phương pháp giải trắc nghiệm môn toán siêu tốc ôn thi thpt quốc gia từ lớp TỪ LỚP 10 ĐẾN LỚP 12 tất cả các chươngGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOPHƯƠNG PHÁP GIIẢII SIIÊUTỐC TRẮC NGHIIỆM MÔNTOÁNBạn có thể để 50K để ăn 2 tô phở,, nhưng điiều đóthật vô íích,, thay vìì bạn mất 50k để có tàii lliiệu nàyvớii những phương pháp giiảii toán chuyên sâu từllớp 10 đến 12 để bạn thành công,, tôii đã phảii llọmọ đánh nên tàii lliiệu này nên tôii phảii được trảcông và 50k llà quá bèo cho 1 tàii lliiệu hay thế này,,nếu bạn coii mất 50 k để học llà không bằng để ănthìì tôii không còn gìì để nóii,, hãy sở hữu thứ mà tôiiphảii cực khổ mớii tạo nên –TÀII LIIỆU QUÁ DÀII NÊN123..DOG MÀ HÓA HƠII TỆ NHƯNG BẠN TẢII VỀFIILE ĐÍÍNH KÈM THÌÌ VẪN TỐT chúc bạn thànhcôngT396
Trang 11S GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO zk 2k 2k
PHƯƠNG PHÁP GIẢI SIÊ\ TOC TRAC NGHIEM MON
TOAN
Bạn có thể để 50K để ăn 2 tô phở, nhưng điều đó thật vô ích, thay vì bạn mất 50k để có tài liệu này
với những phương pháp giải toán chuyên sâu từ
lớp 10 đến 12 để bạn thành công, tôi đã phải lọ
mọ đánh nên tài liệu này nên tôi phải được trả
công và 50k là quá bèo cho 1 tài liệu hay thế này, nếu bạn coi mất 50 k để học là không bằng để ăn thì tôi không còn gì để nói, hãy sở hữu thứ mà tôi
Trang 2
T396
Trang 5
Theo phương án tổ chức kì thi Trung học phố thông Quốc gia của Bộ Giáo dục và Đào lạo, từ năm học 2017, các bài thi Toán, Ngoại ngữ, Khoa học Tự nhiên và Khoa học Xã hội thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan Đây là sự điều chỉnh lồn của Bộ Giáo dục và Đào tạo về hình thức và nội dung đề thí Trung học phổ thông quốc gia, ảnh hưởng trực tiếp đến việc dạy và học, tài liệu day và học của cả giáo viên và học sinh
Đề thi trắc nghiệm mõn Toán gồm 50 câu, thời gian làm bài 90 phút Đè thí cô phần kiểm tra kiến thức cơ bân dùng để xét tốt nghiệp và phần nâng cao
đùng để sàng lọc thí sinh trong tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng
“Trong quá trình làm bài trắc nghiệm mơn Tốn, nếu như phần Giải tích 12
ngoài việc nắm vững các kiến thức, tính chất cơ ban để tìm được kết quá chính xác, có thể sử dụng máy tính bỏ túi để trợ giúp thì phần hình học không dễ
dàng sử dụng máy tính bô túi để tìm được đáp án Chính vì vậy, học sinh phải
nắm vững các định nghĩa, các công thức, các mỗi liên hệ cơ bản, các tính chất
hình học đặc thủ từ đó thông qua quá trình giái bài tập cơ bản, làm các dạng bài tập hình học điển hình rèn luyện được kĩ năng, rút ngắn được thời gian
làm bàị
Với mục đích đó, nhằm giúp các em học sinh có một cuốn tài liệu tốt về phan Hinh giải tích không gian, nhóm tác giả biên soạn cuốn sách “Phương pháp siêu tốc giải trắc nghiệm môn Toán - Chuyên đề: Hình học Giải tích trong không gian” Trong cuốn sách này, ngoài các chuyên để bám sát các bài
học trong sách giáo khoa còn có thêm một số chuyên đề mở rộng, nâng cao
đáp ứng cho các bài tập có tính chất phân loại cao trong đề thị
Trang 6dạng bài tập cơ bán, các ví dụ ở dạng bài tập trắc nghiệm khách quan, được phân hóa theo bồn mức độ: nhận biết, thông biểu, vận dụng và vận dụng cao; trong đó các bài tập cơ bản chiếm khoảng 70%, các bài tập nâng cao chiếm khoảng 30% Ở mỗi ví dụ, ngoài việc trình bày lời giải dé hoc sinh nam vững,
kiến thức cơ bản, trong nhiều ví dụ có trình bày những nhận xét đặc thù để
giúp cho học sinh có thể nhanh chóng loại bỏ một hoặc hai đáp ám gâu nhiễụ Đặc biệt, sau nhiều ví dụ có phân thủ thuật chọn nhanh đáp án để giúp học sinh nhanh chóng tim được đáp án chính xác Trong chuyên đề cuối cùng, ngoài các bài tập tổng hợp của hình giải tích không gian còn có phan ting dung của Hình Giải tích không gian uào uiệc giải một số bài tập Hình không gian, Cudi mỗi chuyên đề có bài tập để học sinh tự rèn luyện Kết thúc của mỗi chuyên dé là phần Đáp án - Hướng đẫn giải, phần này bao gồm đáp án của tất cả các câu hỏi, bài tập và hướng dẫn giải những câu hỏi, bài tập điển hình hoặc những bài tập khó để học sinh có thể đối chiếu, qua đồ giúp hoc sinh tích lũy kinh nhiệm, hình thành phương pháp giải các bài tập
Đây là cuốn sách tham khảo bổ ích, thiết thực, phục vụ trực tiếp cho việc đạy và học của học phần Hình giải tích không gian Các thây cô giáo có thể lựa chọn nhiều bài tập trong cuốn sách để làm vi dụ khi giảng bài và giao bài tập
về nhà Các em học sinh có thể sử đụng cuốn sách dé tự luyện tập, từ đó nắm
bắt được những kiến thức cơ bản, các dạng bài tập nâng cao của phần hình giải tích không gian
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song không thể trách khỏi những thiểu sót trong quá trình biên soạn, các tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các em học sinh và các bạn đọc để cuén sách được hoàn thiện hơn
Trang 7
Công ty phat hanh sach 2F 290% xin bày | tỏ sự trân quý của mình tới các tác giả, các thầy
cô đã dành thời gian, tâm huyết và cả sự nỗ lực của mình để cuốn sách được ra đờị
Cảm ơn thầy Lương Đức Trọng, thầy Dang Dinh Hanh, thầy Phạm Hoàng Hà đã trực tiếp xây dựng, biên soạn nội dung của cuốn sách
Cảm ơn các thầy cô đã giành thời gian để cộng tác với ›: trong việc biên soạn và
- Giảng viên trường đại học Kinh tế Quốc dân
- Giáo viên dạy luyện thí đại học mơn Tốn tại Hà Nội
- Giám đốc dự án trí tuệ nhân tao Bgo
- Phó hiệu trưởng - Trường THPT Mỹ Đức A - H Mỹ Đức - TP Hà Nội
- Cử nhân khoa học Toán - Tin đại học Khoa học Tự nhiên - Hà Nội
- Danh hiệu Chiến sĩ thi đua cấp cơ sớ nhiều năm liền của Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội - Giảng viên trường đại học Công nghiệp Hà Nội
- 1 trong 7 giáo viên luyện thi Toán giới tại Hà Nội - Gần 20 năm kinh nghiệm luyện thi ĐH, CD
- Là người Thầy của nhiều thủ khoa, á khoa của các trường danh tiếng
- Quan điểm giảng dạy và biên soạn: bám sát nội dung sách giáo khoa và các kiển thức trọng tâm thường có trong đề thị Kiến thức được đề cập từ dễ đến khó, phân dạng rõ ràng - Tác giả của nhiều đầu sách Toán cho sinh viên như Hướng dẫn tự học Toán cao cấp tập 1, tập 2 do NXB Giáo đục ấn hành
- Giáo viên luyện thi mơn Tốn, có hơn 1.200 học sinh thuộc Hà Nội và các tỉnh lân cận đang theo học
- 7 năm kinh nghiệm luyện thi mơn Tốn
- Nhiều phương pháp giải toán trắc nghiệm bằng máy tính
- Phương châm dạy ngắn gọn - hiệu quả cao - Công tác tại ::
~a hy vọng trong thời gian tới, sẽ nhận được nhiều hơn nữa những ý kiến đóng góp, phan biện về chuyên môn cũng như nội dung trong sách của quý thầy cô, quý bạn đọc
Trang 8NHÓM KÍN FACEBOOK Hỗ TRỢ EM
s Lợi ích khi tham gìa nhóm kín?
- Được giải đáp những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách
~_ Được nhận sự hỗ trợ đắc lực từ các thầy Lương Đức Trọng- Đặng Đình Hanh
- Phạm Hoàng Hà và các giáo viên dạy Toán khác
-_ Được giao lưu kết bạn mới cùng chí hướng mãi là người giải đáp?
- Tác giá Lương Đức Trọng - Đặng Đình Hanh - Phạm Hoàng Hà và các giáo viên Toán
-_ Đội ngũ CTV là sinh viên lớp chất lượng cao khoa Toán trường ĐH Sư phạm Hà Nội m Nhóm hoạt động như thế nàỏ
- Nhóm hỗ trợ giái đáp tất cả những thắc mắc của các em xoay quanh các cuốn sách
tham khảo mơn Tốn do SPBook phát hành và các kiến thức Toán học khác ~_ Hỗ trợ 24/24 chỉ cần các em hỏi SPBook sẽ trả lời
nAi được tham gia nhóm?
-_ Học sinh mua một trong những sách tham khảo mơn Tốn mới nhất của SPBook - Học sinh sử dụng sách gốc, không phải sách photo
m Em vào nhóm như thế nàỏ
- Buéc 1: Em like fanpage cla SPBook tai: https://wwwfacebook.com/suphambook/ (nếu em đã like fanpage từ trước rồi thì hãy bỏ qua bước này, tiến hành bước 2 luôn nhé!)
-_ Bước 2: Em chụp 1 ảnh duy nhất có hình sách gốc kèm hóa đơn mua sách gốc rồi gửi về mục Tin nhắn của fanpage SPBook
- Bước 3: Bước còn lại là chờ đợi chút xíu nhé, Admin sẽ kiểm tra thông tin và duyệt
Trang 10
CHỦ ĐỀ 1
1 Hệ tọa độ trong không gian: Hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc trong không gian gồm ba trục z'Óz, /Oy, z'Óz vuông góc với nhau từng đôi một
Goi 7 PF: Hị lần lượt là các uectơ đơn uị trên các trục z⁄Óz, ưOw, zÒz
Điểm Ó được gọi là gốc tọa độ Các mặt phẳng (Ozw), (2z), (Ozz) được gọi là các mặt phẳng tọa độ
Không gian gắn với hệ tọa độ Oz/z được gọi là không gian Oxyz
2 Tọa độ của một điểm: Trong không gian Ozwz cho một điểm tùy ý AM Khi
đó tồn tại duy nhất bộ số (z; y; z) thỏa mãn OM =2.7 +ựỷ +z.Ÿ Ta nói
rằng điểm 4 có tọa độ là (x;y: z) va viét M = (2; y; 2) hoae M(a; y; z) cha y:
© Néu diém A thudc truc Oz thi tọa độ của 4 có dang Ăa; 0;0);
» Nếu điểm ở thuộc trục Oy thì tọa độ của B có dạng B(0;b;0); s Nếu điểm Œ thuộc trục Óz thì tọa độ của Ở có dang C(0;0;¢)
3 Tọa độ của một vectơ: Trong không gian Ozyz cho vectơ ? bắt kì Khi
đó tồn tại duy nhất bộ số (z;¿; z) thỏa mãn # = ee + vd + ak Ta nói
rằng vectơ đ' có tọa độ là (z;g;z) và viết 2 = (z;y;z) hoặc @(a; y;z)
Chú ý:
s Tọa độ của điểm 37 chính là tọa độ của vectơ om
e Tọa độ của các vects don vila: 7 = (1:0;0); f = (0; 1; 0); R= (0; 0; 1)
Trang 11
+ Tọa độ của vectơ là (0;0:0)
4 Biểu thức tọa độ của các phép toán vectd: Trong không gian Oxyz, cho >
hai vectd ở = (z;0;z), b = (z;1/;z) và cho & là một số thực Khi đó ta có: đ+f=(m+eig+lz+2): đ~ =6 yUTWiz— 2)i k@ = (kit; ky; kz) Chú ý: cư n= be 4
s Cho vectơ ở 4 Ở Khi đó vectơ b cùng phương với vecto @ Ishi và
chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho — k#, diễu đó tương đương
e Nếu A (2434432), B= (wp; yn; 2x) thì AB = (En — #A;B — Ai Zn — ZA)-
+ Ba điểm phân biệt 4, B,C thẳng hàng khi và chỉ hai vectd A8, AỞ
cùng phương, nghĩa là tồn tại một số thực & sao cho AB = kAŠ
5 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và một số ứng dụng: Trong không
gian Ozz, cho hai vectd ? = (#0; 2), v= (z!;; z) Ta cơ: > « Biéu thuic toa dé ctia tich vô hướng của hai vecto @, 0 là: > @.b aaa’ tyy +22 - Đặc biệt: ở b © mở! + + z2 = 0 +?2+22,
« Độ dài của vectơ:
+ Gọi ¿ là góc giữa hai vectơ #, voi 7 va khác Ứ Khi đồ
Vụ + z2”
i /z2 +ụ? +28
Trang 12« Khoảng cách giữa hai điểm Ăza: va; za): (en;n: zg) là:
AB| = Vee — 2a) 2
AB= “+ (yn — ya)’ + (en — sa)” ® Nếu A7 là trung điểm của 47 thì tọa độ của MW dude xac định bởi công thức: gat ye ta 5) =o ¢ Néu Ga trong tam cda tam gidc ABC thi toa d6 clia G duge xdc dinh bởi công thức o (tuts ĐA † 1s + tc, mì 3 , 3 , 3 Phương pháp giải: Sử dung định nghĩa, khái niệm có liên quan đến vectơ và các biểu thức tọa độ
Trong không gian Ozz, cho uectd ®È = (9; —1; —2) Tìm tọa độ của các 0ectd b cùng phương vdi vecta @ va cé dé dai bang 6 = (4; —2; ~4) ( = (4;-2;-4) hode B = (4:24) = (12;—6;-12) hoge B = (12; 6; 12) [#| = 2#+12+(~2) Mặt khác hai Vectơ này cùng phương nên ta có b = 3đ hoặc ve ~2% Tir dé ta suy ra — {4 —2;T—4) hoặc H =(~4:2,4) Đáp án là C Oo
- Jus cvs C6 hat vecto có độ dài bằng 6 uà cùng phương uới một vecta khác cho trước Do đó, các đáp án A uâ B đêu bị loạị Loại
đáp án D do độ dài của các uecto đó đều không bằng 6
Trang 13
š Trong không gian Oxyz, cho ba vecto @ = (2;3;1), ve (1; 1;-1) va 0) Tim toa dé ctia vecto d piét d = @+ Ỷ +? Ạ (5;7;0) B (2;3;1) € (1:81) Dz (-2;-1;1) Ta có: 7 =(24+142;34143;1—140) = (5:70) Đáp án là Ạ a
Khi thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ, chúng ta thực hiện phép toán trên từng thành phần hoành độ, tung độ, cao độ của các vectơ đó
& Trong khong gian Oryz, cho ba điểm Ă1,1, 1), B(-4,3, 1), C(-9, 5, m)
Trang 14Trong không gian Osz, cho hai diém Ă3; 1:0), B(—2;4; 1) Tìm tọa độ
của điểm A1 thuộc trục tung va cach déu hai diém A va B 11 11 11 11 Ä (0; AT (0; =: Ad | 0;-—=; A bo: ẠM (0 5 9) BM (0 a 0) CM ( 5 0) DM (0 T0 0) Gọi A7(0;:n;0), Tạ có: AM? = BM? © (0 — 8)? + (m—1)° + (0-0)? = (0 — (—9))? + (m — 4)? + (0S 1 > 11 âđ 9+2 — 2m + 1= 4+ m2 — 8m + 16 + 1 © 6m = L1 © m = Fz 7 11 = AM ( vi) Đáp án là Ạ a
Trong khong gian Oxyz, cho ba điểm Ă2,1,2), B(0;1;0), C(4, -1, 2)
Tim toa dé ctia diém M thudée mat phdng (Oxz) va cach déu ba diém A, B va C Ạ M (3;-1;0) B M(3;0;-1) C.M (2;0;1) D M (0;0;2) + Gọi M(a;0;e) Ta cố: AM? = BM? f (ã2)? (0-17 + (c~ 2) = (4-0)? + ©- 17 + (e— 02 AM? = CM? (a — 2)? + (0-1)? + (¢ — 2)? = (a — 4)? + (0+ 1)? + (ce — 2)? 4a + de = & =3 ef 4a = 12 etiees la C => M(3;0;—1) Dap an la B a | ý „ ; Vì mặt phẳng Osz có phương trình la y = 0
nên điểm M(3; ~1;0) không thuộc mặt phẳng Ơz Ta loại được đáp án Ạ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tích võ hưỡng và biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong lông gian Osyz, cho oectg TỪ = (a;b; e), khí đó độ đài của TỶ được tính theo công thức nào seui đâủ
Ạva+b+c B.a+b+c C Va2+ b2 + c5 D.ả+ib?+,
su G27, Độ dài vectơd t la: [| = VE FP TS
Dap an la C D
Trang 15
°, Trong không gian Osuz, tích uô hướng của hai uectd @ = (8i¡dg;gạ)
uà b = (bị; bạ; bạ) được tính theo công thức nào sau đâủ
A, aybe + aby + agbs Bi ayb1 + aab2 + abs Cy abe + dubs + aad) D ayb3 + agbe + ag,
Tích vô hướng của hai veetơ ở va Dla: @.0 = arb, + aoby + agbs
Đáp án là B QO
Trong khéng gian Ozyz, cho vecto @ = xi + tek Khang định
nào đưới đâu là sai: Ạ 8 =(0;0;2) B.®? = [# C.|2|= V22+ 2+2 D #9 = |[# Ta có về trái của đáp án Ð là một vectơ, về phải của đấp án D là một số thực Vậy D là khẳng định saị Đáp án là D o
Trong không gian Ozuz, cho hai điểm Ăa1; 91; 1), B(a2; 42} sa) Khẳng
định nào dưới đâu là sai: Ạ AB= (@2 — 21,42 — 1,22 — a) B AB = yf (t1 — 22)" + (ys ~ 92)” + (21 — 22)’ C OA+0B = (a +29, 11 + Yọ 21 + 22) p |aB| < joa ~ [03 Ta có || = AB>OA—OB= |ø4| ~ |z3i| Vay D là khẳng định saị Đáp án là D n ?
ư, Trong khơng gianOzuz, cho hai ueclØ 2 (0:1: a),
định: nào đưới đâu là đúng:
(x03 yi 22) Khẳng
Ạ Góc giữa hai vécto @ va ' biôn là mnột góc nhọn
B Nếu góc giữa hai vécto F va b bằng 0° thì = Ủ hoặc Ð = 7
củ ÿ =L#Ị|P| ee(3, 8 b)
D Néu hai vécta @ vd H cùng phương thì góc giữa hai uéctg đó bằng 09
Trang 16Từ định nghĩa của tích vô hướng ta suy ra đáp án C là đúng
Đáp án là C Oo
e Góc giữa hai veetơ có thể là một góc tủ
e Nếu góc giữa hai véctd bằng 0° thì hai vectd đó cùng hướng
» Nếu hai véctd ở và Ù cùng phương thì góc giữa hai véctơ đồ bằng 0° hoặc bang 180°
Trong khéng gian Oxyz, cho hai vecto 7 = (e452), 0 = (#:;z) Trong các khẳng định sau đâu, khẳng định nào đúng:
Aw v > 0 véi moi Uw
BW =ạ wy khi uà chỉ khi hai uectơ Tử, tỉ' cùng phương € TỶ = tẺ khí uài chỉ khi gề + 2 + z2 = r9 + 2 + 28, Ð lị vl < le 2 - Ta có: 2e (IỊ ¬ w| 0O8 (đ, ) ~ â cos? (2, @) = 1 sin? (# #) =06 Dap án là B 1
s Đáp án A sai khi góc giữa hai vectơ là góc tù,
« Tử = tÝ khi và chỉ khi z = z,y = và z = z, đo đó đáp án C saị
ø Đáp ân D sai do
> ¬
[aw =Ỉ#|Ịlư [eos (3.)| <3 lị
Trong không gian Ozyz, cho hai uectd 1Ì = j ~3Ê oà ở = + Khi đó, tích uô hướng của hai uectd tÈ uà È là?
Ạ-3 B.-2 C.3 D.2
Trang 17spbook.ur Ta có: @ = (0;1;-3) va ¥ = (1;0;1) > WF =0.1410-31=- Dap an la Ạ o JỤ 1,
3 Trong không gian Ozwz, cho hai 0uectd a= oF + mk + 3Ÿ uà
= 7 ~ Ÿ Tìmn để tích uô hướng của hai uectơ +È uà È bằng 2? Ạ2 B.3 C.0 D1 Ta có: tử = (3;2;m) va Y = (1;0;—1) Suy ra: UT =3.14204+m(-1) =3-m=25m=1 Dap an ta D o
Trong không gian Ozyz, cho ba vecto @ = (1,~1,1), T= (4,0,—1), ,2, —1) Tĩnh giá trị câa biểu thúc P=20167.8 +? bể? A, —45 B —53 C 53 D 45 #7 =13+(—19.2+1(-U =0 ?*?.=4#+09+(—D? =1 ở?+=1?+22+(—Ủ =14 Suy ra P= 2016.04 17 — —53 Đáp an la B a
¡ Trong không gian Oxyz, cho vecto t = meay ~3Ÿ Biết [| = v5, khi đó giá trị của m bang?
ẠO Bul C2 D.-1
Sử dụng định nghĩa và công thức tính độ dai cha một vectơ, ta có:
TẾ = (am; 1; —9) = |Ỷ| = Vimề + 13 + (<2)? = Vin? $5
Khi đó:
[| = V5 Vim° +5 = v5 œ m? =0 œ m = 0
Dap an ia Ạ o
Trang 18Trong khéng gian Oxyz, cho hai vecto @ = (1; 1;2) va —_ (z;0; 1) Tìm z >0 để | + 3 | = vỏ Ạe=äd Đ.z=-d D.r=4 > Ta cối + Đ = (v1 13) = [e+ D =#2+ 2£ +11 = 26 =3 hoặc z = 5 (loại) Đáp án là Ạ o
Trong hé toa dé Onyz, cho hai vectoOM = V3.7 —F vaN = FF
Trang 19Trong không gian Ozz, cho hai uectd TẾ =(—Lmðm =1), Ú = (Sim + 3) Với những giá trị nào của mm thứ sin G 3) đạt giá trị lớn nhất Ạm =1 B.m = ~8 C.in = 1 hoặc m = —8 D không tôn tạị Với mọi cặp vectd a, e ta cố: as sin (® ?) <1
Dầu bằng xây ra khi và chỉ khi hai vectơ này vuông góc Điều đó tương đương với điều kiện: 3 =0 ®(—145 + m.(m + 1) + (2m — 1).3 =0 1 ¬ m= Dap an lac a is -
Phương pháp giải: Sử dụng công thức và các tính chất hình học đặc biệt để tìm mỗi quan hệ giữa các vectơ, từ đó tìm tọa độ của điểm đặc biệt
risa isạ Trong không gian Oxuz, cho hai điểm Ăi;0:za), Ba: ta; sa) Tâm
Trang 20
Trong không gian Oxuz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: AŒmn;tuiz2), (sa; sa), Clas: ys; 23) Tìm công thức xác định tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC Ạ (23 +2 + 1,93 + t+ ts 23 + 22+ 21) 2 , 2 > 2 D Đáp án khác e (a ntwtis a +342) Đáp án là B, =
Trong không gian Ozuz, cho điểm M (za; ta; zọ) Tâm tọa độ của điểm
M' déi xứng uới điểm M qua gốc tọa độ Ạ M'(—29; yo; 20) € MÍ(~#o; —to; —Zu) À'(—zo; —ọ; Za} Ð M'(2+o; 2o; 22g) Vì Ó là trung điểm của Ä74⁄Z' nên ta có: yr = 229 — = =0 yt = 2yo — yum = —yo >> M! (—29; -y0; ~20)- #M' = 2#Q — #M — —Zo Dap an la C QO
Trang 2120000 nào đưới đầu nằm trên đường thẳng AB? Ạ Mi(-1)151) B.M(1—11) € M;(1;1;—1) Ð.M0;1;1) Điểm A⁄ năm trên đường thẳng AB khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao chọ AM = b.AB Ta co: AB =(-6,-6;-6), AM =(-5;-3)-3), AMA = (-3;-5:-8), AM, = (-3;-3:-5), AM = (-3;-3;-3) Suy ra: AM, = „A8 Do đó ba điểm A, B, M, thang hang Dap an ta D a
‘ce Toa độ của các điểm 4, 8 đều có tinh chat x = y = z, do đó các điểm năm trên đường thẳng 48 đều phải có tính chất đó Từ đó suy ra điểm AM; nằm trên đường thang AB
PF ues who 4895 5z Ta đễ thâu điểm Mụ là trung điểm ctia dogn
thẳng AB, do đó điểm M¿„ nằm trên đường thẳng AB
Trang 22
, Gọi D(œb;c) Vì A BỚD là một hình bình hành nên ta có: a-1l=1-1 a= ABD=BC & | b—92=0—1 @ 4 bi =D(;13) c—1=2-0 c=8 Đáp án là B co
Để tìm tọa độ của một điểm trong một hình hình hanh, hình hộp,
chúng ta thường sử dụng các vectơ bằng nhaụ
Trong không gian Ozuz, cho hình hộp ABCD.ÁBC?D' có ĂI;0;0),
B(;2;0), D2; —1;0) vd Á(5;2;1) Tim toa dé dinh c'? Ạ (3:150) B (8:3; 1) C (2:1;0) Dz (6;3; 1 x , M ACŒÁ, ABƠD là những hình bình hành nên áp dụng quy tắc hình bình hành ta có AỞ = BC+ adi = AB + AB + aa, Từ đồ suy ra: to — #A = đp — #A *T #p — ĐA T AI —ŒA đọi = Đài Tin Ð #p — 204 = 6 ĐC: — MA = Ua — ĐA + VD — ĐA {+ AI — ĐA FY ơi = 0A + Up Tp — 20A =3 #ZŒ' — ZA = #B — ZA TT #b — ZA TT #Á — ZA Zœ = #4 + #Zpg +zp — 22A = 1 Vậy C'(6; 3:1) Đáp án là D Qa
Đáp án A sai do cho rằng tọa độ của Œ' là tổng tọa độ của hai điểm B va D Dap an B sai do cho ring toa d6 cha C’ 1a téng toa dé cia ba diém B, D va A’
Đắp án C xuất phát từ sai làm cho rằng AG = AB + AB (tring với điểm C)
Trong không gian Oxyz, cho diém G(1; 2;—3) là trọng tâm của tam
giác ABC, trong đó A thuộc trục Ox, B thuộc truc Oy, C thuộc trục Oz Tọa độ của các điểm A, B, C là:
Ạ Ă1:0;0) , B(O;2;0), C(O; 0; -8) B Ă3;0;0) , B(O;6;0), C(O; 0; -9) C Ă—3;0;0) , BQO; ~6;0), C(0; 0; 9) D Ă6;0;0) , B(0; 3;0), C(0; 0; -9)
Trang 23“58 Goi Ăa;0;0), B(0;b;0), Ơ(0; 0; e) Vì Œ là trọng tâm của tam giác ABC niên ta có: #A +®g Lực = 3% a+0+0=31 a=3 3;0;0) 1A +1p +e =3# đâ { 0+b+0=3.2 ˆ =6 = 4 B(0;6;0) tat zpt ze = 320 0+0+¢=3.(-3) c=-9 Œ(0;0;—9) Đáp án là B n
; Las Trong khéng gian Oxyz, cho điểm G(1;:3; ~3) là trọng tâm của tam
giác ABC, trong đó Ă2;3; —1), B(4; —6; —2) Tìm tọa độ của điểm C Ạ Ớ(—5;5; 0) B C(; —9; —6) € Ơ(~3;9; 6) Ð C(~3;9; —6) zâ” Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có: #A Tin + 8g = 38g 2+4+ze =3 ĐA + + ơ =ồng - S Ý 3+ (6) + ụe = 3.2 ° tatzgtee = 82g “1+ (-2) + zơ = 3(—8) = C(—3;9; —9) Đáp án là Ð a
US Trong khéng gian Oxyz, cho ba diém Ă1; 2:3), B(4; —2;3), C1; —6; 3)
Gọi M là trung điểm của BC Trong các khẳng định sau đâu, khẳng định nào sai: AM ễ —3), B AM LBƠ C Tam giác BAC vuéng tai Ạ D.MA=MB=MC 1+ Ta có AB = (3;0;0): AC = (0; —4;0) Suy ra AB =3,AƠ =4 Vay tam giác 4BŒ không cân tại 4, suy ra khẳng định B là saị Dap án là B Oo
css: Chung ta dé thay cac khang dinh C và D tương đương Do đó cả hai
khẳng định này đều đúng (nếu không thì bài toán có hai khẳng định sai!) Từ
đó ta loại được hai đáp án C va D
Trang 24Trong không gian uới hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm Ă3;—1:—1),
B(2;—4;1), C(5; 2; —3) Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác
ABC Trong các khẳng định sau đâu, khẳng định nào sai:
Ạ AG =2GM BAG = 2AM
€ G(3;—1;~1) D Tam giác ABC vuéng
Vi M là trung điểm của Z, G là trọng tâm của tam giác 4Œ nên các khẳng định A và B đều đúng “Theo công thức xác định tọa độ trọng tâm của tam giác ta có +ự#o 21215 3 Yo gatyetyc _ —1+(-4)+2 =-4 Ye = = 3 tatzpt+2o _ -1+1+(-3) wqa A = ” =~1 Vậy khẳng định C là đúng Từ đó suy ra D là khẳng định saị Đáp án là D Cl
Trang 25re Todt
az Vi A tring vdi géc toa dé, B, D, Á nằm trên
các trục tọa độ nên ta có thể dóng được ngau tọa độ của điểm C' là (2:44) Từ đó suu ra đáp án đúng là Ở
i - Trong không gian Ozwz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.ÁRCŒ'D' có A trùng uới gốc tọa độ, B(2;0;0), D{(0;4;0), nà Á(0;0;6) Gọi 1 là tâm của hình hộp
ABCD.ÁB'C'D Trong các khẳng định dưới đâu, khẳng định nào sai: Ạ Ơ'(3;4:6) B TẢ + TẾ + TỔ + TÔ + TẢ + TRÌ + TỔ + 1 - ở € AC! = AC = BD' = B'D D AC 1 BID, » Ta cé AB=2; AD=4
Suy ra hinh binh hanh ABCD khéng phai 1a m6t hinh thoi, do dé hai duéng chéo AC và BD không vuông góc véi nhaụ Ti dé suy ra AC va B'D' không Vuông góc
Đáp án là D o
Trong một hình hộp chữ nhật, các đường chéo chính có độ dài bằng
0 Trong khéng gian Oxyz, cho hinh lap phuong ABCD.A’B'C'D' cé A trùng uới gốc tọa độ, B(1;0;0), D(0; 1:0), nà Á(0;0; 1) Trong các Ichẳng định đưới
đâu, khẳng định nào sai:
ẠƠ(11;1) B.AB + AB + 4Ä = AC
CAC LAC D BID 1 (ACD)
Ta có
AC = V2; AA’ =1
Suy ra hinh chit nhat ACC’A’ khong phai IA một hình vuông, do đó hai đường chéo AC’ va ÁC không vuông góc với nhaụ
Đáp án là C Qo
Trong một hình lập phương, các đường chéo chính có độ dài bằng nhau nhưng không vuông góc với nhaụ
Trang 26
Trong không gian Ozuz, cho tam giác ABC, trong đó Ă2;3;—1), (1; —6; ~2), C(—3: 9; —6) Tìm tọa độ của điểm M sao cho biểu thức P= AM? + BM? 4CM? đạt giá trị nhỏ nhắt, Ạ M(1;9; =3) B.M(—1;2-3) — CƠ M(;33) D.M(1; :—3) Goi M(x; y;z) Ta c6: AM? + BM? +CM? = (x — 2)° + (y= 3)? + (2 +1)? + (@ —4)? + y +6)? + (2 +27 + (m+ 8) + (y- 9)? + (2 +6)" =3(2? +ỷ + 2 — Qu — dy +62) +196 3 [le — 1)? + (w— 2Ÿ) + (z+ 37] + 154 > 184, Dau bằng xảy ra khi và chí khi y=2 =M(;3;—8) Đáp án là Ạ t)
: : Bài toán có thế giải theo cách 2 như sau:
Goi G là trọng tâm của tam giác 4Œ Từ biểu diễn:
2 9
AM? = ANP = (AG-+ GM)" = AG? + GẦP +2.4Ä 0N
Trang 28Trong không gian Oxyz, cho TÌ = (z;;z) Trong các mệnh đề duéi day, mệnh đề nào sai:
Ạ kod = (ka; ky; kz) B (}? = tư
€ l|= vz2+2+z2 Ð |š.| = &[zÌ| với mọi số thực k
“Trong không gian Oxyz, cho + = (z; w;z), a = (#;+;Z) Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai: A = 0 khi và chỉ khí 3 = 7 hoặc z = Ở B.ư+ + cười +;z+2) C.?— a D ? Ut san! + yy +22 ul = (2-2 y—yy2—2')
Trong không gian Oxyz, cho điểm A⁄(z;; z) Trong các mệnh đề
dưỡi đây, mệnh dé nao sai: Ạ OM = (ay; 2)
B ÓM = V22 +2 + z2, Cc (0#? = ary tyzt zn
D OM = at +ưỷ + ak
- Trong không gian Oxyz, cho hai điểm Ăzi;1t;zi) Bleas yo; 22)
khöng trùng với gốc tọa độ Trong các mệnh đề dưỡi đây, mệnh đề nào sai: = Ạ AB = (22 — 21; yo ~ Un 2a — Z1): B BẢ= OÄ + Ø8 c AB = 0B - OẠ D - AB = Vl(Œ¡ — #2)” + (mu — 0)” + (øà
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm Ăzi;1; z\), B(z¿; ga; z2) Tọa
Trang 29
m mén Tod
= Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: Ă:izt), D(a;1p; za), Ca; ạ; z¿) Tìm tọa độ của điểm G thỏa mãn đẳng thức GẦ+ GỖ+ GỖ = Ủ, Ạ (Tạ + + 8, 1a + Ma + 1u, 2s + 22 + 21) #L† 2 ta ZI tats) - 3 ° == Đị +9 +1 — 2 2 , 2 D Dap an khac .P 1,7 Trong không gian Oxyz, tọa độ của vectd tử = + + a az là: Ạ T = (4:2; —3) B @ = (2;—3;4) C W = (-3;4; 2) D dap án khác .3 Trong không gian Oxyz, vecto @ = (©; 7; 1) khi va chỉ khi: > Ff + ¡ +nj +k B.17=e7 +rnk + #=eE+nt+r D [#| = Vé + z2 +1
ậ Trong không gian Oegz, cho hai vectơ ?È(zt;0i:z4), Š Œa;ga; z2) Khang định nào dưới đây là sai:
Ạ Góc giữa hai véctơ # và W lớn nhất bằng 180°
B.(Œ, ®) = 1800 khi và chỉ khi hai vectơ # và cũng phương
C (8, E) = 180° & GEES AGE Bt A) = — mm — ne — az 22 7 bang 180° D đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi góc giữa hai véctd # và +
Trong không gian Ozyz, cho ba vectd @ = (5;7:2), 8 = —1) Hãy tìm tọa độ của vectd nì = 3? — P42
Ạ 7 = (3;22;-3) B w= (3;-3;22) C Wh = (—3;3;22) D m = (3; 22; 8) (350; 4),
31 Trong không gian Ozyz, cho bắn vectg # = (2; 1;0), ve (4;-1; 2), @ =(2;2;-1) va @ = (3:7;-7) Hay bigu dién vecto W theo ba veeto ở, b, ở
Ạ @=38 42 B@=72-3042
C.7?=281+30 +2, D.đ=z8 3047
Trang 30
Trong không gian 2zz, cho vectd @ = (—2;1;2) Tìm tọa độ của > x cac vecto ¿ cũng phương với vectd @ và có độ dài bằng 6 ẠB = (4:—2;—4) > b 2 B, c D.? =(-12:6,12) hoặc
Trong không gian O:ryz, cho vecto @ = (-2;-1;2) Tim toa do của các vectd H ngược hướng với vectd @va P| =2i#2 Ạ =(03—4) Bo © B =(4;2:—4) hode F = (45-24) D 8 (—4;-2;4) (12; 6; -12) Trong không gian Oxyz, cho hai vecto @ = (1;%-2), B =(-2m—3;m) Voi nhimg gid tri nao cia m thi hai vectd đó có độ dài bằng nhaụ Ạm =1 B m = 1 hoặc m = 2 C.m=2 D khéng tén tai m
Trong khong gian Oxyz, cho vectd @ = (—2;—1;3) Tim toa do ` >
của các vectd = (4;b;c) biết rằng hai vectơ # và b có cùng phương Ạ B = (4;—2;~6) B B = (-4;-2;6) C 8 = (4,2;-6) D b = (4;—-2;-6) Trong không gian Ozz, cho vectd ;8 = (mm + 3; 2m — 3) Tìm m dé vects @ cé độ dài nhỏ nhất Ạ m= 5 B.m =0 €.m=1 D.m = -—3
š Trong không gian với hệ tọa độ Ózz, cho ba điểm Ă1,3,3),
B(—4,3,1), Ớ(—9,5,m) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi:
Á m = 10 B.m =1,
€ m =0 D Không tồn tại m
cây Trong không gian với hệ tọa độ Øzz, cho ba điểm Ă2;1;—2),
B(4;3; —5), Ở(10;5; —14) Khẳng định nào dưới đây là đúng:
Ạ A, B, C là ba đỉnh của tam giác B BỞ= -3BẢ © AG = _4A3 D GB = 348
Trang 31Phaveng jo mon Toc
TAP 1,19 Trong không gian với hệ toa d6 Oxryz, cho ba vecto @ = (—1,-1,1),
¥ =(4,0,-1), 2 = (—3,2, -1), Tinh gia tri của biểu thức P=9016 2 + 2 _ sở, 5 B —53 C 5ä D 45 1,20, Trong khéng gian Oxyz, cho hai vectơ @ = (1;2;-3), B= (m1 — 2m; 1) Với những giá tri nao cla m thì hai vecto @ va v Vuông góc 1 1
Ạm= Tạ Bom=—5 C.m=1 D.m=0
Trong khéng gian Ozyz, cho hai vectd @ = (lymjl1—2m), B = (~5;m + 1;—3) An ny 4 t3 nà A ro > rn 4 Với những giá trị nào của m thì sin (® b ) đạt giá trị lớn nhất Ạm =1 B.?m = —8 € rò = 1 hoặc m = —8 D không tồn tại zn Trong không gian Ózyz, cho hai vectơ 8 =(1;m;1— 2m), TP = (m + 1m2 + 1;2 — 4m) Với những gia tri nao của rm th cos (® ®) đạt giá trị lớn nhất 1 > 1 AÀ.m= €.rm = 1 B m= 1 hode m= 5 D không tồn tai m
Trong không gian Ozz, cho ba điểm Ă1;0;—2), 8(2;1;—1) và
C (1; -2;2) Tinh d6 dai ba canh AB, BC va CA cia tam gidc
Ạ V19; V3; 2V5 B v3: v19;2V5 € 2v5; v19; ⁄3 D v3;2v5; v19
Trong không gian Ozwz, cho hai điểm Ă3;2; 1), /(—2;4;2) Tìm
tọa độ của điểm M thuộc trục hoành và cách đều bai điểm A và B
Ạ M(-1;0;0) BM (~4:0:0) C M(1;0;0) D M (03:0)
Trang 32
Trong không gian 2zz, cho ba điểm Ă—1:—2:3), 8(0;3;1) và € (4;2;2) Tĩnh AB.AC và côsin của góc BAC
23 -9 9 —23 Ạ 23 va B -27 va C 27 và D -23 và ——
6/35 2/35 2/35 6/55 “Trong khõng gian Ozz, cho ba điểm Ă1, 1,2), B(—1; 1,0), (3, 1,2)
Tìm tọa độ của điểm A7 thuộc mặt phẳng (Oxz) và cách đều ba điểm A, B và C
Ạ M(9;—1;0) B M (2;0;-1) C M (1;0;1) D M (-1;0;2)
Trong khéng gian Oxyz, cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC Cho M là một điểm bắt kị Điều kiện nào dưới đây không tương đương với điều kiện của bài toán: Ạ GÃ + GỖ + GỖ = Ủ, B Mỗ =3 (MÄ+M + Mở) C Công thức xác tọa độ của điểm G là: " #A + #p + #o yat ye t uc zat ep to rg = 3g re ye = 3 1 tq = “6 3 - D MA+ MB+MC > 3MG
z Trong không gian Oxyz, cho diém M (xo; yo; 20) Toa độ hình chiều
vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) là:
Ạ (0,0, 2) B (øo, to, 0) € (zo,0, za) D (0, 0a, Zo) Trong không gian Oxyz, cho điểm M (x9; yo; 20) Toa d6 hình chiều
vuông góc của điểm M trên trục Ox là:
Ạ (0,0,2) Đ (0,zọ0) C (x9, 0,0) D (0, yo, 20)
Trong không gian Oxyz, cho diém M (xo; yo; 2a) Toa độ của điểm Á đối xứng với diém M qua O là:
Trang 33
2 Trong không gian với hệ tọa độ Øzyz, cho điểm cho hai điểm Ă4;6;—2), B(—2; -2;—6), Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB
Ạ M(2;4; -8) B M(2;—4;1) € Ä(—6;—8;—4) D, M(1;2;—4)
Ẹ Trong không gian với hệ tọa độ Ozz, cho ba điểm Ă4;6; —2),
B(~2;—2; —6), Ơ(1; —7; —4) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Ạ G(3; -3;—-12) B.Ớ(1; -1;~4) € Ø(~1;1;4) D G(1;1;~4)
Trong không gian Oxyz, cho ba diém Ă1;0;~2), Ø(2;1;—1) và
(1;—2;3) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AC và trọng tâm Œ của AABƠ
Ạ M(1;—-1;0) va G(4;—151) B M(1;-1;0) va @ 3 TRPng C (3; ~2;0) và G(4; —L; 1) D 3⁄(3; ~3; 0) và G q ng -5
Js Trong khéng gian Oxyz, cho hai diém Ă—4;—4;—4), (6; 6; 6) Điểm nào dưới đây nằm trên đường thẳng AB?
Ạ Äñ(—1;~11) B.A@(;
1-1) —Ơ.A2(;1;0) Ð A4(—1;1;—1)
Sử l5 5,6", Trong không gian Ozz, cho điểm G(1; —3; —3) là trọng tâm của
tam giác ABC, trong dé A thuộc trực Ox, B thuộc trục ` C thuộc trục Oz
Tọa độ của các điểm A, B, C là:
Ạ Ă1;0;0), B(0; —2;0), Ơ(0;0; —3) B Ă3;0;0) , B(O; —6;0), C(0; 0; —9)
€ Ẵ3;0;0), 8(0;6; 0), C(0; 0; 9) D Ă6;0;0) , B(0; —3; 0), C(O; 0; -9) ~, Trong khong gian Oxyz, cho diém G(1;1;~3) 1a trong tam cia tam giác ABC, trong đó Ă2;3; —1), B(4; ~6;—2) Tìm tọa độ của điểm C
Ạ Ớ(—5;2;0) B C(3;-12;-6) C Ơ(—3;6;8) D Œ(-—3; 6; —6)
s : Trong không gian Oz/z, cho ba điểm Ă—3;-—2;0), Ð(3;—3; 1),
€(5; 0;2) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác 4BŒ?D là hình bình hành
Ạ D(-1;1;1) B Ð(2;1;1) G Đ(—1;2:1) D 0(;1;0
2 ` Trong không gian với hệ tọa độ Óz/z, cho ba điểm Ă0;0;0),
B(1;—2;2), D(3;1; —4) Tìm tọa độ điểm C sao cho 4Ø là hình bình hành Ạ C(4;—1;0) 8 C(2;3; —6) C C(_—2;—3; 6)
Trang 34
+ Trong không gian Oxyz, cho ba điểm Ă0:1;2), B(1; 2; 3), C(2;3: 4)
Gọi M là trung điểm của BC Trong các khẳng định sau đây, khẳng định não
sai: 3z
A-M( 52}: B MẺ + MỞ = Ủ
a
C 2AM > AB+ AC D AW = Tổ AC,
; Trong không gian Oxyz, cho ba điểm Ă1;3; my B(: 1; 1), C(5;8; 9) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Trong các khẳng định sau đây, khẳng
định nào sai:
Ạ GÀ+ G8 + Gò - Ở B Ớ(;4;5)
ĐÀ ae
C.GA=GB=CC b, OG = QA+ OB +06
ILE es Trong không gian Ózz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.ÁBC'D có A trùng với gốc tọa độ, Ø(2;0;0), D(0;—4; 0), và Ă0;0;4) Tìm toa do tam I
của hình hộp ABCD.ABCD
Ạ (9;—4;4) B.(1;—2;0), C.(1;~2;2) D Đáp án khác
sân #7 Trong không gian Ozwz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCTD có A trùng với gốc tọa độ, B(4;0;0), D(0;4;,0), và A’(0; 0,6) Goi 114 trung diém của CC Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai: Ạ Ø(4;4;6) B.7(44;3) , C AC! = ÁC = BD! = BID, p aps SC+ AC
Bete Lt Trong khong gian véi hệ tọa độ Ozyz, cho hình lập phương
ABCD.ABCT có Ă0;1;0), D(1;1;0), D(0;3;0), và Ă0;1;1) Trong các khẳng
định đưỡi đây, khẳng định nào sai:
Ạ Ơ(1;3;1) B AC! = AB+ AD + AAI, C AC’ = AIC D AC’ (BDA)
Trong không gian Ozyz, cho tam gidc ABC, trong đó Ă2:3; —1),
Trang 35B(3;—5; —9) Tìm tọa độ của điểm M sao cho biểu thức P = AM? +2BM? đạt giá trị nhỏ nhất ẠM G M 3) B M (1;—3;2) C M (2; —4;0) D M (3; —7; 2) 2 2 ) Gọi Trong không gian Ozz, cho hai điểm Ă2;2;1), D(—
D là chân đường phân giác ngoài kế từ đỉnh O của tam giác OAB Tìm tọa độ
của điểm D
ẠD (« 3:3): B.D ( s3 ¬Ì: C D(8;0;0) D Dap án khác
Trang 36Đáp án là D a Đáp án là Ạ a Dap an lac o Đáp án là B Oo Đáp án là B D Điểm Œ thỏa mãn đẳng thức GÀ + GỖ + Gỗ = khi và chỉ khi Œ là trọng tâm của tam giác 4B8Œ Do đồ G là tọa độ là: +(i#t†22 z3 ta Ta 2 Ðza+24 oa 3 — 3) J Đáp án đúng là B oO Đáp án là B a Dap an la Ạ oO
Trang 37tuập siêu tốc giải trắc nghiệm mn Tốm sphook.vir z = > 1.11 Gid st ta c6 biéu dién 7 = ma +nb +p, khi đ: T= m+n t 2pm —n-+ 2p; 2n — p) = (3,7; —7) 2m + + 2p =3 m=2 Suy ra: 4m —n +2p =7 © n=-3 3 =2 —35 + 3n —p=—T p=l Vậu đáp án là D 8
12 Ta 06 fe} = (ap PP +e = 3, [P| = 6 Mặt khác hai
vectd này cùng phương nên ta có Ÿ = 98 hoặc E = —3 Từ đó ta suy ra F = (42:4) hode B = (4—3; —9 Dap an tac 1 Đáp án là Ạ a ‘ Dap an la B ñ Dap an lac a 5, Đáp ấn là Ạ D ® 1.17, Ba điểm 4, 8, CƠ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực AC =kAB (4) Ta có: AB = (-5;0;-2), AC =(-3:2;m-3)
Thay vào đẳng thức (*) ta duge:
Hệ trên vô nghiệm
Đáp án là D a
Trang 38Suy ra 2016.0 + 17 — 5.14 = —ñ3, Đáp án là B D TYRE - Ta có 8 =0 1m +3.(1— 3m) — 81 =0 1 3m +1 =0 ©@m = —ac Đáp án là Ạ ag pie TL WE) 1.20 Véi moi cp vecto @, Ð ta cố: sin (#2) <1
Dầu băng xảy ra khi và chỉ khi hai vectơ này vuông góc Điều đó tương đương