF ABC AEF ABC
Và CDE CAB CED CBA
Tơng tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE
Vậy H là giao điểm các đờng phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
0,5 0,5 0,5
d Gọi O là giao điểm của các đờng trung trực của hai đoạn MN và
HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) OHM OCN (1)
Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên:OHC OCH (2)
Từ (1) và (2) ta có: OHC OHB HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc
BHC nên O là điểm cố định
Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O
0,25 0,25 O,25 0,25
Chú ý:
+ Hớng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20
+ Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn
+ Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm
+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tơng ứng với từng nội dung
của bài đó