Bảo vệ khóa luận tốt nghiệp Vật lý 2007 - No 3

Phần một: mở đầu Như chúng ta đã biết, cho đến thế kỉ XIX thì một chuyên ngành vật lí mới đã ra đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học, đó chính là Vật lý lí thuyết. Chuyên ngành vật lý lí thuyết ra đời đã nâng cao và khái quát những định luật Vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức tổng quát và có ý nghĩa to lớn trong khoa học, đời sống và kỹ thuật .Bằng những phương pháp toán học hiện đại, phát triển cao, Vật lý lí thuyết còn tìm ra những quy luật mới chưa hề được tìm ra bằng thực nghiệm và tiên đoán trứơc được mối quan hệ giữa các hiện tượng vật lý. Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến, sẽ gặp các phương trình vi phân thông thường mà nghiệm của chúng là các hàm đặc biệt như hàm Delta, hàm Gamma, hàm Bessel, hàm cầu, Từ đó mà vấn đề đặt ra là phải tìm hiểu và nắm vững nội dung các hàm đặc biệt Từ những suy nghĩ trên, em đặt ra mục đích là phải nghiên cứu về một số hàm đặc biệt trong vật lí để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình Nội dung của luận văn gồm ba chương: Chương I: Hàm Delta Chương II: Hàm Gamma ChươngIII: Hàm Bessel. Phần hai: Nội dung Chương 1: Hàm DELTA 1. Hàm Delta: 1.1. Định nghĩa: Các giá trị của hàm Delta không phải được xác định theo các giá trị của đối số như các hàm thông thư ờng mà bằng biểu thức định nghĩa ( cho hàm Delta một biến) như sau: Với (1.1) 1.2. Tính chất cơ bản: Từ định nghĩa, ta dễ dàng rút ra được 7 tính chất của hàm Delta: (2.1); (2.2); (2.3); .(2.7) 1.3. Các bài toán liên quan: 1.3.1. Dùng hàm Delta để biểu diễn ý nghĩa vật lí của nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn. 0, x 0 (x) , x 0 = = xdx 1. = Bằng phương pháp Fourier ta đã tìm được nghiệm của phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn. Vậy nghiệm cơ bản (I.6) cho ta thấy phân bố nhiệt trong thanh lúc t > 0 nếu lúc t = 0 có một nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ đặt tại điểm ( ) 1.5 2 ( x) 1 2 4a t u(x, t) f ( )U(x,t, )d f ( )e d 2a t + + = = 2 ( x) 1 2 4a t U(x, t, ) e d (1.6) 2a t = Q c= r x =x Sử dựng hàm deta tìm được ý nghĩa vật lí của nghiệm (I.5): nếu nhiệt độ trong thanh lúc t = 0 được cho bởi hàm thì nhiệt độ trong thanh lúc t > 0 được cho bởi hàm: 2.2. Vận dụng trong lí thuyết trường để nghiên cứu trường vô hướng tự do. Bài toán: Chứng minh biểu thức của năng xung lượng qua ảnh Fourie và là: 2 ( x) 1 2 4a t u(x,t) f ( )e d 2a t + = dk * P dxT k a (k)a(k) 0 2 à à à = = ur ur ur ur Lời giải. Ta có: Để tìm được biểu thức ta tìm biểu thức của và . 1 dk 1 dk ikx ikx * (x) e a(k) e a (k) 3 3 2 2 2 2 (2 ) (2 ) = + ur ur ur ur P m 0 P i P Từ biểu thức của P0 và ta có biểu thức của năng xung lượng qua ảnh Founer và như sau: dk * P dxT k a (k)a(k) o 2 ur ur ur ur à à à = = 2.3. Bài toán trong cơ học lượng tử: 2.3.1 Bài toán chuẩn hóa các hàm số ( dùng cho các hàm ứng với phổ liên tục) * Bài toán : Chuẩn hóa hàm số sau: vÒ - hµm víi , vµ trong tr­êng hîp tæng qu¸t d i Aexp Px p ϕ       = h ( p )−∞ < < +∞ i Aexp Pr p ϕ       = uur ur r h Lêi gi¶i: Hµm sau khi ®­îc chuÈn hãa vÒ - hµm cã d¹ng p j d , 1 1 exp Px p ( , ) p 2 h h ϕ π       = ∈ −∞ +∞ Trong tr­êng hîp tæng qu¸t ( ) 3 1 2 i exp pr ,p ( , ) p uur urr h h π ϕ       = ∈ −∞ +∞ p RÎ 23.2. Chứng minh các hệ hàm là trực giao: * Bài toán : Chứng minh rằng hệ các hàm là các hệ trực giao Lời giải: Sử dụng hàm Delta ta chứng minh được hệ các hàm trên là hệ các hàm trực giao 2.3.3. Tìm hàm sóng của hạt. * Bài toán: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với hạt ở trạng thái trong tọa độ biểu diễn dạng Lời giải: ( ) , P - , i Aexp Px h i P x 1 0 (x) e 2 = h h Vậy hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn là: Chương 2: Hàm GAMAMA 1. Hàm gamma: 1.1. Định nghĩa: Hàm Gamma là tích phân Euler loại 2, được kí hiệu và xác định ( đối với những đại lượng dương của biến độc lập ) bằng tích phân suy rộng: ( Với ) (2.1) 1.2. Các tính chất cơ bản: 1.2.1. Dễ thấy rằng tích phân (II.1) hội tụ với mọi (P P ) P 0 = x 1 ( ) e x dx 0 + = ( ) ( 0) > 0 > [...]... của dây dẫn PHầN BA: KếT LUậN Trong khóa luận tốt nghiệp này, tôi đã giải quyết được các vấn đề sau: - Tìm hiểu một số hàm cơ bản thường dùng trong vật lý, đó là các hàm số Delta, Gamma, Bessel - Giải một số bài tập của vật lý thống kê, Lý thuyết trường, Điện động lực, Cơ học lượng tử, có liên quan đến các hàm này Do thời gian và khả năng của bản thân có hạn nên khóa luận tốt nghiệp này chắc chắn còn... 0;i j c x x (3. 19) xJ (à )J ( à )dx = 2 2 0 ic 0 0 x c Trong đó xJ (à ) 0 ic jc c J ( à ) ,i = j 2 1 1 là một hằng số dương nào đó, tức là hàm ,i= 1, 2, x J họ trực giao trên đoạn [0, c] Ta cũng nói (à ) lập thành một0 i c rằng hàm lập thành một họ trực giao với trọng số x trên đoạn [0, c] 7 Giải bài toán hỗn hợp (3. 1) - (3. 3) Ta xây dựng nghiệm của bài toán (3. 1) - (3. 3) dưới dạng à... = (1)k ( )2k + k!T( + k + 1) 2 k =o 2k 1 x J (x) = (1)k k!T( + k + 1) 2 ữ k =0 ( 3. 12 ) ( 3. 13 ) Nghiệm này gọi là hàm Bessel loại một cấp 3 Vài công thức truy hồi: Từ công thức (3. 12) có thể dễ dàng chứng minh các công thức sau: d (x J (x)) = x J +1(x) dx J d J (x) +1(x) = dx x ữ x ( 3. 15 ) ( 3. 16 ) 4 Khai triển tiệm cận các hàm Bessel Không điểm của các hàm Bessel: Một cách chính... chế và thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các quý thầy giáo, cô giáo Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn cô giáo-TS Lưu Thị Kim Thanh và các thầy giáo, cô giáo trong tổ vật lý lý thuyết đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận này Em xin chân thành cảm ơn! ... ứng dụng hàm Gamma vào việc giải bài tóan của vật lý thống kê Bài tóan: Tính lượng hiệu chỉnh vào phương trình trạng thái của chất khí loãng mà các phân tử của nó tương tác với nhau theo đinh luật a (r) = n r với a > 0 Lời giải: x 1 Dựa vào hàm Gamma : ( ) = e x dx 0 ( >0) thể viết kết quả dưới dạng đơn giản: 3 3 1 n N 2 2 n 3 Ptt = a (1 )(kT) Vữ 3 n Chương III: Hàm Bessel 1 Phương trình Bessel:... trường hợp riêng của phương trình sau: d 2V dV (3. 9) S2 +S + (S 2 2 )V = 0 dS 2 dS trong đó là một số dương nào đó Phương trình (3. 9) gọi là phương trình Bessel cấp 2 Giải phương trình Bessel Hàm Bessel Ta hãy tìm một nghiệm riêng của phương trình Bessel (3. 10) x2 y'' + xy' + (x2 2 )y = 0 dưới dạng a xk y=x k =0 k Nghiệm riêng của phương trình Bessel (3. 10) là: 1 x J (x) = (1)k ( )2k + k!T( +... n )2 t à R J n rữ àn (r,t) = b n e 0 R n=1 R àn bn = rf(r)J 0 R r ữdr 20 R2 J ( à n ) 1 2 ( 3. 27 ) ( 3. 28 ) 8 Dao động tự do của màng tròn: 9 Hàm Bessel hạng bán nguyên: Ta hãy xét dao động của quả cầu có biên gắn chặt, nghĩa là tìm nghiệm của phương trình: u,, a 2 u = 0 tt ( 3. 44 ) Bên trong quả cầu bán kính q có tâm ở gốc tọa độ Trong quá trình giải bài toán ta đi đến phương trình:... 1.2 .3 Cũng có thể chứng minh được rằng hàm có đạo hàm mọi cấp 1.2.4 Công thức truy hồi toàn đối với hàm Gamma ( công thức cơ bản thứ nhất): ( ) = ( 1)! (2.2) 1.2.5 Công thức truy hồi toàn cơ bản thứ hai của hàm Gamma: 1 (2n 1)!! a bán nguyên: (n + ) = Đối với các n 2 2 1.2.6 Hàm Gamma ( ) đã được định nghĩa bởi tích phân (II.1) với > 0 Nếu < 0, ta định ( + 1) nghĩa nó bởi công thức (II .3) ,... x2 d2y Đó là phương trình Bessel dạng, tức là hạng bán nguyên Theo tính chất của hàm Gama , ta có: (t+1) = t (t) Suy ra các dao động riêng được biểu diễn bằng nghiệm sau của phương trình dao động (3. 44) u k,m =T R Y ( , ) = k,m k,m m (m+ 1 ) (m+ 1 ) (m+ 1 ) 2 t 2 t 2r a a k k +B sin k Ym ( , ) A k,mcos J 1 k,m q q q m+ 2 10: Bài toán liên quan: Bài toán cơ bản của hiệu ứng mặt ngoài . bài toán hỗn hợp (3. 1) - (3. 3). Ta xây dựng nghiệm của bài toán (3. 1) - (3. 3) dưới dạng ( ) 2 2 n a ( ) t n R (r,t) b e J r n n 0 R n 1 3. 27 à à à ữ . chuyên ngành vật lí mới đã ra đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học, đó chính là Vật lý lí thuyết. Chuyên ngành vật lý lí thuyết