phép vị tự và ứng dụng

1 LỜI MỞ ĐẦU “Nếu bạn không giảng nghĩa khái niệm cho đứa trẻ tuổi bạn khơng hiểu hồn tồn” _Einstein_ Tốn học khơng thiết phải thứ cao siêu, huyền bí, nhiều thuật ngữ khoa học Tốn học ý tưởng sáng, gần gũi, có người trình bày làm cho trở nên mơ hồ Một số vấn đề Toán học gần gũi Phép vị tự Chúng ta thường bắt gặp hình ảnh giống hệt khác kích thước Như hoa văn gạch lát nhà, tượng, họa tiết quần áo, hoa văn cơng trình kiến trúc… Và băn khoăn suy nghĩ để vẽ họa tiết có cách vẽ nhanh khơng? Có cách để biến hình thành ban đầu? Thật kỳ diệu việc làm lặp lại nhiều lần dễ dàng việc bạn “copy” “paste” word mà thơi Mà Phép vị tự mang lại điều kỳ diệu Vậy nên chúng tơi định thực đề tài Phép vị tự phạm vi Tốn học phổ thơng ứng dụng đời sống để chứng minh thật sáng gần gũi với đời sống người Vì giới hạn kiến thức hạn hẹp nên tiểu luận chúng tơi khơng thể tránh khỏi sai sót Chúng tơi xin tiếp thu ý kiến đóng góp từ người đọc Giáo viên hướng dẫn Thầy Trần Nam Dũng Để chúng tơi hồn thiện thêm vốn kiến thức bổ sung cho tiểu luận trở nên hồn chỉnh Nhóm thực Nhóm Phép vị tự ứng dụng GVHD: TS Trần Nam Dũng MỤC LỤC I II Lời mở đầu…………………… ………………………………………………1 Khái quát chung phép vị tự…………………………………………………2 I.1 Định nghĩa…………………………………………………………………2 I.2 Tính chất………………………………………………………………… I.3 Ảnh đường tròn qua phép vị tự……………………………………… I.4 Tâm vị tự đường tròn………………………………………………….6 I.5 Tích hai phép vị tự……………………………………………………10 Ứng dụng phép vị tự……………………………………………………….9 II.1 Trong mặt phẳng…………………………………………………………9 Các toán ảnh phép vị tự chứng minh thẳng hàng, đồng quy .9 Đường thẳng Euler……………………………………………………14 Đường tròn Euler…………………………………………………… 15 Tích phép vị tự………………………………………………….17 Chứng minh định lý Menelauyt………………………………………22 Các tốn dựng hình……………………………………………….23 Bài tốn quỹ tích…………………………………………………… 24 Bài tốn mở rộng…………………………………………………… 26 II.2 Trong không gian……………………………………………………… 27 II.3 Trong đời sống………………………………………………………… 30 Tổng kết………………………………………………………………………36 Tài liệu tham khảo…………… …………………………………………… 37 Phép vị tự ứng dụng GVHD: TS Trần Nam Dũng I KHÁI QUÁT CHUNG VỀ PHÉP VỊ TỰ: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định số thực k khác cho trước Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho OM '  kOM , gọi phép vị tự tâm O hệ số(tỉ số) k kí hiệu H(O;k) - Điểm O gọi tâm vị tự, k gọi hệ số hay tỉ số vị tự Ví dụ: Phép vị tự tâm O tỷ số k = 1.8 biến hình nhỏ thành hình lớn - Biểu thức tọa độ: VIK : M  M ' I (x ; y ); M(x; y); M'(x'; y')  x '  kx  (1  k) x     y '  ky  (1  k) y  Nếu k > phép vị tự gọi phép vị tự dương hay thuận Nếuk < phép vị tự gọi phép vị tự âm hay nghịch - Các trường hợp đặc biệt: +) Nếu tỷ số vị tự k = OM  OM ' tức M  M’, lúc phép vị tự phép đồng - Phép vị tự ứng dụng GVHD: TS Trần Nam Dũng +) Nếu tỷ số vị tự k = -1 OM  OM ' , tức O trung điểm MM’ hay phép vị tự phép đối xứng tâm M' M O M' O M MỘT SỐ NHẬN XÉT QUAN TRỌNG: - Trong phép vị tự H(O;k) tâm O điểm bất động - Khi k = phép vị tự phép đồng - Khi k = -1 phép vị tự phép đối xứng tâm O (Khi tâm vị tự trở thành tâm đối xứng) Chứng minh Qua phép vị tự tâm O tỷ số k = -1 biến M thành M’ ta có : OM '  kOM  OM '  OM  OM '  OM  phép đối xứng qua điểm O - Qua phép vị tự tâm O tỷ số k biến M thành M’thì phép vị tự tâm O tỷ số biến M’ k thành M Chứng minh k Ta có phép vị tự tâm O tỷ số k biến M thành M’thì suy OM '  kOM  OM  OM ' hay phép vị tự tâm O tỷ số biến M’ thành M k Tính chất Định lý 1: Nếu phép vị tự H(O;k) biến hai điểm M N thành hai điểm M’ N’ M'N '  k.MN M’N’ = |k|MN Phép vị tự ứng dụng GVHD: TS Trần Nam Dũng Chứng minh Nếu tâm phép vị tự theo định nghĩa ta có OM '  kOM , ON '  kON Vậy M ' N '  ON '  OM '  kON kOM  k (ON OM ) kMN Từ suy M’N’=|k|MN Áp dụng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho phép vị tự tâm O tỷ số k = đường thẳng d có phương trình 3x-2y+6=0 Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép vị tự tâm O tỷ số k = Giải Lấy M(0;3) N(-2;0) thuộc đường thẳng d Phép vị tự tâm O tỷ số k = biến M thành M’, N thành N’ cho: OM '  kOM , ON '  kON Suy M’(0;6), N’(-4;0) Khi đường thẳng d’ ảnh d qua phép vị tự tâm O tỷ số k = đường thẳng qua hai điểm M’ N’ Véc tơ phương d’ M ' N ' (-4;-6) Suy véc tơ pháp tuyến (3;-2) Vậy phương trình d’ cần tìm 3x – 2y +12 = Định lý 2: Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Chứng minh Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng mà B nằm A C, tức BA  mBC với m0 M' M I O1 O2 I' M1 Gọi O2 điểm cho O2 I '   R R O2 I , ta phép vị tự tâm O với tỷ số k = - R' R' Người ta gọi phép vị tự nghịch k