Thế nhiệt động của q phonon

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM BÍCH PHƯỢNG THẾ NHIỆT ĐỘNG CỦA q - PHONON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày luận văn này, tơi xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan - người định hướng đề tài, ln tận tình hướng dẫn, truyền đạt cho tơi kiến thức mang tính khoa học để giúp tơi hồn thành luận văn Cô gương sáng để hệ trẻ noi theo tinh thần say mê nghiên cứu khoa học, cẩn thận, nghiêm túc cơng việc Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, Cơ khoa Vật Lý, phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội II tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa học Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Bích Phượng LỜI CAM ĐOAN Trong q trình nghiên cứu luận văn, tơi thực cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hồn thành khóa luận Tơi xin cam đoan luận văn hồn thành từ nỗ lực thân hướng dẫn nhiệt tình hiệu PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Đây đề tài không trùng với đề tài khác số liệu, kết nghiên cứu trung thực khơng trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Bích Phượng MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Những đóng góp đề tài Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN NGUYÊN 1.1 Thống kê hạt có spin nguyên 1.1.1 Dao động tử Boson: 1.1.2 Thống kê hạt có spin nguyên 1.2 Thống kê biến dạng – q hạt có spin nguyên 1.2.1 Dao động tử biến dạng –q hạt có spin nguyên 1.2.2 Thống kê biến dạng –q hạt có spin nguyên 14 Kết Luận chương 15 CHƯƠNG THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CÓ SPIN BÁN NGUYÊN 16 2.1 Thống kê hạt có spin bán nguyên 16 2.2 Thống kê biến dạng q hạt có spin bán nguyên 18 Kết Luận chương 20 CHƯƠNG XÁC ĐỊNH THẾ NHIỆT ĐỘNG CỦA q-PHONON 21 3.1 Thế nhiệt động phonon 21 3.1.1 Phonon 21 3.1.2 Thế nhiệt động 29 3.1.3 Thế nhiệt động phonon 30 3.2 Thế nhiệt động q – phonon 32 3.2.1 q- phonon 32 3.2.2 Thế nhiệt động q – phonon 34 Kết Luận chương 36 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý đại nghiên cứu cấu trúc vi mô vật chất Vật chất hệ nhiều hạt hệ nhiều hạt tuân theo quy luật thống kê Cho nên nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp thống kê, để xác định đại lượng vật lý nhiều hạt quy luật thống kê cần phải tìm hàm phân bố thống kê Khi tập hợp hạt xem tập hợp dao động điều hòa phân bố thống kê hệ xác định Các đại lượng vật lý mô tả hệ hồn tồn tính biết hàm phân bố thống kê hệ Vài chục năm gần đây, có nhiều nhà vật lý nước giới nghiên cứu đưa khái niệmvề nhóm lượng tử, đại số biến dạng dao động biến dạng chúng có nhiều ứng dụng mơ hình vật lý : chúng liên quan đến vấn đề tán xạ ngược lượng tử ,mẫu hòa tan xác học thống kê, nghiên cứu nghiệm phương trình Yang-Baxter lượng tử, đặc biệt chúng tỏ hữu ích việc nghiên cứu môi trường đậm đặc, nghiên cứu quang lượng tử,… Theo quan niệm dao động biến dạng hệ hạt xem hệ dao động biến dạng nghiên cứu hệ nhiều hạt hình thức luận dao động biến dạng thống kê hạt gọi biến dạng q Các nhà vật lý học nghiên cứu hệ nhiều hạt hình thức luận dao động biến dạng với hi vọng tính hàm phân bố thống kê biến dạng để tìm đại lượng vật lý mô tả trạng thái hệ nhiều hạt cho kết gần với thực nghiệm tính hàm phân bố thống kê trường hợp chưa biến dạng Ở luận văn áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để tính nhiệt động hệ q – phonon 2 Mục đích nghiên cứu - Áp dụng phương pháp thống kê dao động biến dạng để xác định nhiệt động hệ q – phonon Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động biến dạng phân bố thống kê dao động biến dạng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu áp dụng thống kê biến dạng xác định nhiệt động hệ q – phonon Những đóng góp đề tài Bằng phương pháp thống kê biến dạng xác định nhiệt động hệ q – phonon Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý thống kê - Phương pháp đại số lượng tử (đại số biến dạng) CHƯƠNG THỐNG KÊ BIẾN DẠNG –q CỦA CÁC HẠT CĨ SPIN NGUN 1.1 Thống kê hạt có spin nguyên 1.1.1 Dao động tử Boson: Dao động tử Boson đơn mode đặc trưng hệ thức giao hoán:   a, a     (1.1) Toán tử số dao động tử N biểu diễn theo toán tử hủy dao động tử a toán tử sinh dao động tử a+ sau: N  a a, Và thỏa mãn hệ thức giao hoán: N , a   a      N , a   a ,   Không gian Fock không gian mà véctơ sở trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock trạng thái chân khơng |0> định nghĩa trạng thái có số hạt 0, thỏa mãn điều kiện: a  n : Trạng thái n hạt (số hạt n hay trạng thái n dao động tử) Đại số (1) thực khơng gian Fock với sở véc tơ riêng chuẩn hóa toán tử số dao động tử N: | n  Ta có: n   n! a n = 0,1,2 (1.2) N n  a a  n! n! (a  )n a a(a  )n  n a  a, a   n!   n  1   a n a n! n n  a n!       a   n   (1.3) n n! n n Ta có hệ thức sau:  a, a    n   n 1     n a    Chứng minh Ta chứng minh (1.4) phương pháp quy nạp sau: a, a    1,     Với n=1: Với n=2:  2 a, a    a  a, a    a, a   a   2a ,           Nhận thấy (1.4) với n=1, Ta giả sử biểu thức (1.4) với n=k, tức là: (1.4)  a, a    k   k 1     k a   Ta phải chứng minh biểu thức với n=k+1 Ta có:  a, a    k 1       a  a, a      k   k     a, a   a       k 1 k      k  1a   a .k a    a k (đpcm) Dễ dàng thử lại được:  m | n  mn m,n = 1, (1.5) Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, tốn tử tọa độ x xung lượng p định nghĩa:   2   a a x    2m    m  2    (1.6)   a a , p  i   (1.7) Chúng thỏa mãn hệ thức giáo hoán:  p, x   i   (1.8) Thật    p, x   i  m   2  a   a a   a  a   a a   a     2m        i 2a a  2aa        24 Pn t   M dun t  dt , Biểu thức động tồn phần viết lại sau: T  2M  pn t  , n Và lượng tồn phần hệ E 2M  pn t   n  u t   u  2, t    n 1  n  n Khi lượng tử hóa ta thay hàm Pn t  toán tử xung lượng pˆn hàm un t  toán tử tọa độ suy rộng uˆn liên hiệp với pˆn Hamiltonian hệ trở thành: H  2M   pˆn   uˆn  uˆn 1  n n Giữa tốn tử uˆn pˆn có hệ thức giao hoán: uˆ , pˆ   i nm  m n  (3.4) uˆ , uˆ    pˆ , pˆ   0,  n m   n m  (3.5) Chứng minh * uˆm , pˆn   inm Ta có: uˆ , pˆ   uˆ pˆ  pˆ uˆ m n n m  m n   uˆm i     i  uˆ un un m 25      i  uˆm  uˆm  un  un u  i m un  inm * uˆn , uˆm    pˆn , pˆm       Ta có: uˆ , uˆ   uˆ uˆ  uˆ uˆ  uˆ uˆ  uˆ uˆ  0, n m m n n m n m  n m   pˆ , pˆ   pˆ pˆ  pˆ pˆ n m m n  n m   i      i   i  i    un um um un   2 2        un um um un     Các toán tử uˆn pˆn tương ứng với nút thứ n phụ thuộc vào tọa độ xn nút Ta khai triển toán tử theo sóng phẳng với sóng nằm vùng Brillouin thứ nhất: uˆn  pˆn  N N  1eikxn uˆ k (3.6) ikxn pˆk , (3.7) k  1e k Trong triển khai (3.6) (3.7) số “1” có nghĩa tổng theo k lấy vùng Brillouin thứ Chúng ta xét sóng phẳng thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn đoạn thẳng chiều dài L  Na với N số nút mạng có đoạn thẳng này, số giá trị gián đoạn k vùng Brillouin 26 thứ Nhân hai vế công thức (3.6) (3.7) với e ik x n , k  véctơ sóng vùng Brillouin thứ nhất, cộng theo n dùng công thức: N e i k k xn k  kk , (3.8) Ta thu biến đổi ngược lại với khai triển (3.7)- (3.8): uˆk  pˆk  N e N ikxn n e uˆn ikxn n (3.9) pˆn , (3.10) Hãy tìm hệ thức giao hốn pˆk uˆk  Dùng khai triển (3.9)(3.10) hệ thức giao hốn cơng thức (3.8), ta thu được:  pˆ , uˆ    k k   N   e n ikx n k x m   m ˆm   pˆn , u  ikxn k x m  i e nm   N n m  ik k  i e xn  N n  ik ,k  Nghĩa là: uˆ , pˆ   i k k   k  k  (3.11) Tương tự, ta có:  pˆ pˆ   uˆ , uˆ    k, k    k k   Chứng minh  pˆ pˆ   pˆ pˆ  pˆ pˆ  k, k   k k k k (3.12) 27 N     e  ikx n k x m  n 0 m 0 uˆnuˆm  uˆmuˆn  uˆ , uˆ   uˆ uˆ  uˆ uˆ k k k k  k k    N    e  ikx n k x m  n 0 m 0 uˆnuˆm  uˆmuˆn  Mặt khác, thay khai triển (3.9) (3.10) vào Hamiltonian lại dùng cơng thức (3.8), ta tính được: 1 1  pˆn2  N    e n k k 1  1pˆ pˆ k k k n  N 1 ˆ ˆ 1 k k pˆk  pˆk k ,k  pk  pk   e ik k xn n 1  1  eika  eik a uˆ uˆ k k k  k 1 1  e 1  e uˆ uˆ  k k ,k   ik a iak   1  cos ka uˆ uˆ   k k  4 1 sin2 ka uˆ uˆ k k k ik a ika 1  e 1  e uˆ uˆ  2 k Và đó: 1 k k  uˆn  uˆn 1  n   ik k xn k k k k 28 1 pˆ pˆ  2 sin2 ka uˆ uˆ  Hˆ     2M k k k k  k Thay:  ka sin2   k  , M Cuối ta thu được: 1 pˆ pˆ  M  k uˆ uˆ  Hˆ      k k   2M k k  k (3.13) Tiếp theo, ta biến đổi công thức dạng cách đặt: M  k  uˆk  M pˆk  i  k   k  aˆ k aˆ k   aˆ k     aˆ k , (3.14) (3.15) Trong biểu thức trên, aˆk aˆk toán tử biểu diễn ngược lại qua pˆk uˆk sau: aˆk     M  k  uˆ  i pˆ  k k  M  2 k   aˆk     M  k  uˆ  i pˆ , k k    M 2 k   1 Từ hệ thức giao hoán (3.11) (3.12) suy toán tử aˆk aˆk có hệ thức giao hốn: aˆ , aˆ      k k  kk    aˆ , aˆ    aˆaˆ    0,  k k   k k      (3.16) 29 Thay biến đổi (3.14) (3.15) vào Hamiltonian (3.13), ta nhận được: 1 Hˆ    k  aˆkaˆk  aˆkaˆk    k Theo hệ thức (3.16) ta có: aˆkaˆk  aˆkaˆk  1, Do đó: H  k 1 k aˆaˆ +const kk Có thể chọn gốc tính lượng cho “ cosnt ” ta có: 1 Hˆ    k aˆkaˆk k (3.17) Tóm lại, mạng tinh thể đơn giản ta xét diễn tả lý thuyết lượng tử Hamiltonian (3.17) với toán tử aˆk aˆk thỏa mãn hệ thức giao hốn (3.16) Vì vậy, coi mạng tinh thể dao động hệ nhiều hạt: aˆk tốn tử hủy hạt có véctơ sóng k , xung lượng k lượng  k  , aˆk tốn tử sinh hạt Các hạt lượng tử dao động mạng tinh thể, gọi phonon Trong thực tế, ta khơng có hạt thật mà có trạng thái dao động khác mạng tinh thể mô tả giống hệ hạt mà thơi Điều có nghĩa phonon hạt thật mà giả hạt (thường gọi chuẩn hạt) 3.1.2 Thế nhiệt động Trong nhiệt động học việc áp dụng nguyên lí để giải vấn đề vật lí cụ thể thực phương pháp nhiệt động (còn gọi hàm nhiệt động hay hàm đặc trưng) Phương pháp nhiệt động 30 Gipxơ (Gibbs) nêu lên phương pháp giải tích dựa việc vận dụng phương trình nhiệt động lực học: TdS  dU   Ada i i i Từ phương trình ta tìm cách đưa vào hàm trạng thái khác tùy thuộc vào điều kiện cụ thể khác cho trạng thái hệ biến đổi độ biến thiên chúng vi phân toàn phần Các hàm trạng thái gọi (hàm) nhiệt động Tất nhiệt động hàm đơn giản cộng tính trạng thái, đồng thời độ giảm chúng điều kiện tương ứng xác định công lực tác dụng lên hệ Một tính chất khác nhiệt động là: biến số đặc trưng cho hệ thay đổi, trị số cực trị nhiệt động tuơng ứng xác định điều kiện cân hệ Các nhiệt động có quan hệ với nhau, ta biết số nhiệt động ta tìm nhiệt động khác Biết lượng tự F hay nhiệt động Z ta dễ dàng tìm nội U 3.1.3 Thế nhiệt động phonon Dao động mạng tinh thể coi hệ (chuẩn hạt) phonon có tốn tử Hamiltonian: H  1ˆ ˆ , k k k Chọn hệ véctơ sở không gian Fock véctơ riêng tốn tử số dao động N thì: nk  nk   ˆk nk ! , nk  0,1,2, 31 Phổ lượng hệ phonon tìm từ phương trình: H nk  En nk k 1  ˆk ˆk  nk  En nk k k  1 N  n  E n  k  k n k  1 n  n  E n , k  k n k k k k k Vậy phổ lượng hệ phonon có dạng: En   k k  k 1 n  k  1 n  k  Tích phân trạng thái hệ phonon xác định sau: Z    En     exp  kTk  nk 0       1n     k      h    exp    k   exp          kT kT       nk 0          h    1  exp  h nk    exp           kT   k  kT     nk 0    k 1 h exp 1 kT (3.18) Tích phân trạng thái Z đóng vai trò quan trọng Biết Z ta tìm loạt đại lượng đặc trưng cho hệ phonon ví dụ lượng tự do, áp suất, 32 Năng lượng tự hệ tính sau:    ln Z   kT ln Z   kT ln  1 k   kT  k h exp 1 kT 1  ln exp   1   kT   (3.19) 3.2 Thế nhiệt động q – phonon 3.2.1 q- phonon Hamiltonian dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử loại biến dạng q có dạng: H  k 1 k a a , kk Trong ak  ak toán tử sinh, hủy dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử loại biến dạng q, thỏa mãn hệ thức giao hoán sau: akak   qak ak  kk  a , a   a , a    0,  k k    k k   Ta biểu diễn Hamiltonian H dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử loại biến dạng q qua toán tử sinh   hủy  dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử loại sau: H  k  k 1 k a a  kk 1 k        k k  q 33 Ta tìm phương trình chuyển động  ,    H  H   , H    x p p x  iW    H   H     , H  x p p x    iW   Trong Wk  q k k  ln q  k , q 1 Như vậy, dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử loại dao động với tần số  k  dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử loại biến dạng q dao động với tần số Wk  q k k  ln q  k  q 1 Tần số  k  đậc trưng cho thay đổi theo quỹ đạo, tần số W hàm cho quỹ đạo (do   tích phân chuyển động) Từ giải thích dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử loại biến dạng q dao động phi tuyến mà biến đổi pha chuyển động mode giống dao động mạng tinh thể chuỗi nguyên tử loại tần số dao động W lại phụ thuộc vào lượng Có thể coi mạng tinh thể dao động biến dạng q hệ nhiều hạt Các hạt lượng tử dao động mạng tinh thể biến dạng gọi phonon q 34 3.2.2 Thế nhiệt động q – phonon Dao động biến dạng –q mạng tinh thể coi hệ q-phonon mà tốn tử Hamiltonian có dạng: H  1aˆ aˆ k k k  1W ˆˆ, k Trong không gian Fock mà hệ véctơ sở véctơ riêng toán tử số dao động N: nk q  nk   aˆk n  !  k q nk  0,1,2, , Phổ lượng hệ q-phonon tìm từ phương trình: H nk q  En nk k q ,  1aˆ aˆ n  1 N  1 n  k q k  1 n  1 n  k q k k k k k k k q  En nk q q  E n nk k  En nk Phổ lượng hệ q-phonon: En   k  k q k 1 n  1  k q 1W n  , k  Tích phân trạng thái hệ q-phonon: k q q 35    En   exp    kT    nk 0     1W n     k        k Zq   exp     kT   nk 0          W n  1    k  Zq  k  exp      kT   nk      Zq    1 k W exp 1 kT (3.20) Khi thơng số biến dạng q  hệ thức (3.20) trở hệ thức (3.18) phonon thông thường Năng lượng tự hệ q-phonon: q   ln Zq  kT ln Zq  kT ln  1 k  k W exp 1 kT 1kT ln exp W  1   kT   (3.21) Khi thông số biến dạng q  hệ thức (3.21) trùng với hệ thức (3.19) Tức là, thông số biến dạng tiến tới kết tính tốn hệ q-phonon trùng với kết tính tốn hệ phonon thông thường 36 Kết Luận chương Ở chương 3, nghiên cứu phonon phonon biến dạng q sử dụng khái niệm để tính nhiệt động phonon nhiệt động q-phonon Kết cho thấy, thông số biến dạng q  nhiệt động qphonon trùng với nhiệt động phonon thông thường Như vậy, chương này, dùng phương pháp thống kê biến dạng để nghiên cứu hệ phonon 37 KẾT LUẬN Sau thời gian tiến hành nghiên cứu, tìm hiểu dao động biến dạng, phân bố thông kê dao động biến dạng nhiệt động, giải nhiệm vụ sau: Nghiên cứu dao động biến dạng Nghiên cứu thống kê dao động tử biến dạng Nghiên cứu đưa khái niệm q-phonon, xác định nhiệt động q-phonon phương pháp thống kê biến dạng Trong khoảng thời gian nghiên cứu, tiến hành làm luận văn hạn chế lực hiểu biết thân hạn hẹp nên nhiều vấn đề luận văn chưa giải triệt để Tôi cố gắng trình bày hồn chỉnh luận văn, mong góp ý thầy giáo để luận văn hoàn thiện 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Báu, Bùi Đằng Loan, Nguyễn Văn Hùng (năm 2004), Vật lý thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Võ Thanh Cương (2002), Lý thuyết trường lượng tử với biến xứng biến dạng, Luận án tiến sĩ [3] Vũ Thanh Khiết (1984), Vật lý thống kê, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [4] Nguyễn Ngọc Long (2007), Vật lý chất rắn, cấu trúc tính chất vật rắn, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] H.H.Bang (1995), “Some physical consequence of the general deformations”, Mod Phys lett A10(8) pp.1293-1298 [6] Chaichian M, Gonzales F.R and Montonen C (1993), “Statistics of qoscillators, quons and relations to fractinal statistics”, J.Phys A26(16), pp.4017-4034 [7] Chakrabarti R and JagannathanR.(1992) “On the number operators of single-mode q-oscillators”, J.Phys A25(23), pp.6393-6398 [8] Chaturvedi S., Kapoor A.K., SandhyaR and Srinisavan V (1991), “Genenralized commutation raletions for a single – mode oscillator”, Phys Rev A43(8), pp.4555-4557 ...  q  aˆ qaˆaˆ  q N | k q k  | k   aˆ q k | k  q q  k   k  k  q  q k    q aˆ | k q q k  1  q  q 1   q   k 1 k 1   q q    aˆ | k q. .. n  | n q  q n | n q q  n  n  q  q n   q  q  | n q  q  q 1   q n 1  q n 1 q  q 1  n  1 | n q | n q q Hamiltonian biểu diễn qua toán tử tọa độ... Thế nhiệt động 29 3.1.3 Thế nhiệt động phonon 30 3.2 Thế nhiệt động q – phonon 32 3.2.1 q- phonon 32 3.2.2 Thế nhiệt động q – phonon 34 Kết Luận chương