Ky nang giai bai toan trac nghiem thuc te

CHƯƠNG III KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong sống ngày, thường gặp vật thể không gian cốc, bút chì, nón lá, lon sữa, khối rubik, … việc nảy sinh nhu cầu đo đạc, phân tách, lắp ghép vật thể hoàn toàn tự nhiên Trong chương này, dạo qua tốn hình học không gian không đơn giấy bút, mà cịn sống mn màu mở trước mắt Hy vọng kết thúc chương, em thấy toán học gần gũi ta tưởng nhiều Chương III bao gồm nội dung sau:  Phần 1: Làm quen với khối  Phần 2: Một số vấn đề định lượng  Bài tập trắc nghiệm  Đáp án hướng dẫn giải PHẦN 1: LÀM QUEN VỚI CÁC KHỐI Hình học khơng gian đến với từ năm tháng đời, từ gắn chặt khơng rời ta hoạt động sống Đến đây, bạn hẳn hồ nghi điều vừa đọc, lẽ trí nhớ bạn, kiến thức hình học khơng gian thực xuất học: xuất phát từ việc làm quen với hình khối đơn giản đến việc tìm hiểu mối quan hệ không gian song song, vng góc sau Tuy nhiên, bình tâm ngẫm lại chút, có thực đến trường bạn làm quen với “hình hộp chữ nhật”, “hình chóp” hay khơng? Thuở chập chững biết đi, nói chưa trịn chữ, phiên “bé” vơ hứng thú với đồ chơi đầy màu sắc hình dáng “kì lạ”, mị mẫm tìm cách leo lên bậc thang dù chưa dạy Lớn lên chút, ta say mê với đồ chơi ghép hình (xem hình 3.1.1.a) hay khối rubik (xem hình 3.1.1.b), ý thức hồn tồn tung từ thềm nhà xuống đất chùn chân nhụt chí leo cầu thang Hình 3.1.1.a lên máng trượt cảm giác mạnh công viên nước; hay hồ bơi thiếu nhi tung hồnh vùng vẫy lần khu vực có bảng “2m4” biết rùng đứng bờ nhìn xuống đáy hồ phần mường tượng sâu nguy hiểm dù chưa lần thực lặn xuống Chưa hết, bạn hẳn thắc mắc số người chơi rubik kì cựu sau chút quan sát nhắm mắt xoay khối rubik ban đầu Trí nhớ tốt hiển nhiên đóng vai trị then chốt, họ cần hiểu rõ hình khối để biết mặt tới vị trí sau bước xoay Như vậy, suốt trình trưởng thành, ta Hình 3.1.1.b học hỏi dần chiếm lĩnh không gian, phát triển trí tưởng tượng khả sáng tạo Trong phần này, tìm hiểu số toán thú vị để làm quen với khối không gian như: Phân chia lắp ghép khối, Bản vẽ khối hay Mô hình khối Khơng cần phải q căng thẳng, mà ngược lại thả để trí tưởng tượng tự xem việc mang lại hiệu CHỦ ĐỀ 1: PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI Những hình ảnh khối phô mai bị cắt hay mẩu xếp hình lắp ghép lại với ví dụ sinh động cho việc phân chia lắp ghép khối khơng gian (Hình 3.2.1) Hình 3.2.1 Việc phân chia lắp ghép cần tuân thủ số nguyên tắc định Ví dụ cho trước khối lập phương, ta cắt khối theo nhiều cách khác nhau, với cách cắt, ta tạo số khối đa diện mới, tạm gọi khối thành phần, phần khối lập phương ban đầu Những khối thành phần tạo từ cách cắt hiển nhiên lắp ghép lại thành khối lập phương ban đầu (3.2.2.a) Hình 3.2.2.a Tuy nhiên lấy số khối thành phần từ cách cắt khác nhau, chưa ta ghép chúng lại để tạo thành khối lập phương ban đầu: bị thiếu vài phần (xem hình 3.2.2.b), có lại bị thừa, chồng chất lên (Xem hình 3.2.2.c) Hình 3.2.2.b Hình 3.2.2.c Một hình (H) gọi phân chia thành hình  H1   H2  hay nói cách khác,  H1   H2  ghép lại tạo thành hình (H) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i Hình (H) hợp thành  H1   H2  (các khối thành phần hình 3.2.2.b rõ ràng khơng thỏa điều kiện ta thấy có thừa khoảng trống ghép vào khối lập phương Trong đó, khối thành phần hình 3.2.2.a 3.2.2.c thỏa điều kiện) ii  H1   H2  khơng có điểm chung (2 khối hình 3.2.2.c khơng thỏa điều kiện ta thấy có phần bị chồng lấp khối) Ngoài hai nguyên tắc để thực tốt việc phân chia lắp ghép khối, ta cần hiểu rõ khối để đưa đốn, suy luận hợp lí Khối tứ diện KHỐI CHĨP Khối tứ diện Khối chóp tứ giác Hình 3.2.3.a Hình 3.2.3.b Khối lăng trụ tam giác KHỐI LĂNG TRỤ Khối lăng trụ đứng Khối lăng trụ tứ tam giác giác Hình 3.2.3.c Khối chóp tứ giác Hình 3.2.3.d Khối lăng trụ đứng tứ giác Hình 3.2.4.a Hình 3.2.4.b Hình 3.2.4.c Hình 3.2.4.d Khối hộp Khối hộp đứng Khối hộp chữ nhật Khối lập phương Hình 3.2.4.e Hình 3.2.4.f Hình 3.2.4.g Hình 3.2.4.h Khối nón KHỐI TRỊN XOAY Khối trụ Khối cầu Hình 3.2.5.a Hình 3.2.5.b Hình 3.2.5.c Tùy theo yêu cầu mà việc phân chia hay lắp ghép khối có độ phức tạp khác Đối với khối phức tạp, ta không nên cố gắng biểu diễn thứ hình mà nên chia nhiều bước (Hình 3.2.6) xoay lật hình để có góc nhìn tốt Hình 3.2.6 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 3.1 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện  Nhận xét: cần chọn mặt tùy ý tứ diện ban đầu, chia mặt thành tam giác ta phân chia tứ diện đề cho thành tứ diện  Sau đó, chọn tứ diện vừa tạo thành, lặp lại trình Hướng dẫn giải Hình 3.3.1 Bài tập tương tự Bài 3.2 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện khối chóp tứ giác có đáy hình thang Bài 3.3 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện khối chóp cụt Bài 3.4 Phân chia khối chóp tứ giác thành khối tứ diện mặt phẳng  Với việc phân chia đáy khối chóp thành phần, ta định hình khối chóp (Hình 3.3.2) Lúc này, xem ta cắt khối chóp đề cho lần Hình 3.3.2.a  Hình 3.3.2.b Như vậy, ta nhận xét để tạo khối tứ diện, đồng nghĩa với việc đáy chúng tam giác, ta nên chọn phương án hình 3.3.2.b lúc việc chia đáy lần theo đường chéo lại tứ giác đáy chia thành tam giác Ở đây, ta khơng chọn phương án hình 3.3.2.a khơng phải khơng thể tiếp tục chia thành tam giác mà số bước thực nhiều hơn, theo đề bài, số lần cắt ta giới hạn lần Hướng dẫn giải Bước 1: Dựng khối chóp tứ giác S.ABCD, mặt phẳng (SAC) chia khối chóp thành khối tứ diện S.ABC SABD (Hình 3.3.3a) Bước 2: Mặt phẳng (SBD) chia tiếp khối chóp thành khối tứ diện Nếu gọi O giao điểm AC BD tên gọi khối tứ diện là: S.AOB, S.BOC, S.COD, S.DOA (Hình 3.3.3b) Hình 3.3.3.a Bài tập tương tự Hình 3.3.3.b Bài 3.5 Phân chia khối bát diện thành khối tứ diện mặt phẳng Bài 3.6 Phân chia khối chóp tứ giác thành khối chóp tứ giác mặt phẳng Bài 3.7 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện chỉa mặt phẳng Bài 3.8 Phân chia khối tứ diện thành khối tứ diện khối chóp cụt  Phân tích tốn  Từ tốn trước, ta biết cần chia mặt tứ diện ban đầu thành tam giác ta có tứ diện  Sử dụng tứ diện vừa tạo thành, cắt tứ diện theo mặt phẳng song song với mặt nó, ta khối tứ diện khối chóp cụt Hướng dẫn giải Bước 1: Chia khối tứ diện thành khối tứ diện Bước 2: Chọn khối tứ diện vừa tạo, cắt khối mặt phẳng song song với đáy, ta khối chóp cụt khối tứ diện nhỏ (Hình 3.3.4) Hình 3.3.4 Bài tập tương tự Bài 3.9 Phân chia khối chóp cụt tam giác thành khối tứ diện Bài 3.10 Phân chia khối chóp cụt tam giác thành khối tứ diện Bài 3.11 Phân chia khối lập phương thành khối chóp  Nhận xét: cách chia khối lập phương theo mặt phẳng đối xứng nó, ta khối lăng trụ tam giác Với khối lăng trụ này, ta chia tiếp thành khối chóp  Như vậy, cần xử lý khối lăng trụ làm tương tự cho khối lại, ta có kết mong muốn Hướng dẫn giải Bước 1: Chia khối lập phương dọc theo mặt đối xứng (HFBD), ta nửa khối lập phương khối lăng trụ tam giác Ở ta xử lý khối ABD.EFH Bước 2: Chia khối lăng trụ ABD.EFH thành khối tứ diện EABD khối chóp tứ giác E.BDHF (Hình 3.3.5.a) Bước 3: Làm tương tự với khối lăng trụ BCD.HGF (Hình 3.3.5.b) Hình 3.3.5.a Hình 3.3.5.b Bài tốn mở rộng cho khối lăng trụ tứ giác Khi đó, dù khối khơng có tính đối xứng khối lập phương việc chia khối theo mặt phẳng (HFBD) ta làm tương tự để kết ý Bài tập tương tự Bài 3.12 Phân chia khối hộp thành khối tứ diện Bài 3.13 Phân chia khối hộp thành khối chóp tứ giác Bài 3.14 Phân chia khối hộp thành khối tứ diện CHỦ ĐỀ 2: BẢN VẼ CÁC KHỐI Các khối vật thể khơng gian với kích thước bao gồm chiều dài, chiều rộng chiều cao cần mơ tả hình dạng khối, ta biểu diễn giấy, hay nói cách khác mặt phẳng Những hình ảnh biểu diễn thực chất hình chiếu song song vật thể lên giấy Hình chiếu song song vật lên mặt phẳng gì? Trước hết ta nhắc lại định nghĩa phép chiếu song song không gian Cho mặt phẳng   đường thẳng    cắt   Qua điểm M bất kỳ, ta vẽ đường thẳng d song song trùng với    cắt   M’ Khi M’ gọi hình chiếu M lên mặt phẳng   theo phương    Mặt phẳng   gọi mặt phẳng chiếu, phương    gọi phương chiếu (xem hình 3.4.1.a) Hình 3.4.1.a Tương tự, hình chiếu hình (H) lên mặt phẳng   theo phương    tập hợp hình chiếu điểm thuộc hình (H) lên mặt phẳng   theo phương    (xem hình 3.4.1.b) Khi đường thẳng    vng góc với mặt phẳng   , ta có phép chiếu vng góc Hình chiếu tạo từ phép chiếu vng góc gọi hình chiếu vng góc (hay cịn gọi tắt hình chiếu) Hình 3.4.1.b Như nói, hình biểu diễn vật thể không gian lên giấy thực chất hình chiếu song song vật thể theo phương chiếu Trong thực tế, ta hay sử dụng phép chiếu vng góc để vẽ hình biểu diễn vật vẽ kỹ thuật chẳng hạn Trong hình 3.4.2.a, ta có thiết bị máy (hình góc bên trái) quan sát trực diện quan sát từ bên Hai hướng nhìn khác tương ứng với phương chiếu khác nhau, từ ta có hình chiếu vẽ (hình 3.4.2.b 3.4.2.c) Hình 3.4.2.a Hình 3.4.2.b Hình 3.4.2.c BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 3.15 Vẽ hình chiếu vng góc khối lập phương với phương chiếu phương cạnh khối  Khi phương chiếu phương cạnh, đồng nghĩa với việc phương chiếu vng góc với mặt khối lập phương Hình chiếu yêu cầu vẽ hình chiếu vng góc, mặt phẳng chiếu song song với mặt khối lập phương vừa nêu  Hình chiếu ta thu hình vng mặt khối lập phương Hướng dẫn giải Hình 3.5.1.a Hình 3.5.1.b: Hình chiếu khối lập phương Dựa vào mô tả phương chiếu đề để xác định hình chiếu, thơng thường phương chiếu phương vng góc với mặt vật Bài 3.16 Vẽ hình chiếu khối chóp tứ giác với phương chiếu trùng với phương cạnh đáy  Mặt phẳng chiếu mặt phẳng vng góc với cạnh đáy chọn  Dựng đường cao khối chóp, qua dựng mặt phẳng vng góc với phương chiếu Thiết diện khối chóp bị cắt mặt phẳng hình chiếu ta cần vẽ Hướng dẫn giải Hình chiếu khối chóp tứ giác tam giác cân đỉnh khối chóp Hình 3.5.2.a Hình 3.5.2.b: Hình chiếu khối chóp Bài tập tương tự Bài 3.17 Vẽ hình chiếu khối chóp tứ giác với phương chiếu trùng với phương đường cao Bài 3.18 Vẽ hình chiếu khối tứ diện với phương chiếu trùng với phương đường cao Bài 3.19 Vẽ hình chiếu khối hộp đứng có đáy hình thoi với phương chiếu trùng với phương đường chéo đáy Bài 3.20 Cho ngơi nhà có dạng hình lăng trụ ngũ giác đứng hình vẽ Vẽ hình chiếu ngơi nhà với phương chiếu: a Vng góc với mặt có cửa vào b Vng góc với mặt có cửa sổ c Vng góc với sàn nhà Hình 3.5.3.a  Nắm rõ cấu trúc ngơi nhà, ta xác định hình chiếu trường hợp Hình 3.5.3.b Hướng dẫn giải Hình 3.5.3.c: câu a Hình 3.5.3.d: câu b Hình 3.5.3.e: câu c Câu 34 Truyện kể có quạ khát nước tìm thấy bình đựng sẵn 100 ml nước bên khổ nỗi mỏ lại khơng thể chạm đến mực nước bình Con quạ thơng minh gắp hịn sỏi nhỏ tích 12 ml thả chìm vào đáy bình đợi nước dâng lên đến miệng bình uống cho thỏa thích Biết cấu tạo bình gồm khối nón cụt khối trụ có chung đáy đáy nhỏ khối nón cụt hình vẽ; bán kính đáy lớn đáy nhỏ khối nón cụt cm 1,5 cm; chiều cao khối nón cụt khối trụ 10 cm cm Hỏi quạ cần phải bỏ vào bình viên đá bắt đầu uống nước? A 32 viên B 33 viên C 23 viên D 24 viên Câu 35 Các kích thước bể bơi cho hình (mặt nước xem có dạng hình chữ nhật phẳng lặng) Hỏi người ta bơm nước vào bể từ bể trống rỗng đến lúc đầy nước với tốc độ 100 lít/giây thời gian? A 5,7 giây B phút 30 giây C 35 phút D 46 phút 40 giây (Sưu tầm) Câu 36 Một lon trà hình trụ đặt vừa khít hộp q hình hộp chữ nhật Hỏi thể tích lon trà chiếm phần trăm thể tích hộp q? (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A 25% B 78,54% C 50% D 39,27% Câu 37 Thiết bị hình hệ thống gồm: (A) Một bồn nước có dạng khối trụ với vỏ làm nhựa, khơng suốt; (B) Một ống dẫn suốt gắn thông với bồn (A) Thiết bị hoạt động theo nguyên tắc bình thơng nhau, nghĩa mực nước (B) có độ cao với mực nước bồn (A) Biết kích thước thiết bị cho hình, thể tích chất lỏng bồn (A) ống (B) 375 (lít) 616 (ml), tính bán kính đáy bồn (làm trịn tới hàng phần trăm)? A 50 cm B 50,34 cm C 49,67 cm Câu 38 Một bồn nước có dạng hình trụ, chiều cao m, bán kính đáy 0,5 m đặt nằm ngang mặt sàn phẳng Hỏi chiều cao mực nước bồn 0,25 m thể tích nước bồn bao nhiêu? (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A 392,70 lít B 433,01 lít D 49,35 cm C 307,09 lít D 1570,80 lít Câu 39 Với bồn câu 38, hỏi thể tích nước bồn 1264 lít chiều cao mực nước bao nhiêu? (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 0,25 m B 0,75 m C 0,5 m D 0,71 m Câu 40 Một đồng hồ cát có cấu trúc gồm hai khối nón cụt giống đặt chồng lên (phần tiếp xúc đáy nhỏ hay khối nón cụt) Biết chiều cao đường kính đáy đồng hồ cát 30 cm cm, hỏi thể tích đồng hồ 555  ml  bán kính phần đáy tiếp xúc hai phần đồng hồ bao nhiêu? (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 0,25 cm B 0,5 cm C 3,56 cm D 7,12 cm 30 cm cm Câu b ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Câu c Câu 17 b Câu 25 a Câu 33 a Câu a Câu 10 a Câu 18 c Câu 26 c Câu 34 d Câu c Câu 11 d Câu 19 b Câu 27 a Câu 35 c Câu b Câu 12 a Câu 20 c Câu 28 c Câu 36 b Câu b Câu 13 b Câu 21 d Câu 29 b Câu 37 a Câu c Câu 14 a Câu 22 a Câu 30 a Câu 38 c Câu d Câu 15 c Câu 23 c Câu 31 c Câu 39 b Câu b Câu 16 d Câu 24 b Câu 32 b Câu 40 b HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG III Câu 1: Đáp án B Ta loại phương án (IV) khối tứ diện S.ACD S.ABD có điểm chung (phần chung khối tứ diện S.AOD) Câu 2: Đáp án A x Nhận xét: chiều dài nhà chiều cao lăng trụ Đặt x (cm) chiều dài nhà Theo vẽ, ta có:  x   x  22  x   cm  Tiếp theo, ta xét đến mặt trước nhà Tương tự tập 3.40, ta dễ dàng có diện tích phần mặt trước:  SABCDE  SBCDE  SABE  5.3  3.  5  18 cm2  Vậy thể tích mơ hình nhà là:   V  SABCDE x  18.8  144 cm3 Câu 3: Đáp án C Số lần rót nước vào bình tỉ số thể tích V1 , V2 bình gáo V1 .42.25   9,375 suy số lần cần rót nước 10 lần V2 .43 Câu 4: Đáp án B Phân tích: Đọc giả nhầm tưởng số bút chì xếp vào hộp tỉ số thể tích hộp bút, thực chất xếp bút chì vào hộp, tùy cách xếp cho ta số lượng khác y x Nhận xét: độ dài x y hình cho ta biết xếp bút chì theo chiều ngang chiều dọc Để tìm x y, ta cần xác định độ dài cạnh lục giác Cây bút chì có hình dạng khối lăng trụ lục giác với thể tích 1875 mm chiều dài 10 cm (thực chất chiều cao khối lăng trụ) Từ ta xác 1875 V 75  định diện tích đáy: B   h 100  mm  Gọi a (mm) độ dài cạnh đáy bút chì, ta có cơng thức diện tích đáy bút chì   3 a mm (tham khảo 3.35) Từ đây, ta tìm độ dài cạnh lục giác đều: Suy ra: x  2a   mm  ; y  a  3 75 a   a   2,5  mm   mm  (tham khảo 3.39) Dựa kích thước hộp, ta có số viết xếp theo chiều ngang 60 60   13,86 hay nói cách khác 13 bút  12 (cây bút) theo chiều dọc y x (dù kết 13,86 xếp tối đa 13 bút) Vậy tổng số bút chưa hộp là: 12.13=156 bút Câu 5: Đáp án B Các em biết cách tính diện tích lục giác đều, với ngũ giác ta làm hoàn toàn tương tự Một ngũ giác chia thành tam giác cân với góc đỉnh 360o  72o Từ ta tính diện tích miếng da thành phần 4,5 1  405 tan 54o cm Diện tích miếng da ngũ giác đều: S1   4,5 .tan 54o   2  16  Diện tích miếng da lục giác đều: S2  3 243 4,52    cm  Diện tích bề mặt bóng tổng diện tích 12 miếng da ngũ giác 20 1215 1215 tan 54o  Giá thành sản xuất miếng da: S.150  220545 (đồng) Câu 6: Đáp án C miếng da lục giác đều: S  12S1  20S2  Nhận xét: Độ dài cạnh hộp đường kính bóng  cm  Gọi d (cm) độ dài cạnh hộp, ta có cơng thức tính diện tích bóng: d S  4    d 2 Vì diện tích bóng hình cầu diện tích bóng da câu nên ta có: 1215 1215 tan 54o   d  10,82  cm  Câu 7: Đáp án D d    Thể tích tăng lên thể tích khối nước đá hình lập phương: 4.33  108 cm3 Để biết nước có tràn hay khơng ta cần tìm phần thể tích mà bình cịn chứa trước thêm đá: .52.13,5  12      75  cm3  108 cm3 Suy nước khơng tràn khỏi bình Để xác định độ tăng chiều cao mực nước, ta cần lấy độ tăng thể tích chia cho diện tích đáy bình: h  108  1,38  cm  .25 Câu 8: Đáp án B Sự chênh lệch thể tích buồng đốt thể tích khối trụ có chiều cao 2r bán kính đáy d/2 (xem hình b c)   Do ta có: V1  V2  .32. 2.2  36 cm3 Câu 9: Đáp án C Nhận xét: Về chiều cao thùng: Dù gò theo cách chiều cao (đều 50cm, chiều rộng miếng tơn hình chữ nhật) Về chu vi đáy: gị theo cách rõ ràng chu vi đáy nửa chu vi đáy gị theo cách 1, từ dẫn tới bán kính đáy cách nửa bán kính đáy cách (do chu vi bán kính tỉ lệ thuận) Từ ta có diện tích đáy thùng gị theo cách ¼ gị theo cách thể tích Với việc V2 tổng thể tích thùng gị theo cách ta có V1  V2 Câu 10: Đáp án A Đổi số đo: 10 ft = m; ft = 1,5 m   Gọi V1 , V2 , V3 m3 thể tích phần hình nón phần hình trụ   Thể tích phần dạng khối nón: V1  V2  .1,52.1,5   m3   Tổng thể tích bồn chứa: V  V  V  9  m  Thể tích phần khối trụ: V3  .1,52.3  27  m3 3 Câu 11: Đáp án D Nhận xét: Chiều cao khối nửa cầu bán kính Vì chiều cao khối nên chiều cao chúng bán kính đáy R Thể tích khối trụ: V1  .R Thể tích khối nón: V2  R 3 Thể tích khối nửa cầu: V3  R  R Suy V2  V3  V1 Câu 12: Đáp án A Nhận xét: Trong khối có khối nửa cầu ta biết rõ chiều cao (cũng bán kính) Từ ta suy thể tích chung khối 3 Đặt R bán kính đáy khối, thể tích khối là: V  R  R Diện tích bề mặt gáo hình nửa cầu diện tích xung quanh khối nửa cầu: S3  4.R  2R Ta xét đến khối trụ, để xác định diện tích bề mặt gáo khối trụ, ta cần biết chiều cao h1 nó: R h1  V  h1  V  R R Diện tích bề mặt gáo khối trụ diện tích xung quanh diện tích đáy khối trụ tương ứng: S1  2Rh1  R  R Tiếp theo, ta xét đến khối nón Để tính diện tích bề mặt khối nón ta cần biết độ dài đường sinh k, trước hết chiều cao h khối: 3V R h  V  h   2R R Độ dài đường sinh k: k  h 22  R  5R Diện tích bề mặt gáo khối nón diện tích xung quanh khối nón tương ứng: S2  Rk  5R Nhận xét: S3  S2  S1 Câu 13: Đáp án B Theo 3.53, diện tích vỏ hộp nhỏ a  b  c  V  330  6,91  cm  Câu 14: Đáp án A Theo 3.53, diện tích vỏ hộp nhỏ R  Câu 15: Đáp án C V ; h  2V Ta chia tủ bếp thành khối lập phương khối hộp chữ nhật có kích thước 6m x 5m x 1m Như vậy, thể tích tủ bếp tổng thể tích khối này:   13  6.5.1  31 m3 Câu 16: Đáp án D Nhận xét   h  Hình chiếu ống khói gồm hình chữ nhật có chiều dài 3x, chiều rộng x hình thang cân có độ dài đáy x 2x Do khối chóp cụt tứ giác có đáy hình vng nên ta thấy mặt khối hộp chữ nhật hình vng cạnh x (mặt tiếp xúc khối) Từ ta có kích thước khối hộp chữ nhật x, x, 3x Đối với khối chóp cụt tứ giác đều, đáy có độ dài cạnh x 3x Nếu ta gọi h chiều cao hình thang cân hình h đồng thời chiều cao khối chóp cụt Giải Thể tích phần ống dạng khối hộp chữ nhật: V2  x.x.3x  3x Dựa theo cơng thức 3.37, ta tính thể tích phần khối chóp cụt:   1 x 3  V1  h x  x.2x   2x    tan 60o  7x  x 3 2  Vậy tỉ số thể tích: V1  V2 18 Câu 17: Đáp án B   Thể tích phần khối trụ bị khoét: V  .52.3  4.15,75  12 cm3 Bán kính phần khối trụ bị khoét: r  V   m .3 Suy đường kính phần khối trụ bị khoét m Câu 18: Đáp án C Nhận xét: Khối tứ diện tạo thành có độ dài cạnh cm Từ ta tìm chiều cao diện tích đáy khối tứ diện (tham khảo 3.56), có thể tích khối tứ diện 3  cm  Câu 19: Đáp án B Nhận xét: Các mặt bên tam giác đều, tất cạnh khối chóp tứ giác Gọi a (cm) độ dài cạnh, S diện tích mặt bên S’ diện tích đáy Ta có: 4S  S'    a  a    a   cm  Thể tích khối chóp tứ giác có cạnh (cm)  cm  (tham khảo 3.57) Câu 20: Đáp án C Với độ dài cạnh khối chóp tứ giác a = (cm), gọi m, n (cm) chiều dài chiều rộng miếng bìa hình chữ nhật Chiều rộng miếng bìa lần độ dài cạnh khối chóp: n = 2a = (cm) Chiều dài miếng bìa tổng lần độ dài đường cao mặt bên độ dài  cạnh khối chóp: m   22  3      cm     Diện tích miếng bìa hình chữ nhật: m.n   16 cm2 Câu 21: Đáp án D Câu 22: Đáp án A Chỉ có hình (I) ghép thành khối lập phương Câu 23: Đáp án C Tham khảo 3.16 Câu 24: Đáp án B Nhận xét: Khi đổ nước vào bể nước dâng đầy phần nón trước sau đến phần trụ Như ta xét hai giai đoạn: (I) Từ lúc bắt đầu đổ nước đến nước dâng đầy phần khối nón (II) Từ lúc nước bắt đầu dâng vào phần khối trụ đến lúc đầy bể Ta xét trình (I): Khi nước dâng phần khối nón, giây trơi qua, lượng nước bể lại tạo thành khối nón nhỏ có bán kính đáy r(t) chiều cao (cũng chiều cao mực nước) h(t) (t thời gian, tính theo giây) Dễ thấy: h r h  r 1,5 0,5 3 Ở thời điểm t, ta có: V  t   r 2h  t  27t (mỗi giây lượng nước h  h  27  bơm vào lít nên t (giây) t (lít)) Vậy thay đổi chiều cao mực nước giai đoạn (I) cho hàm: h t  27t  Hàm hiển nhiên khơng có đồ thị đường thẳng, ta loại bỏ hai câu A C Lẽ ta cịn phải làm thêm bước tìm tập xác định biến t đến thời điểm xác định, chuyển sang giai đoạn (II) thay đổi chiều cao mực nước khơng cịn biểu diễn hàm số vừa nêu Ta xét đến trình (II): Dễ dàng nhận thấy lúc mực nước tăng theo hàm bậc nhất, đồ thị từ đường thẳng Vậy đáp án B Câu 25: Đáp án A Hình quạt có bán kính cm độ dài cung  cm Độ dài cung hình quạt chu vi đáy hình nón, gọi r (cm) bán kính đáy nón, ta có: 2r    r   cm  Bán kính hình quạt độ dài đường sinh hình nón Gọi h (cm) chiều 7   cao hình nón, ta có: h  72  r        Vậy thể tích khối nón là: V  r h  35  cm  (tham khảo 3.58)   343 35   9,84 cm3 648 Câu 26: Đáp án C Bán kính miếng bìa độ dài đường sinh l nón, l = 20 (cm) Độ dài cung hình quạt chu vi đáy nón Gọi r (cm) bán kính đáy nón: 2r  2l 2.20   r   cm  4 Gọi h (cm) chiều cao nón: h  l2  r  15  cm  3 Thể tích nón là: V  r h  .52.5 15  Tổng thể tích nón là: 4V     125 15  cm3  500 15  cm3  2, 03 (lít) Câu 27: Đáp án A Cách giải 1: Ta tìm thể tích V1 , V2 , V, V ' cách nhanh chóng Phương án 1: chia hình trịn thành phần Độ dài đường sinh nón bán kính hình trịn ban đầu, tức 16 cm Bán kính nón 1/3 bán kính ban đầu, tức 16  cm 32  16   cm     3 Ta tìm chiều cao nón: 162   Thể tích V1 nón:   16   32 8192 V1         cm3  449,33 cm3     3  81       Tổng thể tích V nón: V  3V1  1348,00 cm3 Phương án 2: chia hình trịn thành phần Bán kính nón 1/6 bán kính ban đầu, tức 8   Ta tìm chiều cao nón: 162     35  cm  Thể tích V2 nón:     35 512 35 V2         cm3  117, 48 cm3     3  81    cm      Tổng thể tích V’ nón: V '  6V2  704,89 cm3 Cách giải 2: Tổng qt hóa tốn Chia hình trịn bán kính R thành x hình quạt ( x  ¥ * , x > 1), sau cuộn hình quạt lại tạo thành hình nón tích V, tổng thể tích hình nón V’ Đối với khối nón, bán kính hình trịn ban đầu độ dài đường sinh khối nón, độ dài cung hình quạt chu vi đáy nón Gọi r bán kính đáy nón: 2r  2R R r x x R Chiều cao nón: h  R    x R R R 3 Thể tích khối nón: V     R     x x Dễ dàng khảo sát thấy hàm số V  x   x2 1 x3 R 3 x  nghịch biến khoảng  2;   , x3 với giá trị x  ¥ * , x > ta ln có V(x) > V(x+1) Hay nói cách khác, chia nhỏ hình trịn thể tích khối nón tạo thành bé R 3 x  Tổng thể tích khối nón: V '  x.V  a x2 Khảo sát hàm số V '  x   R 3 x  , ta có kết tương tự trên, nghĩa x2 chia nhỏ hình trịn tổng thể tích khối nón tạo thành bé Câu 28: Đáp án C   Đặt  0o    360o số đo cung trịn dùng làm nón Ta dễ dàng xác định bán kính đáy nón: r   R ; 360 R    R  3602   360 360   Và chiều cao nón: h  R   Thể tích nón: V  r h    R  3602   3.360 Thể tích nón đạt giá trị lớn hàm số f  x   x 3602  x   x  360  đạt giá trị lớn Khảo sát hàm này, ta tìm hàm số đạt giá trị lớn x  294 , hay nói cách khác, thể tích nón đạt giá trị lớn   294o Vậy số đo cung tròn bị cắt là: 360o    66o Câu 29: Đáp án B Xét kích thước x y hình, y độ dài đường sinh khối nón cụt Bán kính đáy nhỏ đáy lớn khối nón cụt r = cm r’ = cm Để tính thể tích khối nón, ta cần tìm chiều cao khối nón cụt Như biết, khối nón cụt tạo cách xoay hình thang vng quanh cạnh góc vng Vì vậy, độ dài cạnh góc vng chiều cao h khối nón cụt Như ta thấy, muốn tìm h, ta cần tìm y trước Dễ dàng chứng minh x 4 , suy x = cm y = cm  6 Từ đây, ta tìm chiều cao khối nón cụt: h  y2      2  cm  Vậy ta tích khối nón cụt với bán kính đáy r = 2cm; r’ = 3cm   chiều cao h  2 cm : V  h r  rr ' r '2    38  cm3 (tham khảo công thức 3.48) Câu 30: Đáp án A Gọi r1, r2 , r3 (cm) bán kính đường tròn màu cam, màu đỏ màu xanh Dễ dàng tính r1  43 43   cm  ; r2    cm  ; r3    cm  2 2 Gọi h1 , h , h  cm  chiều cao khối nón có đáy đường trịn bán kính r1, r2 , r3 với đường sinh tương ứng 4cm, 7cm, 9cm Dựa theo hệ thức đường sinh, chiều cao bán kính đáy khối nón, ta có: Từ đây, ta tính thể tích V1 , V2 , V3 h1  42  r12   cm  ; h   r22   cm  ; h  Thể tích V1 khối nón có bán kính đáy r1 : V1  r12 h1  Thể tích V khối nón có bán kính đáy r2 : V  r22 h  92  r32   cm     cm3   343  cm3 24   Thể tích V2 khối nón cụt hiệu thể tích V V1 : V2  V  V1  93  cm3 Tương tự, ta tìm thể tích V3 khối nón cụt cùng: V3  193  cm3 12   Câu 31: Đáp án C Gọi h, r (m) chiều cao bán kính đáy bể Theo đề bài, ta có: r h  150  r 2h  150  Tổng chi phí sản xuất: A = 100000.r  90000  2r  h  120000.r  220000r  180000 rh (đồng) Áp dựng bất đẳng thức Cauchy cho số dương 220000r , 90000rh,90000rh :   220000r  90000rh  90000rh  1782.1012.3 r h  30000 1782 r h A 2   30000 1782 150     15038388     675 m r  22 11  Đẳng thức xảy  220000r  90000rh  h  r   h  22 675 m    11 Câu 32: Đáp án B Trong giây, thể tích nước tăng thêm 10 lít 10 t t  m  , t Chiều cao mực nước tăng lên giây là: 1000  10.5 5000 thời gian, đo giây Dựa thơng tin ban đầu hồ có sẵn 200 lít nước, tức mực nước ban đầu 250  m Như ta có hàm số thể chiều cao mực nước thời điểm sau: h t  1 t 5000 250 (m) Câu 33: Đáp án A Chiều cao cánh cửa chiều cao buồng cửa hình trụ Chiều rộng cánh cửa bán kính đáy buồng cửa hình trụ Theo cơng thức tính thể tích khối trụ, ta tích buồng cửa: V  .1,52.2,5  45 m  Câu 34: Đáp án D Thể tích khối nón cụt: 1 695 V1  h r  rR  R  .10 52  5.1,5  1,52  cm3 3 27 Thể tích khối trụ: V2  .r h  .1,52.3  cm3 1471 Tổng thể tích bình: V  V1  V2   ml  12 1471  1200 Thể tích sỏi cần bỏ vào: V  100   ml  12 V  100 Số viên sỏi cần bỏ vào:  24 (viên) 12         Câu 35: Đáp án C Nhận xét: cần biết thể tích hồ bơi, ta tìm thời gian cần để bơm nước đầy hồ Thể tích hồ bơi diện tích phần mặt bên dạng ngũ giác chiều rộng hồ 10m   Diện tích mặt bên: S      25.2  57 m2   Thể tích hồ bơi: V  S.10  570 m3  570 000 (lít) Thời gian cần thiết để bơm nước đầy hồ: 570000  5700 (giây) = 35 phút 100 Câu 36: Đáp án B Nhận xét: để lon trà đặt vừa khít hộp đáy hộp tiếp giáp với đáy lon phải có dạng hình vng Hơn nữa, hình vng có độ dài cạnh a đường kính đáy lon 2R Gọi V, V’ thể tích lon trà thể tích hộp q, ta có: V R h R R       78,54% (trong h chiều cao hộp, chiều V ' a 2h a 4R cao lon) Câu 37: Đáp án A Nhận xét: ta cần tìm chiều cao bồn nước (A) thông qua chiều cao thiết bị (B) Dựa vào hình vẽ, ta thấy thể tích nước (B) gồm thể tích cột nước hình hộp chữ nhật đứng có đáy hình vng cạnh cm khối hộp chữ nhật ngang có kích thước 4cm  2cm  2cm Từ ta tìm chiều cao cột nước h  Bán kính đáy bồn: R  616  4.2.2  150  cm  2.2 375000  50  cm  150. Câu 38: Đáp án C Nhận xét: Thể tích bồn nước tích chiều cao bồn (bằng 2m) diện tích phần hình trịn đáy, mà cụ thể hình viên phân Bởi lẽ diện tích hình viên phân tính theo cách khác dựa vào số đo cung tương ứng nên ta cần đánh giá số liệu đề cách cẩn thận Ở đây, chiều cao h mực nước 0,25 m, nước dâng lên chưa nửa bồn Từ ta thấy diện tích hình viên phân hiệu diện tích hình quạt hình tam giác tương ứng hình Gọi số đo cung hình quạt  , ta có: h  R  R.cos       R 1  cos  2   Suy ra: 0, 25  0,5 1  cos     120o  Ta tìm diện tích hình viên phân: Svp  1 3 R sin   Squat  S   R      m o  4  360   1 2 Thể tích nước bồn là: V  Svp    3   307,09 (lít)  Câu 39: Đáp án B     1, 264  0,632 m2  Diện tích S’ nửa hình trịn đáy: S'  R  m2  0,632 m2 Diện tích hình viên phân đáy: Svp  Như vậy, nước dâng nửa bồn Ta đưa tốn lại dạng 38 cách tính diện tích hình viên phân nhỏ lại: Svp2  R  Svp  125  316 m2 500   Theo 38, gọi số đo cung hình viên phân nhỏ  (tính theo radian), ta có:  R sin  R      sin   2 125  316 Giải phương trình:    sin    (1) 500 Svp  Squat  S  Sử dụng máy tính bỏ túi, ta tìm nghiệm   2,09  rad   120o Như phần khơng gian trống bồn có độ cao 0,25m, hay nói cách khác, độ cao mực nước 0,75 m Câu 40: Đáp án B Xét khối nón cụt có chiều cao h, bán kính đáy R r (R>r)    Thể tích V khối nón cụt tính theo cơng thức: V  h R  R.r  r Gọi r (cm) bán kính phần đáy tiếp xúc  30  5.r  r    555  r  0,5  cm 