TUYỆT kỹ CASIO số PHỨC

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MTCT CASIO – VINACAL I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Các khái niệm thường gặp H oc Đơn vị ảo đại lượng kí hiệu i có tính chất i = −1 Số phức biểu thức có dạng a + bi a , b số thực Trong a gọi phần thực b gọi số ảo 01 BÀI 29 TÍNH NHANH CÁC PHÉP TỐN CƠ BẢN SỐ PHỨC Số phức liên hợp số phức z = a + bi số phức z = a − bi 1 = z a + bi D Số phức nghịch đảo số phức z = a + bi số phức z −1 = hi Môdul số phức z = a + bi kí hiệu z có độ lớn z = a + b nT Lệnh Caso Ta iL ie Lệnh tính số phức liên hợp z SHIFT 2 Lệnh tính Acgument số phức SHIFT uO Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE Lệnh tính Mơđun số phức SHIFT HYP II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa THPT Quốc Gia lần năm 2017] Cho hai số phức z1 = + i z2 = − 3i Tính Mơđun số phức z1 + z2 B z1 + z2 = D z1 + z2 = om /g ro Đăng nhập lệnh số phức w2 C z1 + z2 = GIẢI up s/ A z1 + z2 = 13 c (Khi máy tính hiển thị chữCMPLX bắt đầu tính tốn số phức được) Để tính Mơđun số phức ta nhập biểu thức vào máy tính sử dụng lệnh SHIFT HYP w w w fa ce bo ok 1+b+2p3b=qcM= Vậy z1 + z2 = 13 ⇒ Đáp số xác A VD2-[Thi thử báo Tốn học tuổi trẻ lần năm 2017] 2 Số phức liên hợp với số phức z = (1 + i ) − (1 + 2i ) : A −9 − 10i B + 10i C − 10i D −9 + 10i GIẢI Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dp3(1+2b)d= Trang 261 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ⇒ z = − 10i 01 Số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi : Vậy z = + 10i ⇒ Đáp án B xác H oc VD3-[Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần thơ lần năm 2017] Cho số phức z = a + bi Số phức z có phần ảo : B a b C 2ab D ab A a 2b GIẢI nT hi D Vì đề cho dạng tổng quát nên ta tiến hành “cá biệt hóa” tốn cách chọn giá trị cho a , b (lưu ý nên chọn giá trị lẻ để tránh xảy trường hợp đặc biệt) Chọn a = 1.25 b = 2.1 ta có z = 1.25 + 2.1i Sử dụng máy tính Casio tính z 21 21 đáp án xác Ta có : om /g ro Xem đáp số có giá trị up s/ Vậy phần ảo Ta iL ie uO 1.25+2.1b)d= 21 ⇒ Đáp án C xác VD4-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Để số phức z = a + ( a − 1) i ( a số thực) có z = : bo B a = ce A a = ok c Vậy 2ab = a = C  a = D a = ±1 GIẢI 1+(1p1)b=qcM= w w w fa Để xử lý ta sử dụng phép thử, nhiên ta chọn a cho khéo léo để phép thử tìm đáp số nhanh Ta chọn a = trước, a = đáp án C D, a = sai C D sai Với a = Sử dụng máy tính Casio tính z Trang 262 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Vậy z = ⇒ Đáp án C D Thử với a = Sử dụng máy tính Casio tính z : Vậy z = ⇒ Đáp án xác C C 210 + ( 210 + 1) i D 210 + 210 i Ta iL ie B −210 + ( 220 + 1) i A −220 uO VD5-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng – Đắc Nông lần năm 2017] 20 Số phức z = + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) có giá trị : nT hi D H oc 01 0+(0p1)b=qcM= GIẢI 20 Nếu ta nhập biểu thức + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) vào máy tính Casio được, 21 21 − (1 − i ) − qn = U1 = 1−1 − (1 − i ) − (1 + i ) Sử dụng máy tính Casio tính z − (1 + i ) om /g Với z = 20 ro ⇒ + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) up s/ nhiều thao tác tay Để rút ngắn công đoạn ta tiến hành rút gọn biểu thức Ta thấy số hạng biểu thức có chung quy luật “số hạng sau số hạng trước nhân với đại lượng + i “ cấp số nhân với công bội + i ok c a1p(1+b)^21R1p(1+b)= ( ) bo Ta thấy z = −1024 + 1025i = −210 + 210 + i ce ⇒ Đáp án xác làB VD6-[Thi thử chuyên KHTN lần năm 2017] fa Nếu số phức z thỏa mãn z = phần thực w w w A B − C : 1− z D.Một giá trị khác GIẢI Đặt số phức z = a + bi Mơđun số phức z z = a + b = Chọn a = 0.5 ⇒ 0.52 + b = Sử dụng chức dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b w1s0.5d+Q)d$p1qr0.5= Trang 263 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Lưu giá trị vào b Trở lại chế độ CMPLX để tính giá trị H oc 01 qJx : 1− z ⇒ Đáp án xác A VD7-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tìm số phức z biết : (1 + i ) z − z = −5 + 11i D z = − 4i GIẢI Với z = − 7i số phức liên hợp z = + 7i Nếu đáp án A phương trình : (1 + i )( − 7i ) − ( + 7i ) = −5 + 11i (1) C z = + 3i up s/ A z = − 7i B z = + 3i Ta iL ie Vậy phần thực z uO nT hi D w2a1R1p(0.5+Qxb)= Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái (1) om /g ro (1+b)(5p7b)p2(5+7b)= c Vì − 16i ≠ −5 + 11i nên đáp án A sai Tương tự với đáp án B ce bo ok (1+b)(2+3b)p2(2p3b)= fa Dễ thấy vế trái (1) = vế phải (1) = −5 + 11i ⇒ Đáp số xác B w w w VD8-[Đề minh họa GD-ĐT lần năm 2017] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn (1 + i ) z + z = + 2i Tính P = a + b A P = B P = C P = −1 D P = − GIẢI Phương trình ⇔ (1 + i ) z + z − − 2i = (1) Khi nhập số phức liên hợp ta nhấn lệnh q22 Trang 264 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái (1) oc 01 (1+b)Q)+2q22Q))p3p2b H X số phức nên có dạng X = a + bi Nhập X = 1000 + 100i (có thể thay a; b số khác) nT hi D r1000+100b= 2897 = 3.1000 − 100 − = 3a − b − 898 = 1000 − 100 − = a − b − 3a − b − = −3 Mặt khác muốn vế trái = ⇒  ⇔ a = ;b = 2 a − b − = Vậy a + b = −1 ⇒ Đáp số xác B + 3i có Acgument : VD9-Số phức z = − 2i π π 8π π B C D A GIẢI Thu gọn z dạng tối giản ⇒ z = −1 + 3i ro up s/ Ta iL ie uO Vậy vế trái (1) 2897 + 898i Ta có :  c om /g a5+3bs3R1p2bs3= ok Tìm Acgument z với lệnh SHIFT ce bo q21p1+s3$b)= w w w fa 2π 2π Tuy nhiên so sánh kết ta lại không thấy có giá trị 3 Khi ta nhớ đến tính chất “Nếu góc α Acgument góc α + 2π Acgument” 2π 8π ⇒ Đáp số xác D + 2π = III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho hai số phức z1 = + i, z = + 3i Tìm số phức w = ( z1 ) z2 Vậy z có Acgument D w = −6 + 4i A w = + 4i B w = − 4i C w = −6 − 4i Bài 2-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần năm 2017] Trang 265 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 oc hi D B −211 + C −211 − D 211 A −211 Bài 5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho số phức z = − 3i Phần ảo số phức w = (1 + i ) z − ( − i ) z : H Cho số phức z = a + bi Số phức z −1 có phần thực : a −b B C D a − b A a + b a +b a + b2 Bài 3-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] 1  Tìm mơđun số phức z = − 3i  + 3i  : 2  103 103 103 B C D Đáp án khác A 2 Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] 22 Cho số phức z = (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) Phần thực số phức z : 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 B w = − i C w = −6 − 4i D w = −6 + 4i GIẢI ro A w = + 4i up s/ Ta iL ie uO nT B − C −5 D −5i A −9i Bài 6-[Đề thi Đại học –Cao đẳng khối A năm 2009] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P = 2a + b A C D Đáp án khác B − Bài 7-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P = 2a + b A C D Đáp án khác B − LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho hai số phức z1 = + i, z = + 3i Tìm số phức w = ( z1 ) z2 Sử dụng máy tính Casio với chức MODE (CMPLX) c om /g (1+b)dO(2+3b)= w fa ce bo ok Vậy w = −6 + 4i ta chọn D đáp án xác Bài 2-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần năm 2017] Cho số phức z = a + bi Số phức z −1 có phần thực : a −b B C D a − b A a + b a +b a + b2 GIẢI Vì đề mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a = 1; b = 1.25 Với z −1 = Sử dụng máy tính Casio z w w a1R1+1.25b= Trang 266 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ta thấy phần thực số phức z −1 : đáp số C D sai 16 giá trị dương Vì ta chọn b > a > nên ta thấy 41 16 đáp số A sai ⇒ Đáp án xác B ≠ 41 Bài 3-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] 1  Tìm mơđun số phức z = − 3i  + 3i  : 2  103 103 103 B C D Đáp án khác A 2 H oc 01 Thử đáp số A có a + b = + 1.25 = GIẢI 1  + 3i  2  D Tính số phức z = − 3i  i Ta iL ie Vậ y z = − uO nT hi 2ps3$b(a1R2$+s3$b)= Dùng lệnh SHIFT HYP tính Mơđun số phức z ta up s/ qc5pas3R2$b= ro 103 ⇒ Đáp số xác A Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] 22 Cho số phức z = (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) Phần thực số phức z : om /g Vậy z = B −211 + c A −211 C −211 − D 211 GIẢI ok Dãy số cấp số nhân với U = (1 + i ) , số số hạng 21 công bội + i Thu gọn z ta 21 ce bo − qn − (1 + i ) : z = U1 = (1 + i ) 1− q − (1 + i ) Sử dụng máy tính Casio tính z w w w fa (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+ b)= Vậy z = −2050 − 2048i ⇒ Phần ảo số phức z −2050 = −211 − ⇒ Đáp số xác C Bài 5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho số phức z = − 3i Phần ảo số phức w = (1 + i ) z − ( − i ) z : A −9i B − C −5 D −5i Trang 267 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GIẢI Dãy số cấp số nhân với U = (1 + i ) , số số hạng 21 công bội + i Thu gọn z ta 21 H oc (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+ b)= 01 − qn − (1 + i ) : z = U1 = (1 + i ) 1− q − (1 + i ) Sử dụng máy tính Casio tính z nT hi D Vậy z = −2050 − 2048i ⇒ Phần ảo số phức z −2048 = −211 ⇒ Đáp số xác A Bài 6-[Đề thi Đại học –Cao đẳng khối A năm 2009] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P = 2a + b A C D Đáp án khác B − uO GIẢI Ta iL ie Phương trình ⇔ ( − 3i ) z + ( + i ) z + (1 + 3i ) = Nhập vế trái vào máy tính Casio CALC với X = 1000 + 100i up s/ (2p3b)Q)+(4+b)q22Q))+(1 +3b)dr1000+100b= bo ok c om /g ro 6392 = 6.1000 + 4.100 − = 6a + 4b − Vậy vế trái = 6392 − 2194i với   2194 = 2.1000 + 2.100 − = 2a + 2b − 6a + 4b − = Để vế trái =  ⇔ a = −2; b =  2a + 2b − = Vậy z = −2 + 5i ⇒ P = 2a + b = ⇒ Đáp số xác C Bài 7-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P = 2a + b A C D Đáp án khác B − GIẢI ce Phương trình ⇔ ( − 3i ) z + ( + i ) z + (1 + 3i ) = Nhập vế trái vào máy tính Casio CALC với X = 1000 + 100i w w w fa (2p3b)Q)+(4+b)q22Q))+(1 +3b)dr1000+100b= 6392 = 6.1000 + 4.100 − = 6a + 4b − Vậy vế trái = 6392 − 2194i với   2194 = 2.1000 + 2.100 − = 2a + 2b − Trang 268 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Các khái niệm thường gặp H oc Hệ trục thực ảo gồm có trục vng góc với : Trục nằm ngang trục thực, trục đứng dọc trục ảo Số phực z = a + bi biểu diễn hệ trục thực ảo điểm M ( a; b ) 01 BÀI 30 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Môđun số phức z = a + bi độ lớn vecto OM Lệnh Caso GIẢI hi up s/ −1 Cô lập z = 1+ i nT Ta iL ie phức z điểm điểm M , N , P, Q B.điểm Q C.điểm M D.điểm N A.điểm P uO II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 31 Đề minh họa THPT Quốc Gia lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = − i Hỏi điểm biểu diễn số D Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE Lệnh giải phương trình bậc hai MODE Lệnh giải phương trình bậc ba MODE Sử dụng máy tính Casio mơi trường CMPLX để tìm z om /g ro w2a3pbR1+b= c ⇒ z = − 2i điểm biểu diễn z hệ trục thực ảo có tọa độ (1; −2 ) Điểm có thực dương ok ảo âm nằm góc phần tư thứ IV ⇒ Điểm phải tìm Q đáp án xác B w w w fa ce bo VD2-[Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần thơ lần năm 2017] Điểm biểu diễn số phức z = + bi với b ∈ R , nằm đường thẳng có phương trình : B y = x C y = x + D y = A x = GIẢI Điểm biểu diễn số phức z = + bi điểm M có tọa độ M ( 7; b ) Ta biết điểm M thuộc đường thẳng d tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d Thử đáp án A ta có x = ⇔ 1.x + y − = Thế tọa độ điểm M vào ta : 1.7 + 0.b − = (đúng) Vậy điểm M thuộc đường thẳng x = ⇒ Đáp án A xác VD3-[Thi thử Group Nhóm tốn – Facebook lần năm 2017] Các điểm M , N , P điểm biểu diễn cho số phức 4i z1 = ; z2 = (1 − i )(1 + 2i ) ; z3 = −1 + 2i i −1 A Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân D.Tam giác Trang 269 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GIẢI Rút gọn z1 Casio 01 a4bRbp1= Ta z1 = − 2i điểm M ( 2; −2 ) oc Rút gọn z2 Casio hi D H (1pb)(1+2b)= nT Ta z2 = + i điểm N ( 3;1) Tương tự z2 = −1 + 2i điểm P ( −1; ) bo ok c om /g ro up s/ Ta iL ie uO Để phát tính chất tam giác MNP ta nên biểu diễn điểm M , N , P hệ trục tọa độ w w w fa ce Dễ thấy tam giác MNP vuông cân P ⇒ đáp án C xác VD4-[Thi thử báo Tốn học Tuổi trẻ lần năm 2017] Trong mặt phẳng Oxy , gọi điểm M , N điểm biểu diễn số phức z1 = − i, z2 = + 2i Gọi G trọng tâm tam giác OMN , với O gốc tọa độ Hỏi G điểm biểu diễn số phức sau 1 B + i C + i D + i A − i 3 GIẢI Điểm M biểu diễn số phức z1 = − i ⇒ tọa độ M (1; −1) Điểm N biểu diễn số phức z2 = + 2i ⇒ tọa độ N ( 3; ) Gốc tọa độ O ( 0;0 ) Trang 270 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tiếp theo tiến hành thử nghiệm số phức theo thứ tự môđun tăng dần, số phức thỏa mãn hệ thức điều kiện z − − 4i = z − 2i Với z = −1 + i Xét hiệu : ( −1 + i ) − − 4i − ( −1 + i ) − 2i oc 01 qc(p1+b)p2p4b$pqcp1+b p2b= H Ra giá trị khác z = −1 + i không thỏa mãn hệ thức ⇒ Đáp án A sai Tương tự với z = + 2i uO nT hi D qc2+2bp2p4b$pqc2+2bp2 b= Ta iL ie Vậy số phức z = + 2i thỏa mãn hệ thức ⇒ Đáp số C đáp số xác Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i ⇔ a − + (b − 4) i = a + (b − ) i 2 ⇔ ( a − 2) + (b − 4) = a + (b − 2) ro up s/ ⇔ a − 4a + + b − 8b + 16 = a + b − 4b + ⇔ 4a + 4b = 16 ⇔ a+b−4 = Trong đáp án có đáp án C thỏa mãn a + b − = ⇒ Đáp án xác C om /g Cách tự luận Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i ⇔ a − + (b − 4) i = a + (b − ) i 2 c ⇔ ( a − 2) + (b − 4) = a + (b − 2) bo ok ⇔ a − 4a + + b − 8b + 16 = a + b − 4b + ⇔ 4a + 4b = 16 ⇔ a+b = Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki : 2 ce 16 = ( a + b ) ≤ (12 + 12 )( a + b2 ) ⇒ z = a + b ≥ fa ⇒ z ≥2 w w w a b  = ⇔ a = b = ⇒ z = + 2i Dấu = xảy ⇔  1 a + b = VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Với số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + − 7i = Tìm giá trị lớn z A max z = B max z = C max z = D max z = GIẢI Cách mẹo Trang 286 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn (1 + i ) z + − 7i = ⇔ ( a + bi )(1 + i ) + − 7i = ⇔ a − b +1+ (a + b − 7)i = 2 ⇔ ( a − b + 1) + ( a + b − ) = 2 01 ⇔ 2a + 2b + 50 − 12a − 16b = ⇔ a + b − a − 8b + 25 = oc ⇔ ( a − 3) + ( b − ) = H Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 3; ) bán kính R = Ta gọi đường tròn ( C ) a + b2 Ta gọi đường tròn ( C ') , Mơđun z bán kính đường tròn ( C ') hi kính D Với điểm M biểu diễn số phức z = a + bi M thuộc đường tròn tâm O ( 0;0 ) bán nT Để bán kính ( C ' ) lớn O, I , M thẳng hàng (như hình) ( C ' ) tiếp xúc với ( C ) uO Khi OM = OI + R = + = ⇒ Đáp số xác D Cách tự luận Ta iL ie Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn (1 + i ) z + − 7i = ⇔ ( a + bi )(1 + i ) + − 7i = 2 ⇔ ( a − b + 1) + ( a + b − ) = 2 ⇔ ( a − 3) + ( b − ) = om /g ro ⇔ 2a + 2b + 50 − 12a − 16b = ⇔ a + b − a − 8b + 25 = up s/ ⇔ a − b +1+ (a + b − 7)i = Ta có z = a + b = a + 8b − 24 = ( a − ) + ( b − ) + 26 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : ( a − ) + ( b − ) ≤ ( a − ) + ( b − ) (6 2 + 82 ) ( a − 3) + ( b − )  = 10   ok c ≤ Vậy z ≤ 36 ⇔ z ≤ fa ce bo ⇒ đáp án D xác Bình luận Việc sử dụng bất đẳng thức để đánh giá z khó khăn, đòi hỏi học sinh phải nắm vững bất đẳng thức Bunhiacopxki biến dạng Trong tình toán này, so sánh cách giải ta thấy dùng mẹo tiếp xúc tỏ đơn giản dễ hiểu tiết kiệm thời gian w w w VD3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = 10 , giá trị lớn giá trị nhỏ z : A.10 B C 3D GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn z − + z + = 10 ⇔ a − + bi + a + + bi = 10 Trang 287 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ⇔ ( a − 4) + b2 + ⇔ ( a + 4) + b = 10 − ( a + 4) + b = 10 ( a − 4) + b2 ⇔ a + 8a + 16 + b = 100 + a − 8a + 16 + b − 20 + b2 + b = 100 − 16a 01 (a − 4) ⇔5 2 + b = 25 − 4a oc ( a − 4) ⇔ 20 ( a − 4) ⇔ 25 ( a − 8a + 16 + b ) = 625 − 200a + 16a D H ⇔ 9a + 25b = 225 a b2 ⇔ + =1 25 hi Vậy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường Elip đỉnh thuộc đáy lớn A ( 5;0 ) , đỉnh thuộc nT đáy nhỏ B ( 0;3) uO Với điểm M biểu diễn số phức z = a + bi M thuộc đường tròn tâm O ( 0;0 ) bán a + b2 Ta gọi đường tròn ( C ') , Mơđun z bán kính đường tròn ( C ') kính Ta iL ie Để bán kính ( C ' ) lớn M trùng với đỉnh thuộc trục lớn M ≡ A ( 5;0 ) ⇒ OM = ⇒ max z = Để bán kính ( C ' ) lớn M trùng với đỉnh thuộc trục nhỏ M ≡ B ( 0;3) ⇒ OM = up s/ ⇒ z = ⇒ Đáp số xác D ro Cách tự luận Gọi số phức z có dạng z = a + bi z thỏa mãn z − + z + = 10 om /g ⇔ a − + bi + a + + bi = 10 ⇔ ( a − 4) + b2 + ( a + 4) ⇔ ( a + 4) + b2 + ( − a + ) + ( −b ) + b = 10 2 = 10 (a + 4) + b2 + ok ⇔ 10 = c Theo bất đẳng thức vecto ta có : ( − a + ) + ( −b ) 2 ≥ ( a + ) − ( − a + )  + b − ( −b )  ce bo ⇔ 10 ≥ 4a + 4b ⇔ 10 ≥ z ⇒ z ≤ fa Ta có ⇔ ( a − 4) + b2 + ( a + 4) + b = 10 w w w Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 100 = ( ( a − 4) + b2 + ( a + 4) 2 + b2 ) ≤ (1 + ) ( a − 4) + b + ( a + 4) + b  2 2 2 ⇔ 100 ≤ ( 2a + 2b + 32 ) ⇔ 2a + 2b + 32 ≥ 50 ⇔ a2 + b2 ≥ Vậy z ≥ ⇔ z ≤ ⇒ ≤ z ≤ ⇒ đáp án D xác Trang 288 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 VD4-Trong số phức z thỏa mãn z − − z + = , tìm số phức z có mơđun nhỏ A z = − 3i B z = −1 + 3i C z = D z = + i GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z có dạng z = x + yi z thỏa mãn z − − z + = ⇔ ( x − 2) + y2 − ⇔ ( x − 2) + y2 = + ( x + 2) ⇔ ( x − 2) + y = + ( x + 2) + y2 = 2 oc + y2 H ( x + 2) 01 ⇔ x − + yi − x + + yi = 2 + y2 + ( x + 2) + y 1  + y  −1 − x ≥ ⇔ x ≤ −  2  2 ⇔ + 4x + 4x = x + 4x + + y y2 =1 D hi y2 = có đỉnh thuộc thực Ta iL ie Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z Hypebol ( H ) : x − nT ⇔ x2 − uO ( x + 2) ⇔ −1 − x = A ' ( −1;0 ) , B (1;0 ) Số phức z = x + yi có điểm biểu diễn M ( x; y ) có mơđun OM = a + b Để OM đạt giá up s/ trị nhỏ M trùng với hai đỉnh ( H ) M ≡ A ⇒ M (1;0 ) ⇒ z = ro ⇒ Đáp án xác C ok c om /g II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Môđun z nhỏ đạt : −1 + 2 1+ 2 B C + D − A 2 Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z − 3i + i z + = 10 Hai số phức z1 z2 có mơđun nhỏ ce bo Hỏi tích z1 z2 B −25 C 16 D −16 A 25 Bài 3-Trong số phức z thỏa mãn iz − = z − − i Tính giá trị nhỏ z 1 D 5 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Mơđun z nhỏ đạt : −1 + 2 1+ 2 B C + D − A 2 B C w w w fa A GIẢI Cách mẹo Gọi số phức z = x + yi thỏa mãn 2z − + 2i = ⇔ x − + yi + 2i = Trang 289 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 ⇔ ( 2x − 2) + ( y + 2) = 2 ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) có tâm I (1; −1) bán kính R = 01 Với điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi thuộc đường tròn tâm O bán kính ( C ') −1 + 2 H Khi điểm M tiếp điểm đường tròn ( C ) ( C ') z = OM = OI − R = oc R ' = z = x + y Vì để R = z nhỏ đường tròn ( C ') phải tiếp xúc với đường nT hi D s(1p0)d+(p1p0)d$pa1R2= uO ⇒ Đáp số xác A Hỏi tích z1 z2 B −25 A 25 C 16 Ta iL ie Bài 2-Trong số phức z thỏa mãn z − 3i + i z + = 10 Hai số phức z1 z2 có mơđun nhỏ D −16 GIẢI Cách mẹo up s/ Gọi số phức z = x + yi thỏa mãn z − 3i + i z + = 10 ⇔ x + ( y − 3) i + y + + xi = 10 x + ( y − 3) + ⇔ ( y + 3) + x = 10 + x = 10 − x + ( y − 3) om /g ( y + 3) ro ⇔ 2 ⇔ ( y + 3) + x = 100 − 20 x + ( y − 3) + x + ( y − 3) 2 x2 y + =1 16 25 bo ⇔ ok ⇔ 25 x + 16 y = 400 c ⇔ 20 x + ( y − 3) = 100 − 12 y ce Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elip ( E ) : x2 y + = có đỉnh thuộc trục nhỏ 16 25 fa A ( −4;0 ) , A ' ( 4;0 ) w Với điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi thuộc đường tròn tâm O bán kính w w R ' = z = x + y Vì elip ( E ) đường tròn ( C ) có tâm O nên để OM nhỏ M đỉnh thuộc trục nhỏ ⇒ M ≡ A ' ⇒ z1 = −4 , M ≡ A ⇒ z2 = Tổng hợp z1.z2 = ( −4 ) = −16 ⇒ Đáp số xác D Mở rộng Trang 290 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nếu đề hỏi tích z1 z2 với z1 , z2 có giá trị lớn hai điểm M biểu diễn hai số phức hai đỉnh thuộc trục lớn B ( 0; −5 ) , B ' ( 0;5) ⇒ M ≡ B ' ⇒ z1 = −5i , M ≡ A ⇒ z2 = 5i GIẢI H Cách mẹo Gọi số phức z = x + yi thỏa mãn iz − = z − − i 2 hi D ⇔ − y − + xi = x − + ( y − 1) i ⇔ ( − y − ) + x = ( x − ) + ( y − 1) oc Bài 3-Trong số phức z thỏa mãn iz − = z − − i Tính giá trị nhỏ z 1 1 B C D A 5 01 Tổng hợp z1 z2 = 5i ( −5i ) = −25i = 25 uO nT ⇔ y + y + + x2 = x2 − 4x + + y − y + ⇔ x + y +1 = ⇔ 20 x + ( y − 3) = 100 − 12 y Ta iL ie Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng ( d ) : x + y + = Với điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi thi z = OM ≥ OH với H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng ( d ) OH khoảng cách từ điểm O lên đường thẳng ( d ) Vậ y z ≥ 1.0 + 2.0 + +2 = 1 up s/ Tính OH = d ( O; ( d ) ) = w w w fa ce bo ok c om /g ro ⇒ Đáp số xác D x − y + + xyi x3 − xy + x + x yi + y 3i − yi + xy x + yi + = = x + yi x + yi x2 + y Trang 291 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 33 PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC H z n = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) oc Dạng lượng giác số phức : Cho số phức z có dạng z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) ta ln có : 01 I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Chuyển số phức dạng lượng giác Lệnh chuyển số phức z = a + bi dạng lượng giác : Lệnh SHIFT D Bước 1: Nhập số phức z = a + bi vào hình dùng lệnh SHIFT (Ví dụ z = + 3i ) π Ta iL ie Bước 2: Từ bảng kết ta đọc hiểu r = ϕ = uO nT hi 1+s3$bq23= II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị z1 + z2 : C D GIẢI up s/ B A Cách Casio Tính nghiệm phương trình bậc hai z − z + = chức MODE c om /g ro w531=p1=1== ok Vậy ta hai nghiệm z1 = 3 + i z2 = − i Tính tổng Mơđun hai số phức ta 2 2 bo lại dùng chức SHIFT HYP w fa ce w2qca1R2$+as3R2$b$+qc a1R2$pas3R2$b= w w ⇒ z1 + z2 = ta thấy B đáp án xác VD2-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + = Tính giá trị biểu thức P = z12016 + z22016 : B A 21009 C 22017 D 21008 GIẢI Cách Casio Trang 292 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tính nghiệm phương trình bậc hai z + z + = chức MODE 01 w531=2=2== Ta thu hai nghiệm z1 = −1 + i z2 = −1 − i Với cụm đặc biệt −1 + i , −1 − i ta có điều 4 oc đặc biệt sau: ( −1 + i ) = −4 , ( −1 − i ) = −4 504 + ( −4 ) 504 + ( −1 − i ) 2016 = ( −1 + i )    504 = 4504 + 4504 = 21008 + 21008 = 2.21008 = 21009 P = z12016 + z22016 = 21009 ta thấy A đáp án xác 504 Ta iL ie Cách Casio +  ( −1 − i )    uO = ( −4 ) 2016 nT Vậy P = z12016 + z22016 = ( −1 + i ) hi D H w2(p1+b)^4= Ngoài cách sử dụng tính chất đặc biệt cụm ( −1 ± i ) ta xử lý −1 ± i cách đưa dạng lượng giác lệnh SHIFT Với z1 = −1 + i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) om /g ro up s/ p1+bq23= Ta nhận r = góc ϕ = 3π ( 2) 2016 3π 3π   + i sin 2016   cos 2016 4   ok c 3π 3π   2016 ⇒ z1 =  cos + i sin  ⇒ z1 = 4   3π  3π    Tính cos  2016  + i.sin  2016      w w w fa ce bo k2016Oa3qKR4$+bOj2016 Oa3qKR4$))o= z12016 = ( 2) 2016 = 21008 Tương tự z22016 = 21008 ⇒ T = 21009 VD3-[Đề minh họa GD-ĐT lần năm 2017] Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 bốn nghiệm phức phương trình z − z − 12 = Tính tổng : T = z1 + z2 + z3 + z4 A T = B T = C T = + D T = + GIẢI Trang 293 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Cách Casio Để tính nghiệm phương trình ta dùng chức MODE Tuy nhiên máy tính tính phương trình bậc nên để tính phương trình bậc trùng phương z − z − 12 = ta coi z = t phương trình trở thành t − t − 12 = oc 01 w531=p1=p12== H  z2 = t = Vậy  hay  t = −3  z = −3 D Với z = ⇒ z = ±2 hi Với z = −3 ta đưa z = 3i ⇔ z = ± 3i với i = −1 Hoặc ta tiếp tục sử dụng nT chức MODE cho phương trình z = −3 ⇔ z + = Ta iL ie uO w531=0=3== Tóm lại ta có nghiệm z = ±1, z = ± 3i Tính T ta lại sử dụng chức tính mơđun SHIFT HYP ro up s/ w2qc2$+qcp2$+qcs3$b$+ qcps3$b= om /g ⇒ Đáp án xác C VD4-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Giải phương trình sau tập số phức : z + ( i + 1) z + ( i + 1) z + i = c 3 i C z = − − i B z = − + D.Cả A, B, C 2 2 GIẢI ok A z = −i bo Cách Casio Để kiểm tra nghiệm phương trình ta sử dụng chức CALC w w w fa ce Q)^3$+(b+1)Q)d+(b+1)Q )+brpb= Vậy z = −i nghiệm Tiếp tục kiểm tra z = − + i giá trị nghiệm đáp án A B có nghĩa 2 đáp án D xác Nếu giá trị khơng nghiệm có đáp án A rp(1P2)+(s3)P2)b= Trang 294 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 i tiếp tục nghiệm có nghĩa đáp án A B Vậ y z = − + 2 ⇒ Đáp án xác D ( oc Cách tự luận Để giải phương trình số phức xuất số i ta khơng thể sử dụng chức MODE mà phải tiến hành nhóm nhân tử chung 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ) H Phương trình ⇔ z + z + z + z + z + i = hi D  z = −i ⇔ ( z + i ) ( z + z + 1) = ⇔   z + z +1 = Phương trình z + z + = khơng chứa số i nên ta sử dụng máy tính Casio với chức nT giải phương trình MODE Ta iL ie uO w531=1=1== Tóm lại phương trình có nghiệm z = −i ; z = − 3 + i; z = − − i 2 2 up s/ ⇒ D đáp án xác VD5-[Thi thử báo Tốn học tuổi trẻ lần năm 2017] Trong phương trình đây, phương trình có hai nghiệm z1 = + ; z2 = − om /g ro A z + i z + = B z + 2z + = C z − 2z + = D z − 2z − = GIẢI Ta hiểu phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm tuân theo định lý Vi-et (kể tập số thực hay tập số phức ) ok c b   z1 + z2 = − a  z z = c  a Tính z1 + z2 = Tính z1 z2 = (1+s3$b)(1ps3$b)= w w w fa ce bo w21+s3$b+1ps3$b= Rõ ràng có phương trình z − 2z + = có − b c = = a a ⇒ Đáp số xác C Trang 295 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 H Vậy ta cần tính ∆ xong Với phương trình z + iz + = ∆ = i − = −5 đại lượng < phương trình có nghiệm phân biệt ⇒ Đáp số xác A B A −1 + i C − 2i ) D 3+i 10 ( −1 − i ) nT VD7-Phần thực số phức z biết z = ( hi 10 (1 − i ) D 25 i uO GIẢI oc VD6-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Phương trình z + iz + = có nghiệm tập số phức : B C D.Vô số A GIẢI Ta phân biệt : Trên tập số thực phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm phân biệt ∆ > , có hai nghiệm kép ∆ = , vô nghiệm ∆ < Tuy nhiên tập số phức phương trình bậc hai ax + bx + c = có nghiệm ∆ = , có hai nghiệm phân biệt ∆ >  ∆ < 01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Để xử lý số phức bậc cao ( > 3) ta sử đưa số phức dạng lượng giác sử dụng công thức Moa- z110 z25 z310 Ta iL ie vơ Và để dễ nhìn ta đặt z = Tính z1 = − i = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) Để tính r ϕ ta lại sử dụng chức SHIF ro up s/ 1pbq23= −π −π  10  + i sin  z1 = 4   −π −π Tính cos10 + i sin10 4 om /g Vậy z1 =  cos 10 ( 2) −π −π   + i sin10  cos10  4   ce bo ok c k10OapqKR4$)+bj10Oapq KR4$)= w w w fa Vậy z110 = 10 ( 2) i = 25.i  π  + i sin  = 25  − + i  6  2  −2π −2π  10    + i sin10 z310 = 210  cos10 i   =  − − 3    2    Tương tự z25 = 25  cos π Trang 296 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   5 2 − + i i  2  z110 z25  Tổng hợp z = 10 = z3   210  − − i 2   H oc 01 a2^5$bO2^5$(pas3R2$+a1 R2$b)R2^10$(pa1R2$pas3 R2$b)= D Vậy z = ⇒ Đáp số xác B uO nT hi III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho phương trình z − 2z + 17 = có hai nghiệm phức z1 z2 Giá trị z1 + z2 : Ta iL ie B 13 C 10 D 15 A 17 Bài 2-[Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009] Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 up s/ B 20 C D 10 A 10 Bài 3-[Thi thử Group Nhóm tốn lần năm 2017] Kí hiệu z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z + 27 = Tính tổng T = z1 + z2 + z3 om /g T = z1 + z2 + z3 + z4 ro B T = 3 C T = D T = A T = Bài 4-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017] Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z − 3z − = Tính tổng sau : ok c C D A B Bài 5-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017] Xét phương trình z = tập số phức Tập nghiệm phương trình :  −1 ±      B S = 1; D S =  − ± A S = {1} i i  C S = 1; − ±  2     2  bo Bài 6-Biết z nghiệm phương trình z + 1 = Tính giá trị biểu thức P = z 2009 + 2009 z z D P = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho phương trình z − 2z + 17 = có hai nghiệm phức z1 z2 Giá trị z1 + z2 : B P = C P = − w w w fa ce A P = A 17 B 13 C 10 D 15 GIẢI Cách Casio Tìm hai nghiệm phương trình z − 2z + 17 = w531=p2=17== Trang 297 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Tính tổng hai môđun lệnh SHIFT HYP oc 01 w2qc1+4b$+qc1p4b= H Vậy z1 + z2 = 17 ⇒ Đáp số xác A C D 10 hi B 20 A 10 nT GIẢI Cách Casio Tìm hai nghiệm phương trình z + 2z + 10 = Ta iL ie uO w531=2=10== Tính tổng bình phương hai mơđun lệnh SHIFT HYP D Bài 2-[Đề thi toán Đại học – Cao đẳng khối A năm 2009] Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 ro up s/ w2qcp1+3b$d+qcp1p3b$d= om /g Vậy A = z1 + z2 = 20 ⇒ Đáp số xác B B T = 3 C T = D T = ok A T = c Bài 3-[Thi thử Group Nhóm tốn lần năm 2017] Kí hiệu z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z + 27 = Tính tổng T = z1 + z2 + z3 bo GIẢI Cách Casio Tính nghiệm phương trình z + 27 = chức MODE w fa ce w541=0=0=27== 3 3 3 + i , z3 = − i 2 2 Tính tổng mơđun T = z1 + z2 + z3 w w Vậy z1 = −3, z2 = w541=0=0=27====w1w2qcp3 $+qca3R2$+a3s3R2$b$+qca 3R2$pa3s3R2$b= Trang 298 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 01 Vậy T = ⇒ Đáp số xác C Bài 4-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017] Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình 2z − 3z − = Tính tổng sau : T = z1 + z2 + z3 + z4 B C D oc A H GIẢI Cách Casio Đặt t = z Tìm nghiệm phương trình 2t − 3t − = uO Ta iL ie up s/  z2 = t = Vậ y  ⇒ z = − t = −   2 Với z = ⇒ z = ± −1 i2 i 2 ⇒z = ⇒z=± Với z = 2 Tính tổng môđun T = z1 + z2 + z3 + z4 nT hi D w532=p3=p2== om /g ro w2qcs2$$+qcps2$$+qcabR s2$$$+qcapbRs2= bo ok c Vậy T = ⇒ Đáp số xác C Bài 5-[Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần năm 2017] Xét phương trình z = tập số phức Tập nghiệm phương trình :  −1 ±      B S = 1; D S =  − ± A S = {1} i i  C S = 1; − ±  2     2  ce GIẢI fa Cách Casio Giải phương trình bậc ba z − = với chức MODE 54 w w w w541=0=0=p1== Phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = − 3 + i, x3 = − − i 2 2 ⇒ Đáp số xác C Trang 299 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Bài 6-Biết z nghiệm phương trình z + B P = C P = − A P = D P = 1 = Tính giá trị biểu thức P = z 2009 + 2009 z z GIẢI Quy đồng phương trình z + = ta phương trình bậc hai z − z + = Tính nghiệm phương trình z oc với chức MODE D H w531=p1=1== uO π π  − i ta chuyển dạng lượng giác ⇒ z = 1 cos + i sin  2 3  nT hi Ta thu hai nghiệm z hai nghiệm có vai trò nên cần lấy nghiệm z đại diện Với z = π  π π + i sin 2009  =  cos 2009 + i sin 2009  3  3 π up s/   Ta iL ie a1R2$+as3R2$bq23= Vậy ⇒ z 2009 = 12009  cos 2009 Tính z 2009 lưu biến A c ok =1 A om /g ro Wk2009OaqKR3$)+bj2009Oa qKR3$)=qJz Tổng kết P = A + 01 Cách Casio ce bo Qz+a1RQz= w w w fa ⇒ Đáp số xác A Trang 300 GV: Trần Bá Hưng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ... Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z = −1 + i B z = −2 + 2i C z = + 2i D z = + 2i GIẢI Cách Casio Trong số phức đáp án, ta tiến hành xắp xếp số phức. .. 2017] 22 Cho số phức z = (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) Phần thực số phức z : om /g Vậy z = B −211 + c A −211 C −211 − D 211 GIẢI ok Dãy số cấp số nhân với U = (1 + i ) , số số hạng 21 công... năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn + z = − i Chọn phát biểu A.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng B.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Parabol C.Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường