Kỹ năng bài toán trắc nghiệm thực tế Chương 1 Ứng dụng đạo hàm (92)

Kỹ năng bài toán trắc nghiệm thực tế Chương 1 Ứng dụng đạo hàm (92) tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ...

CHƢƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tế sống Đến với chương này, tìm hiểu “Ứng dụng Đạo Hàm” khơng Tốn học mà ngành khoa học kỹ thuật khác; lẽ Đạo hàm không dành riêng cho nhà Tốn học, mà đạo hàm cịn ứng dụng nhiều sống ngành khoa học khác, ví dụ kể đến như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa định đầu tư đắn phải làm ? Một nhà hoạch định chiến lược muốn có thơng tin liên quan đến tốc độ phát triển gia tăng dân số vùng miền phải dựa vào đâu ? Một nhà hóa học muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học hay nhà Vật lí cần làm để muốn tính toán vận tốc, gia tốc chuyển động ? Và nữa, thực tiễn đời sống có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính tốn thể để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao ?, Chúng ta tìm hiểu, khám phá mở mang thêm cho hiểu biết ứng dụng đạo hàm thơng qua bố cục trình bày chương sau:  Phần 1.1: Tóm tắt lí thuyết kiến thức liên quan đến đạo hàm  Phần 1.2: Các toán thực tế ứng dụng đạo hàm  Phần 1.3: Các toán trắc nghiệm khách quan  Phần 1.4: Đáp án hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word PHẦN 1.1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Để tìm hiểu ứng dụng đạo hàm, trước tiên ta cần hiểu cách thấu đáo khái niệm đạo hàm Bài toán nguồn gốc nảy sinh khái niệm đạo hàm, thuộc lĩnh vực Hình học đến từ Vật lí ● Đối với tốn hình học: xác định tiếp tuyến đường cong Nếu trước đây, nhiều toán Đại Số giải nhờ vào cơng cụ phương pháp Hình học, kể từ kỉ XVI, với hệ thống kí hiệu Viète (1540-1603) đề nghị vào năm 1591, Đại số tách khỏi Hình học, phát triển cách độc lập với phương pháp có sức mạnh lớn lao Nhận thấy sức mạnh ấy, Descartes (1596-1650) Fermat (1601-1665) khai thác vào nghiên cứu Hình học việc xây dựng nên Hình học giải tích Sự đời Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong đặt Tuy nhiên toán nhà tốn học thời kì trước giải số đường đặc biệt (đường tròn, đường Conic, ) cơng cụ hình học cổ điển với hàng loạt đường cong xuất hiện, toán xác định tiếp tuyến tuyến đường cong đòi hỏi phương pháp tổng quát Khái niệm tiếp tuyến lúc hiểu theo quan niệm vị trí “tới hạn” cát tuyến hay đường thẳng trùng với phần vô nhỏ với đường cong tiếp điểm Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” mà hệ số góc k tiếp tuyến với đường cong y  f  x  định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) biểu thức k  lim h 0 f  x  h  f  x h  f '  x ● Đối với toán vật lí: tìm vận tốc tức thời Thừa nhận xem vận tốc tức thời vtt vật thể có phương trình chuyển động s  S  t  giới hạn vận tốc trung bình khoảng thời gian  t;t  t  t  , Newton (1643 – 1727) đến biểu thức xác định vtt (có chất với biểu thức hệ số góc tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày ta viết là: vtt  lim S  t  t   S  t  t t 0  S'  t  Ngồi ra, ta bắt gặp số khái niệm khác đạo hàm “đạo hàm - tốc độ biến thiên hàm số” hay “đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số” Từ ta đưa định nghĩa đạo hàm: 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  a; b  , xo   a;b  ,xo  x   a;b  Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) lim f  xo  x   f  xo  x 0 điểm xo , kí hiệu f '  xo  hay y'  xo  x gọi đạo hàm f  x  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word f '  xo   lim f  xo  x   f  xo  x 0 x  lim f  x   f  xo  x  xo x  xo 2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm bảng cơng thức đạo hàm thƣờng gặp Các quy tắc tính đạo hàm Giả sử u  u  x  , v  v  x  , w  w  x  hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: ●  u  v  w '  u' v' w' ●  uv'  u' v  v' u u ●  uvw '  u' vw  v' uw w' uv ●  '  v ●  ku'  ku' (với k số) ●  '  v   1   u' v  v'u v  v  x  v2  v' v  v  x  v2    Bảng công thức đạo hàm thƣờng gặp Đạo hàm f  x  với x biến số Đạo hàm f  u  với u hàm số  k '   kx '  k (với k số)  x '  nx n n1   tan x '  cos1 x   tan 2 x   sinu'  cosu.u'  cosu'   sinu.u'  u'  tanu'  cos u  1  tan u u'     u  x    k , k      cot x '  sin1 x   1  cot x  2  x  k , k   x      x   k , k     x     sin x '  cos x  cos x '   sin x x n1   u'    u x  u u u' u ' , u x  u   x  ku'  k.u' (với k số) u '  nu u' n   1     x  0 x x x ' , x  0 x  a '  a  e '  e (với k số) lna,   a  1   u'  cotu'  sin u   1  cot u u' 2 u  x   k , k    a '  a lna.u' ,   a  1  e '  e u' u u u u ,  x     a  1  log x '  x lna u'  log u'  uln u  x    ,   a  1 a  ln x '  x1  x    lnu'  u'u u  x    a a http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Đạo hàm số hàm phân thức hữu tỉ thƣờng gặp Hàm số Đạo hàm hàm số y y ax  b cx  d a1 x  b1 x  c1 a2 x  b2 x  c2 y'  y'  ad  bc  cx  d  a1 a2  a b c d  cx  d  b1 a x 2 b2 a2 a x 2 c1 b x c2 b2  b2 x  c2  c1 c2 2.1.2 Tính đơn điệu hàm số Định nghĩa: Gọi K khoảng  a;b  đoạn  a;b  nửa khoảng a;b  , a;b hàm số f  x  xác định K Hàm số y  f  x  đồng biến (tăng) K x1 ,x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số y  f  x  nghịch biến(giảm) K : x1 ,x2  K : x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi hàm số đơn điệu K Các định lí:  Định lí 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  a;b   Nếu f   x   ,x   a;b  hàm số f  x  đồng biến  a;b   Nếu f   x   ,x   a;b  hàm số f  x  nghịch biến  a;b   Định lí 2: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  a;b   Hàm số f  x  đồng biến  a;b   f   x   ,x   a;b  phương trình f   x   có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b   Hàm số f  x  nghịch biến  a;b   f   x   ,x   a;b  phương trình f   x   có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b   Định lí 3: (Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu K)  Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a; b  f  x  liên tục nửa đoạn  a;b  f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  a;b   Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b  f  x  liên tục nửa đoạn  a;b f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) nửa đoạn  a;b  Nếu hàm f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) khoảng  a;b  f  x  liên tục đoạn  a;b  f  x  đồng biến(hoặc nghịch biến) đoạn  a;b  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word 2.1.3 Cực trị hàm số Định nghĩa: Giả sử hàm số y  f  x  xác định tập hợp D,  D   x o D  x0 gọi điểm cực đại hàm số f  x  tồn khoảng  a; b  chứa x0 cho  a,b   D f  x   f  x0  với x   a; b  x  x0 Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f  x   x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f  x  tồn khoảng (a;b) chứa x0 cho (a,b)  D f (x)  f (x0 ) với x  (a; b)\x0  Khi f (x0 ) đƣợc gọi giá trị cực tiểu hàm số f  x  Điểm cực đại, cực tiểu gọi chung điểm cực trị Các định lý:  Định lý (điều kiện cần): Giả sử hàm số f  x  đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f '(x0 )  Lƣu ý: Điều ngược lại định lý không Đạo hàm f ' điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 ví dụ hàm y  x3 hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm ví dụ hàm y  x  Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x có đạo hàm khoảng (a; x0 ) (x0 ;b) Khi  Nếu f '(x) đổi dấu từ    sang    x0 f đạt cực đại x0 x a f '  x b xo   Giá trị cực đại f  x  Nếu f '(x) đổi dấu từ    sang    x0 f đạt cực tiểu x0 Do f đạt cực trị x0  f '  x  đổi dấu x0 x f '  x a b xo   f  x Chú ý: f '  x o  Giá trị cực tiểu tồn khơng tồn  Định lý (Quy tắc - Điều kiện đủ): Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng  a; b  chứa điểm x0 f có đạo hàm cấp khác điểm x0  Nếu f '(x0 )  f ''(x0 )  hàm số đạt cực đại điểm x0  Nếu f '(x0 )  f ''(x0 )  hàm số đạt cực tiểu điểm x0 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word 2.1.4 Giá trị lớn nhỏ hàm số Định nghĩa:  Số M gọi giá trị lớn (GTLN) f  x  miền xác định D:   f  x   M, x  D M  max f  x    xD  xo  D : f  xo   M  Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) f  x  miền xác định D:   f  x   m, x  D m  f  x    xD  xo  D : f  xo   m Định lý tồn GTLN – GTNN: “ Nếu hàm số liên tục đoạn  a; b  đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn “ Một số lƣu ý:  Khi nói đến GTLN , GTNN hàm số f mà khơng rõ GTLN , GTNN tập ta hiểu GTLN , GTNN tập xác định f   f  x   f  a   xa ;b Nếu hàm số f đồng biến  a; b      f  x  f b  max  xa ;b   f  x   f  b   xa ;b Nếu hàm số f nghịch biến  a; b      f  x  f  a  max  xa ;b  Phƣơng pháp GTLN – GTNN y  f  x  đạo hàm đoạn D   a; b Bƣớc 1: Tính đạo hàm f '  x  Bƣớc 2: Tìm điểm tới hạn (nếu có) xi   a; b  , i  1, n cho f '  x   (hoặc đạo hàm)  f '  xi   ?  Bƣớc 3: Tính  f  a   ?   f  b   ?   f  x    f  x  ; f  x  ; ; f  x  ; f  a  ; f  b    max f  x   max f  x1  ; f  x2  ; ; f  xn  ; f  a  ; f  b   D Bƣớc 4: So sánh kết luận  D n Lƣu ý:  Trường hợp tập D   a; b  (hoặc D   a; b ; D   a; b ) ta làm tương tự bước bước Đến bước ta “lập bảng biến thiên” để từ đưa kết luận  Ngồi cách sử dụng đạo hàm trình bày trên, đơi để giải nhanh tốn ta sử dụng thêm kiến thức cực trị hàm số bậc hai hay bất đẳng thức học kể đến như: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word ► Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM - GM) Cho n số không âm: a1 , a2 , ,an Khi ta có: a1 ,  a2   an n  a1 a2 an n Dấu “=” xảy a1  a2   an ► Bất đẳng thức Bunyakovsky Cho hai n số: a1 ,a2 , ,an ;b1 ,b2 , ,bn ta có bất đẳng thức:  a1 b1  a2 b2   an bn  Dấu “=” xảy    a12  a22   an2 b12  b22   bn2  a a1 a2    n với quy ước số bi (i  1,n) b1 b2 bn tương ứng ► Bất đẳng thức tam giác Với ba điểm A, B, C ta ln có: AB  AC  BC Dấu xảy A nằm B C ( Tổng độ dài hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba) AB  AC  BC Dấu xảy A nằm đường thẳng BC nằm đoạn BC (Hiệu độ dài hai cạnh tam giác ln nhỏ cạnh thứ ba) Tổng quát: tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ ►Bất đẳng thức lũy thừa bậc hai Các bất đẳng thức lũy thừa bậc hai sử dụng dạng : A2  hay  A2   f  A2  m  m  f  m  A  Do với m số, ta có:    f   A  M  M  max f  M  A  ►Dựa vào cực trị hàm số bậc 2: y  ax2  bx  c  a   Nếu a   ymin  b  4ac  b2  x  4a 4a 2a Nếu a   ymax  b  4ac  b2  x  4a 4a 2a http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word PHẦN 1.2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tác giả nhận thấy toán thực tế liên quan đến việc dụng đạo hàm chia thành phần lớn: Một là, toán thực tế mơ hình hóa hàm số tốn học Qua ví dụ minh họa sau đây, tác giả cho bạn đọc dạng toán thường gặp ? Các lĩnh vực khoa học khác ứng dụng đạo hàm việc giải toán mà họ đặt ? Hai là, tốn thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học Như biết, để ứng dụng đạo hàm số trước tiên ta phải “thiết lập hàm số” Như ta mơ tả quy trình mơ hình hóa Ta cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau: Bƣớc 1: Dựa giả thiết yếu tố đề bài, ta xây dựng mô hình Tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả “dưới dạng ngơn ngữ Tốn học” cho mơ hình mơ thực tiễn Lưu ý ứng với vấn đề xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, tùy theo yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng xem quan trọng ta đến việc biểu diễn chúng dạng biến số, tìm điều kiện tồn chúng ràng buộc, liên hệ với giả thiết đề Bƣớc 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến nhiều biến (Ở nội dung xét ta xét với tính biến) Bƣớc 3: Sử dụng công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước Lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với tốn thực tế cho chưa Sau để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả lấy ví dụ minh họa trình bày theo chủ đề ứng dụng đạo hàm: ● Trong Hình học (bài tốn đến toán 11 ) ● Trong Vật lý (bài toán 12 đến toán 17) ● Trong Kinh tế (bài toán 18 đến toán 21) ● Trong Đời sống lĩnh vực khác (bài toán 22 đến toán 28) Bài tốn Từ tơn hình chữ nhật có kích thước a b với a b Người ta cắt bỏ hình vng góc gị thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Hỏi cạnh hình vng cắt phải để hình hộp tích lớn ?  Phân tích: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word ● Trước tiên, với câu hỏi tốn ta nên đặt x cạnh hình vng cắt Như ta cần tìm điều kiện giới hạn biến số x Do cạnh nhôm sau bị cắt trở thành a  2x   x  a a nên ta có  x  2 ● Và đồng thời ta có cạnh nhơm cịn lại b  2x  Đến ta cần thiết lập cơng thức tính thể tích khối hộp V  x  a  2x  b  2x  ● Bài toán trở thành tìm max V  x   ? Mời bạn đọc xem lời giải !  a x ;   2 Hướng dẫn giải a ● Gọi x cạnh hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện  x  Khi thể tích hình hộp V  x  a  2x  b  2x   4x3   a  b  x2  abx  V  x  ● Bài toán trở thành tìm max V  x   ?  a x ;   2 Đạo hàm V'  f '  x   12x2   a  b  x  ab Ta có '   a  b   12ab   a2  ab  b2   với a, b Do V '  ln có hai nghiệm phân biệt x1  a  b  a2  ab  b2 a  b  a2  ab  b2  x2  6 b x  ab  x1  x2   Theo định lý Vi-et, ta có   x x  ab   12 a suy  x1  x2 a a Hơn nữa, ta có V '    f '    a2  ab  a  a  b   Do  x1   x2 2 2 Bảng biến thiên x a V'  x   V  x a x1  max ● Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn x  x1  a  b  a2  ab  b2  Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt quan trọng Chúng ta khơng nên ghi x  theo cách hiểu số đo đại số số dương http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ 480 (ngàn Đồng) .480  x x Tại v = 10 km/h chi phí cho quảng đường km phần thứ hai 30 = (ngàn 10 đồng) Xét vận tốc x(km/h): gọi y (ngàn Đồng) chi phí cho quảng đường 1km vận tốc x, ta có y  kx3 ,  k103 (k hệ số tỉ lệ chi phí 1km đường phần thứ hai lập y  x  phương vận tốc), suy     y  , 003x3  10  Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1km đường p  p  x   Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số p  x  480  , 003 x x Áp dụng Đạo hàm ta có chi phí p nhỏ tàu chạy với vận tốc x  20  km / h  Đáp án A Câu 13 Hướng dẫn giải: V ' t   t  60 1 90t  t  V ''  t    180t  3t    100 100 t      Lập bảng biến thiên ta có: t 0 V ' t   60 90  V t  Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án A Câu 14 Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi x bán ính nửa hình trịn y chiều cao hình chữ nhật, phần gương Chu vi gương là: P P  2x  y   x y   P  x   x  y    x   2  1  Diện tích gương S  2xy   x2  x  P  2x   x    x2  Px     x 2  Đặt f  x   Px       x Bài tốn trở thành tìm 2  Ta có f '  x   P     2 max f  x   ?  P  x ;    2   P  x, f'  x    x  2  4  P Lập bảng biến ta suy bán kính x  thỏa yêu cầu toán  4 Câu 15 Đáp án B Hướng dẫn giải Gọi q   q  60  số sản phầm mà công ty A cần sản xuất để thu lợi nhuận cao http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Khi đó, bán hết số sản phẩm doanh thu D  q   q 180  3q   180q  3q2 Suy lợi nhuận mà công ty thu L  q   D  q   C  q   6q2  108q  9789 Bài tốn trở thành tìm max L  q   ? q 60 Ta có L'  q   12q  108 , L'  q    q    ; 60  Lập bảng biến thiên ta có max L  q   L    10275 0q 60 Vậy để thu lợi nhuận cao cơng ty cần sản xuất sản phẩm Câu 16 Đáp án A Hướng dẫn giải: V h r   h  r Ta có Sxq   rl   r h  r   r 9  r2    r4 2  r  r f r  Nhận xét Sxq  f  r  Cách 1: khảo sát hàm số Cách 2: sử dụng bất đẳng thức Cauchy 9 9 81  r4    r4  3 r  3 2 2  r 2 r 2 r 2 r 2 r 4 2 9  r4  r  2 r Do dấu xảy  Câu 17 Đáp án D Hướng dẫn giải: Lần lượt gọi S chi phí , x, y chiều rộng đáy chiều cao đáy hộp   Từ giả thiết đề ta có: S  10000Sday  5000 Sxq  10000  2x.x    xy  2xy  5000 Suy S  20000x2  30000xy Mặt khác ta có V  x2 y  10  y  Do S  20000 x2  x2 150000 Bài tốn trở thành tìm f  x   ? x 0 x   150000 15 Ta có S'  x   40000 x  ,S'  x    xo   y  53   x  15  Lập bảng biến thiên, ta có: x S '  x S  x  xo   Smin  15       Dựa vào bảng biến thiên ta có u cầu tốn  minS  x   S  x 0 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Do kích thước dài Câu 18 15 , rộng 15 Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi Q lượng gạo doanh nghiệp X cần sản xuất đề đạt lợi nhuận cao ta có Q  QD  656  P  P  1312  2Q ● Doanh thu doanh nghiệp: R  P.Q  1312  2Q  2Q ● Lợi nhuận doanh nghiệp: L  R  C  Q3  75Q2  312Q  100 Khảo sát hàm ta thấy lợi nhuận đạt cực đại Q  52 Câu 19 Đáp án B Hướng dẫn giải: Gọi x (ngàn đồng) giá phòng khách sạn cần đặt  x  400  Giá chênh lệch sau tăng x  400 Số phòng cho thuê giảm giá tăng  x  400   x  400 20 10 x  400 x  90  10 10  x x2 Tổng doanh thu ngày f  x   x  90    90 x  10  10  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn hàm số f  x  với x  400 Số phòng cho thuê với giá x 50  x Ta có f '  x   90  , f '  x    x  450  tm  Lập bảng biến thiên ta có: x f '  x 400  450   20250 f  x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy max f  x   f  450   20250 x 400 ;   Vậy cho th với giá 450 ngàn có doanh thu cao ngày 2.025.000 đồng Câu 20 Đáp án B (Trích dẫn đề ơn số 13 – Bùi Thế Việt) Hướng dẫn giải: Gọi điểm hình vẽ Kẻ PQ  CD Điểm N chạm đáy CQ MB  MC  x  MNC Vì đồng MN NC x NC NPQ     NP PQ PB http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word dạng  x y  x2  x2    x  x3 x4  y2  Hơn PB  AB  12  y  x2  12  x  18  ; 18    Tóm lại, 18   x  Đặt f  x   Ta có: f '  x   2x2  x    x  4  x Bài toán trở thành tìm x4 x18 6 ;8    f  x  ? x  ; f '  x     x   ktm   f     10 , 39   Xét  f 18   15   12 , 8455  f  x   f      f    128 a 48 Câu 21 Đáp án D, Tương tự câu ta có x   8 6  Câu 22  Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi x giá bán sản phẩm (  x  120 ) Ta có doanh thu mà cơng ty thu R  x   x.q  x   x 120  x   120x  x2 Đồng thời, chi phí mà cơng ty bỏ C  x   40 120  x   4800  40x Lợi nhuận mà cơng ty thu R  x   C  x   x2  160x  4800 Xét f  x   x2  160x  4800 Bài tốn trở thành tìm max f  x   ?  x 120 Ta có f '  x   2x  160 , f '  x    x  80 Lập bảng biến thiên ta có: x f '  x 0  120 80 f  x  1600 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f  x   f  80   1600 0 x120 Vậy bán với giá 80 ngàn cơng ty đạt lợi nhuận cao Câu 23 Đáp án C (Trích đề thi thử THPT Thanh Miện, Hải Dương, 2016) Hướng dẫn giải: Đặt x  BM  km Điều kiện: x 12 Suy quãng đường AM  81  x2 quãng đường MC  12  x Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M t AM  81  x http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Thời gian người canh hải đăng từ M đến Thời gian người canh hải đăng từ Xét hàm số f  x   A C t MC  12  x 81  x2 12  x  đến C t  t AM  t MC  81  x 12  x đoạn  ; 12   Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số f  x  với x   ; 12  Đạo hàm f '  x   x 81  x    f '  x    81  x2  2x  x  3 x ;12   Lập bảng biến thiên, ta suy f  x   f 3  Vậy giá trị nhỏ Câu 24 t điểm M cách B 12  khoảng 3km x 5,196km Đáp án A Hướng dẫn giải: Gọi x  x  45  giá bán sản phẩm mà doanh nghiệp phải xác định để lợi nhuận thu sau tăng giá cao Suy số tiền tăng x  45 Ta có tăng ngàn bán sản phẩm Vậy tăng x  45 số lượng sản phẩm giảm xuống  x  45  Tổng số sản phẩm bán l2a 60   3x  135   195  3x  3x  135 Lợi nhuận công ty thu sau tăng giá  x  27 195  3x   3x  276x  5265 Đặt f  x   3x2  276x  5625 Bài tốn trở thành tìm max f  x   ? x  45 Ta có f '  x   6x  276 , f '  x    x  46 (ngàn đồng) Lập bảng biến thiên, ta suy max f  x   f  46   1083 (ngàn đồng) x  45 Câu 25 Đáp án D Hướng dẫn giải: Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu a Theo đề ta có x  y  a  x  a  y,  y  Diện tích miếng đất S  xy  y  a  y   a   Đặt f  y   y  a  y  , y   ;   a   Nhận xét tốn trở thành tìm y   ;  để f  y  lớn http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Ta có f '  y   a  y  f '  y    y  Do đó: maxS  max f  y   a  a f ''  y   4  , y   ;   2 a2 a a y x Cách khác: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1  2y  a  2y  a2 S  xy  y  a  y   y  a  y    2 a a Dấu “=” xảy y  a  y  y   x  2 Đáp án A Câu 26 Hướng dẫn giải: N M  Trước tiên ta tính độ cao vật quỹ đạo xác định thời điểm mà đạt độ cao (g = 10m/s2) K v0 Véc tơ v o  phân tích thành tổng hai véc tơ theo hai phương vuông P góc với (phương ngang phương x thẳng đứng) hình vẽ Vật cao MN  MP ,  MP  gt 1    MN  vo  MK  vo  vo cos    2 2   Từ (1) (2)   gt   vo  cos   t  Do h lớn t     0;900  vo sin  g v sin  vo sin  h  vo sin .t  o g g Vì quỹ đạo vật ném xiên Parabol nên tầm ném vật Ta tính x  MK.2t  vo cos .2 vo sin  vo sin 2   f  g g   Ta ứng dụng đạo hàm tìm max f     f 450  vo sử dụng tính bị chặn vo sin 2 vo  hàm số lượng giác x   sin 2  1 g g Dấu “=” xảy sin 2     450 Câu 27 Đáp án B Hướng dẫn giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Gọi x bán kính hình bán nguyệt  x  a Ta có chu vi hình bán nguyệt  x , Tổng ba cạnh hình chữ nhật a   x Khi cạnh hình chữ nhật có độ dài x cạnh cịn lại Diện tích cửa số là: S  S1  S2   x2  x  a   x   2x a   x  2x Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số S  x  với  x  a a    S  x   ax     x  S'  x   a     x  S'  x    x   2   a      Đồng thời S''  x        , x   ; a  Do maxS  S  Khi kích thước chiều cao a 2a , chiều rộng   Đáp án B Câu 28 Hướng dẫn giải: Gọi x  HM   x  25, 86  Khi thời gian lộ trình Ta có t  t AM 16 , 262  x2 25 , 68  x AM MB  t MB     vAM vMB 12 S  vt t  S v 16 , 262  x2 25 , 68  x  Xét f  x     x  25, 68  12 Bài tốn trở thành tìm Ta có f '  x   f  x   ? x ; 25 ,68  3x  16 , 262  x2 24 16 , 262  x2 Lập bảng biến thiên, ta suy , f '  x    xo  2.16 , 26  14 , 5434 f  x   f  xo   3, 669 s x ; 25 ,68  Suy MB  25,68  14,5434  11,14 km Câu 29 Đáp án C Hướng dẫn giải 26t  10 120 120 f t    f ' t   ycbt   , 048  Khi t5 125 t  5 t  5  2500   t    t   50  t  45 Như đến năm 1970 + 45 = 2015 đạt tốc độ tăng dân số 0,048 người/năm http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Câu 30 Đáp án B Hướng dẫn giải V  xyh Ta có  h  y  V  4y2 x  x  V (x  y) 4y2 Để tốn nguyên vật liệu suy Sxq  Sday   Ta có Sxq  Sday  xy  xh  yh  y Cách 1: Đặt f  y   V V V 2V 9V   y.4 y    8y2   8y2 y 4y y 4y 4y 9V  y2 (khảo sát hàm tìm f  y  ) 4y Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 9V  y  9V  9V  y  3 81V 4y 8y 8y Dấu “=” xảy 9V  y  y  9V  x   1, 333  1, 8y Câu 31 64 Đáp án A Hướng dẫn giải SMNP  SABC  SAMP  SBMN  SCNP Trong SABC  SBMN  12 ;  BM.BN.sin 600  12 x  x 2   SCNP  CN.CP.sin 600  24 x  x2 SAMP    AM.AP.sin 600  36 x  3x2  11x  72 x  144 288 36 f  x   11x2  72 x  144 ; x  0 ; 12   Minf  x   ,khi : x  11 11 SAMN  Vậy Câu 32  Khảo Đáp án D Hướng dẫn giải: Ta có: V '  t   3330e 0 ,6t 1  74.e   V ''  t    e 0 ,6t  0 ,6 t  V ''  t     1998e 0 ,6t 74.e 0 ,6t  1  74e  0 ,6 t   to  , 17 74 Lập bảng biến ta suy max V '  t   V '  , 17  t0 ;14  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word sát Đáp án D Câu 33 Hướng dẫn giải Gọi vận tốc bơi chiến sĩ v  vận tốc chạy 2v Độ dài cần AM  x ta có điều kiện 155  x  10002  1552 Thời gian bơi x Độ dài HM  x2  1552 ,BM  1000  x2  1552 v 1000  x  1552 2v Thời gian chạy   Tổng thời gian f  x   2x  1000  x2  1552 ,v  2v f '  x  1 x   2v  x2  1552  310    x       Lập bảng biến thiên, ta suy f  x   f  310   178 , 9786 m Đáp án Câu 34 Hướng dẫn giải  AM  x  1, 44 Đặt x  HM   x  , 1   BN   ,  x   , 25   Gọi a số tiền để làm km đường bên bờ có điểm A Khi chi phí để làm hai đoạn AM BN là: f  x   a x2  1, 44  1, 3a  ,  x   , 25 Bài tốn trở thành tìm f  x   ? x ; ,1  x   Ta có f '  x   a   x  1, 44      , 25   1,  ,  x   4,1  x  Cho f '  x    x2  ,  x   , 25  1, 32  ,  x   x  1, 44      (Dùng chức MTCT giải xo  , 6303 ) Lập bảng biến thiên ta suy f  x   f  xo   , 222a x ; ,1 Đáp án A Câu 35 Hướng dẫn giải Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x độ dài cạnh hình tam giác Khi ta có Chiều dài phần dây làm thành tam giác 3x Chiều dài phần dây làm thành hình trịn L  3x  đường trịn L  3x bán kính 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Khi ta có: S  Stron  Stamgiac    f  x  : parabol  Xét f  x     x2  Lx  L2 Ta có  Do ta có x  3L     x  Lx  L2  L  3x  x2     4  2  a      xmax  b 3L  2a   thỏa yêu cầu toán Đáp án C Câu 36 Hướng dẫn giải Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x độ dài cạnh hình tam giác Khi ta có Chiều dài phần dây làm thành tam giác 3x x x nên đoạn dây uốn thành hình vng  x 2 L  5x Chiều dài phần dây làm thành hình trịn L  5x  bán kính 2 Chiều dài cạnh hình vng đường trịn Khi ta có: S  Stron  Stamgiac     25     x2  10 Lx  L2  L  5x  x2 x2      4 4  2  Xét f  x   25     x2  10 Lx  L2  f  x  : parabol Ta có   xmax  b 5L  2a 25     a  26      5L Do ta có x  thỏa yêu cầu toán 25     Câu 37 Đáp án Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức giải nhanh x Câu 38 a  b  a2  ab  b2 130  802  80.50  50 a 80   x   10 b 15 6 Đáp án C Hướng dẫn giải: Gọi x, y chiều rộng chiều dài đáy hình hộp   x  y  Khi ta có V  96.000  60 xy  x  1600 y Ta có chi phí hồn thành bể cá C  x   70.103 Sxq  100.103 Sday  C  x   70.103  2.60x  2.60 y  104  16000  840  x  y   16000 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Ta có: x  y  xy  1600  80 Do ta có C  x   840.80  16000  83200 Đáp án C Câu 39 Hướng dẫn giải: S 2a  x  a2  x   x  a   S   a  x  a2  x2 Xét f  x    a  x  a2  x2 Bài toán trở thành tìm f  x  x ;a  Ta có: f '  x   a2  x   a  x  x    a  x  a  2x   x  a  ktm  f '  x    x  a  ; a    a2  x2 a2  x2 Lập bảng biến thiên ta suy  a  3a 3 f  x   f    x ;a  2 Đáp án A Câu 40 Hướng dẫn giải: (bạn đọc tham khảo thêm tâp tương tự số (thuộc toán số 5, chương I) Gọi C‟, D‟ điểm đối xứng C D qua cạnh AB Ta có MC  MD  MC' MD  DC'  AB2   BD  BD'  34 Áp dụng định lý Thales ta có: MB BD MB 30      MB  18  MA  C' D' DD' AB 40 Đáp án C Câu 41 Hướng dẫn giải: Gọi d1 ,d2 khoảng cách vật A B đến lúc đầu ( t  ) Đồng thời d  AB Gọi t' thời điểm mà dmin Khi A A‟ B B‟ hình vẽ Kí hiệu góc B' A'O   , A' B'O   Áp dụng định lý hàm sin tam giác A' B'O ta có: d  AA' d2  BB' d  v1t d2  v2 t d OA' OB'    2d    2d   *  s in 30 sin  sin  sin  sin  sin  sin  Do v2  v1  *   2d  áp dụng A C CA   , ta có: B D DB 3d2  d1 sin   sin  Do ta có d   mà sin   sin 1800     sin  300    3d2  d1   sin 300    sin      3d2  d1 cos   sin  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Xét f    cos   sin  Ta có dmin  f  max Cách 1: khảo sát hàm f    (xin dành cho bạn đọc) Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: cos   sin    cos2   sin2    2  f     max f    Dấu “=” xảy  sin    tan   t an30    300   120 cos  Khi ta có d1 ' d2 ' sin 1200 d    d '  d1 '  3d1 '  90  m  s in 30 sin 300 sin 1200 sin 300 Câu 42 Đáp án A Hướng dẫn giải: U R  U L  I  R  ZL   U R  ZL 2  R  ZL   U R  ZL 2  R  ZL  y R  Để UR  UL MAX   y  R  MIN với y  R   R  ZL R  0   R  ZL  2 R  R  ZL    R  Z L   R  Z L  R  R  Z L    R  Z L   Khi y'  R   R  Z R  Z   L L y'  R   2R2  2RZL  2R2  2ZL2   2ZL  R  ZL    R  ZL Dựa vào bảng biến thiên (họ sinh tự vẽ) ta suy ymin   R  ZL Do UR  U L MAX  U  R  ZL  UR  U L MAX  100  A Câu 43 Đáp án B Hướng dẫn giải:  AA'  v1 t  24t Độ dài quãng đường mà hai canô sau thời gian t là:   BB'  v2 t  18t Áp dụng định lý Pytago tam giác A' B' B vuông B ta có: A' B'2  A' B2  BB'2   AB  AA'   BB'  1  24t   18t  2 Xét f  t   900t  48t  Bài tốn trở thành tìm f  t   ?  b 48  f  t  : Parabol  xmin     f  t   a 900 75 a  900    Ta có    f    , 36  75  Vậy ca nơ cách khoảng ngắn d  A' B'  0, 6km  600m http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Đáp án D Câu 44 Hướng dẫn giải Giả sử sợi dây có chiều L ta gọi x độ dài cạnh hình tam giác Khi ta có Chiều dài phần dây làm thành tam giác 3x Chiều dài phần dây làm thành hình vng L  3x  hình vng  L  3x   L  3x chiều dài cạnh    x2  Lx  L2 x2   Khi ta có: S  Svuong  Stamgiac 16 16  f  x  : parabol b 3L  xmax   Xét f  x    x2  Lx  L2 Ta có  2a  a    18 Do ta có x  thỏa u cầu tốn 94   Đáp án D Câu 45  Hướng dẫn giải   C  t   100 e 0 ,4t  e 0 ,6t  C'  t   100 0 , 4e 0 ,4 t  , 6.e 0 ,6t  Xét C'  t    e ,2t   t  ln  , 027 2  3   Lập bảng biến thiên ta suy maxC  t   C  ln  Câu 46 Đáp án C Hướng dẫn giải : a 2 Theo đề : a  2b  b   V  a.b.h  a h  288  a  Diện tích xung quanh hồ cá : S  3ah  Xét hàm số f  t   72t   f '  t   72  288 t2 24 h a2 24 288 288  3h   72 h  h h h với t  h  t  576  t  t3 Hàm số đồng biễn  3,   nên f  t   f  3  t   h   a   b  t3 ,  Vậy a  8cm,b  4cm,h  9cm Câu 47 Đáp án D Hướng dẫn giải: Gọi t thời gian bọ Ta có  t  L đồng thời t  L với L chiều dài cứng u v Khi B di chuyển đoạn S  vt bọ L  u.t http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word L2  S2 u 2  L t  v2t Độ cao mà đạt h  L sina  ut L L 2 Đặt f  t   L t  v t Bài toán trở thành tìm max f  t   ? L2 L t  2v v Ta có f '  t   L2 t  4v t , f '  t    t    Lập bảng biến thiên ta suy max f  t   f  L   L 2v v 2 Đáp án D Câu 48 Hướng dẫn giải   , 28  t , 28t C t    C'  t   Khi C'  t    t  2 t 4 t2    Lập bảng biến thiên ta suy max C  t   t ; 24  Đáp án A Câu 49 Hướng dẫn giải Tóm tắt tốn: MP :     R         L  C  Rx     Rx MN  NP Yêu cầu Rx  R  ULCR  MIN   cos  ? ? x Ta có: U LCR  I Rx   ZL  ZC   U  R  R   Z x x U  U LCRx   R  R   Z  Z  R  Z  Z  x L f '  x  x   1 2 x Vậy ULCR L  ZC  Rx   ZL  ZC  U  C L C R2  RRx Rx   ZL  ZC  f  Rx  x   f  x max Xét f  x   Rx  R2 x2   ZL  ZC   x  0   2x. 2Rx  R   2R  x  Rx  Z  Z    x  Z  Z    x  Z  Z   R x   ZL  ZC  2 L 2 L 2 2 C C L C Xét f '  x    x2  Rx   ZL  ZC     R2   ZL  ZC   2   R  R2   ZL  ZC    tm   x1  f '  x     Rx    R  R2   ZL  ZC  x    ktm   2 R2   ZL  ZC   R 2 http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word Bảng biến thiên x x1 y f x1 y' R2 Z L  ZC  R2   ZL  ZC   R Dựa vào bảng biến thiên, ta có max f  x   f  x1   Rx  Như ta có 2Rx  R  R2   ZL  ZC   4Rx  4Rx R   ZL  ZC   Rx  Rx R   ZL  ZC  Z Z  Z  Z  R  Rx R  R  Rx Khi tan   L C   tan    L C  x   tan    R  Rx  R  Rx   R  Rx    cos    Câu 50  cos    0, 816 3 Đáp án C Hướng dẫn giải Đặt AB  a, AD  b, AA'  c Khi VABCD.A' B'C' D'  abc Và ABCD.A' B'C' D' hình hộp chữ nhật nên giả sử a  b Theo giả thiết, ta có 2.SABCD  2.SABB' A'  2.SBCC' B'  36  SABCD  SABB' A'  SBCC' B'  18  ab  bc  ca  18 Xét tam giác AA'C' vng A' , ta có AC'2  AA'2  A'C'2 Mà xét tam giác A' B'C' vng B' , có A'C'2  A' B'2  B'C'2 Khi AC'2  AA'2  A' B'2  B'C'2  a2  b2  c2  36 Ta có  a  b  c    ab  bc  ca   36   a  b  c   72 2 Cho số a,b,c Đặt m  a  b  c , n  ab  bc  ca , p  abc Khi đó, ta có 9mn  27 p  2m3   m2  3n m  a  b  c  ta được: n  ab  bc  ca  18 Áp dụng với  108  27 p  108  27 p  108  108  p  Hay nói cách khác abc đạt giá trị lớn Dấu đẳng thức xảy a  , b  c  http://dethithpt.com – Website chuyên đê thi, tài liệu file word ... đề ứng dụng đạo hàm: ● Trong Hình học (bài tốn đến tốn 11 ) ● Trong Vật lý (bài toán 12 đến toán 17 ) ● Trong Kinh tế (bài toán 18 đến toán 21) ● Trong Đời sống lĩnh vực khác (bài toán 22 đến toán. .. thể tích lớn A x  10  B x  11  31 C x  11  31 D x  10  (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Xuân Nguyên, Thanh Hóa, 2 016 ) Hướng dẫn giải 12  10  10 2  10 .12  12 11  31  Áp dụng kết câu ta... PHẦN 1. 2: CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tác giả nhận thấy toán thực tế liên quan đến việc dụng đạo hàm chia thành phần lớn: Một là, tốn thực tế mơ