De thi tuyen sinh mon toan chuyen truong KHTN 2015

De thi tuyen sinh mon toan chuyen truong KHTN 2015 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUN NĂM 2015 MƠN THI: TỐN(VỊNG II) Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3 điểm) 1) Với a, b, c số thực thỏa mãn: (3a  3b  3c)3  24  (3a  b  c)3  (3b  c  a)3  (3c  a  b)3 Chứng minh :  a  2b  b  2c  c  2a   x  y  xy   2) Giải hệ phương trình:  3 27( x  y )  y   26 x  27 x  x Câu II (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để n  n  30 số phương (số phương bình phương số ngun) 2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức:  x  y   x  y 3) Giả sử x, y, z số thực lớn 2.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z P   y z4 z x4 x y4 Câu III.(3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân với AB  AC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC.Gọi H hình chiếu vng góc B đoạn AM.Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN  2MH 1) Chứng minh BN  AC 2) Gọi Q điểm đối xứng với A qua N Đường thẳng AC cắt BQ D Chứng minh bốn điểm B, D, N , C thuộc đường tròn,gọi đường tròn  O  3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt  O  G khác D Chứng minh NG song song với BC Câu IV.(1 điểm) Ký hiệu S tập hợp gồm 2015 điểm phân biệt mặt phẳng.Giả sử tất điểm S không nằm đường thẳng.Chứng minh có 2015 đường thẳng phân biệt mà đường thẳng qua hai điểm S Cán coi thi khơng giải thích thêm Câu 1: 3a  b  c  x  Đặt 3b  c  a  y  3c  a  b  z  Ta có: (3a  3b  3c)3  24  (3a  b  c)3  (3b  c  a )3  (3c  a  b)3  ( x  y  z )3  24  x  y  z  ( x  y  z )3  24  ( x  y  z )3  3( x  y )( y  z )( z  x)  24  3( x  y )( y  z )( z  x)   24  3(2a  4b)(2b  4c)(2c  4a )   24  24(a  2b)(b  2c)(c  2a )   (a  2b)(b  2c)(c  2a )  Ta có : x  y  xy    3 27( x  y )  y   26 x  27 x  x ( x  2)( y  2)    3 27( x  y )  y   26 x  27 x  x  y  x3   3( x  y )( x  2)( y  2)  27 x3  27 x  x  y  x3   3xy ( x  y )  12( x  y )  6( x  y )2  (3x  1)3  ( x  y  2)3  (3 x  1)3  x  y   x   y   2x x   y    x    x  1     x  3,5  y  8 Vậy  x, y   1,1 ;  3,5, 8  Câu 2: 1)  n   x2 Đặt   x, y  , x, y   n  30  y  y  x  25  ( y  x)( y  x)  1.25  x, y  , x, y    y  x 1  y  13 Lại có y  x  y  x nên    y  x  25  x  12 Thay vào ta tính n  139 thoả mãn 2) Ta thấy :  x  y   x  y x, y   x  y  3, x , y  Đặt x  a, y  b, x  y   c  a, b, c    x, y số phương a  b  c  a  b  c     x  y  a  b2   2 c  a  b   x  y   c2    a  b  1  a  b   2a  2b  2ab  3   a  1 b  1  a   x    b   y   a   x     b   y  3) Ta có : P x y z   y z4 z x4 x y4 P  4x 4y 4z   y z4 z x4 x y4 4x 4y 4z   y z 44 x z 44 x y44  x y z   4   6  yz xz x y Dấu = xảy x  y  z  x   y  Q N G D A H B C M P a P điểm đối xứng A qua M  HP = HM + MB = 2HM + AH = AN + AH = HN  H trung điểm NP Mà BH  NP  Tam giác PNB cân B BN = BP Mặt khác lại có: M trung điểm BC, AP  Tứ giác ACPB hình bình hành  AC = BP  AC = BN b,Do tứ giác ACPB hình bình hành  PAC  APB Mà tam giác PBN cân B  APB  ANB  ANB  PAC  CAN  BNQ Có: AC = NB, NQ = AN  BNQ  CAN  NBD  NCD  N, B, C, D thuộc đường tròn C, G giao điểm (DQG) với (DBC)  CAG  BQG Mà GBQ  GCA  Tam giác GBQ đồng dạng tam giác GCA  GA GQ GA GQ    AC QB NB NC Mà BNC  BDC  AGQ  Tam giác NBC đồng dạng với tam giác GAQ  GQA  NCB  NCB  GDC  GC = NB  NG//BC Câu Giả sử mặt phẳng có n điểm thẳng hàng tồn đường thẳng Theo điểm cho không nằm đường thẳng nên tồn điểm không nằm đường thẳng nối điểm với n- điểm cho ta n-1 đường thẳng với đường thẳng qua n-1 điểm ta n đường thẳng Thay n = 2015 tồn 2015 đường thẳng ... điểm với n- điểm cho ta n-1 đường thẳng với đường thẳng qua n-1 điểm ta n đường thẳng Thay n = 2015 tồn 2015 đường thẳng