Tiểu luận phương pháp toán trong tin học LÝ THUYẾT LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG DỤNG

Các quy luật của tư duy logic là phổ biến cho toàn nhân loại.Ngày nay dưới tác động của cách mạng khoa học-công nghệ hiện đại, logic họchình thức phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hì

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NG Đ I H C CÔNG NGH THÔNG TIN ẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Ệ THÔNG TIN

BÀI THU HOẠCH MÔN TOÁN HỌC CHO KHOA HỌC MÁY TÍNH

LÝ THUYẾT LOGIC VỊ TỪ VÀ ỨNG DỤNG

Giáo viên hướng dẫn : Học viên thực hiện :

MSHV : CH1301006

TPHCM - 2013

A M đ u ở đầu ầu

Trong cuộc sống hàng ngày, mọi hoạt động của con người đều thông qua tư duy của họ Khác vớihành động của con vật mang tính bản năng, hành động của con người luôn mang tính tự giác Con người, trước khi bắt tay vào thực tiễn cải tạo thế giới, đều đã có sẵn dự án trong đầu Sự khác biệt ấy

là vì con người có tư duy và vận dụng sức mạnh tư duy vào việc thực hiện các mục đích của mình Trong quá trình hoạt động đó, con người dần dần phát hiện ra các thao tác của tư duy

Nói đến tư duy logic thì nhân loại, ở châu Phi hay ở châu Âu ở châu Á hay ở châu Mĩ, từ Albert Einstein cho đến mỗi chúng ta, ai ai trong đầu cũng đều có so sánh, phán đoán, suy lý trên cơ sở các

ý niệm, khái niệm về các sự vật, hiện tượng xung quanh Nghĩa là tự nhiên ban cho con người bộ nãohoạt động tư duy với các quy luật logic vốn có, khách quan ở tất cả mọi người và mọi dân tộc Cùng với sự phát triển của thực tiễn và của nhận thức, con người ngày càng có sự hiểu biết đầy

đủ hơn, sâu sắc hơn, chính xác hơn về bản thân tư duy và nhận thức Chính quá trình hiểu biết ấy là

cơ sở tạo ra sự phát triển của logic học Các quy luật của tư duy logic là phổ biến cho toàn nhân loại.Ngày nay dưới tác động của cách mạng khoa học-công nghệ hiện đại, logic học(hình thức) phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hình thành một loạt môn logic hiện đại như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học hình thái, logic học xác suất,v v… Các bộ môn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắc bén giúp tư duy con người ngày càng đi sâu hơn vào nhận thức các

bí mật của thế giới khách quan

Sự ra đời của logic mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát triển của logic học, chuyển

từ logic học truyền thống đến logic học hiện đại Sử dụng toàn bộ những khái niệm của logic mệnh

đề kết hợp với khảo sát các mệnh đề từ việc phân tích các thành phần của mệnh đề, người ta đã xây dựng các hàm vị từ đồng thời đưa vào sử dụng hai hằng logic quan trọng, lượng từ toàn thể và lượng

từ bộ phận Sự ra đời của logic vị từ đã khắc phục được những hạn chế của logic mệnh đề như: thiếuviệc sử dụng các lượng từ toàn thể và bộ phận, không phân tích kết cấu của các mệnh đề Sự khắc phục này cho phép ta đi sâu vào phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng nói chung mở rakhả năng nghiên cứu tính chân lý của các tư tưởng một cách sâu sắc hơn đầy đủ hơn Sau đây em xintrình bày lý thuyết của logic vị từ và ứng dụng của nó

B N i dung: ội dung:

I M t s khái ni m ội dung: ố khái niệm ệm.

1 Th nào là logic? ế nào là logic?

Logic hay luận lý học, nghĩa nguyên thủy là từ ngữ hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành suy nghĩ hoặc lập luận có lý trí) Logic thường được nhắc đến như một ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia Tuy nhiên khi môn học được xác định nhiệm

vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến độ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý

Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như một nhánh của triết học Từ giữa thế kỉ

19, logic đã được nghiên cứu trong toán học và luật Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí tuệ nhân tạo Là một ngành khoa học hình thức, logic nghiên cứu và phân loại cấu trúc của các khẳng định và lý lẽ, cả hai đều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự nghiên cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên Tầm bao quát của logic do vậy rất rộng, đi từ các đề tài cốt lõi như là nghiên cứu các lý lẽ ngụy biện và nghịch lý, đến những phân tích chuyên gia về lập luận, chẳng hạn lập luận có xác suất đúng và các lý lẽ có liên quan đến quan hệ nhân quả Ngày nay, logic được sử dụng phổ biến trong lý thuyết lý luận

Qua suốt quá trình lịch sử, đã có nhiều sự quan tâm trong việc phân biệt lập luận tốt và lập luận không tốt, và do đó logic đã được nghiên cứu trong một số dạng ít nhiều đã quen thuộc với chúng ta Logic Aristotle chủ yếu quan tâm đến việc dạy lý luận thế nào cho tốt, và ngày nay vẫn được dạy với mục đích đó, trong khi logic toán học và triết học phân tích(analytical philosophy), người ta nhấn mạnh vào logic như là một đối tượng nghiên cứu riêng, và do vậy logic được nghiên cứu ở mức độ trừu tượng hơn

Những quan tâm về các loại logic khác nhau giải thích là logic không phải được nghiên cứu trong chân không Trong khi logic thường có vẻ tự cung cấp sự thúc đẩy chính nó, môn học này phát triển tốt nhất khi lý do mà chúng ta quan tâm đến logic được đặt ra một cách rõ ràng

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của logic học, người ta tiến hành phân loại các hệ thống logic học theo những cách khác nhau và logic toán là kết quả toán học hóa logic

2 Logic toán là gì?

Logic toán là một ngành con của toán học nghiên cứu các hệ thống hình thức trong việc mã hóa các khái niệm trực quan về các đối tượng toán học chẳng hạn tập hợp và số chứng minh toán học và tính toán Ngành này thường được chia thành các lĩnh vực con như lý thuyết mô hình(model theory),

lý thuyết chứng minh(proof theory), lý thuyết tập hợp và lý thuyết đệ quy(recursion theory) Nghiên cứu về logic toán thường đóng vai trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học(foundation of

mathematics)

Các tên gọi cũ của logic toán là logic ký hiệu(để đối lập với logic triết học) hay meta toán học Logic toán không phải là logic của toán học mà là toán học của logic Ngành này bao gồm những phần của logic mà có thể được mô hình hóa và nghiên cứu bằng toán học Nó cũng bao gốm những lĩnh vực thuần thúy toán học như lý thuyết mô hình và lý thuyết đệ quy, trong đó khả năng định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm Logic toán học được xây dựng trên cơ sở logic mệnh

b) Logic v t ị từ ừ

Cùng với logic mệnh đề, cấu thành cơ sở của logic toán Về thực chất là sự mở rộng của logicmệnh đề nhờ bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mới vào ngôn ngữ hình thức hóa của phép toán logic mệnh đề Kết quả, đại số mệnh đề sẽ chuyển thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ

Nếu logic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học chính xác và chặt chẽ đối với các phán đoán thì logic vị từ còn cho phép thực hiện các phép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm đó Do đó logic vị từ không chỉ chính xác hóa cơ sở logic của hệ thống phán đoán,

mà còn hoàn thiện cơ sở logic của hệ thống khái niệm

II Logic v t ị từ ừ

1 Khái ni m v t ệm ị từ ừ

Một vị từ là một khẳng định P(x,y, ) trong đó có chứa một số biến x,y, Lấy giá trị trong những tập hợp A,B, cho trước, sao cho :

-Bản thân P(x,y, ) không phải làmệnh đề

-Nếu thay x, y , bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A, B, cho trước ta sẽ được một mệnh

đề P(x, y, ), nghĩa là khi đó chân trị của P(x, y, ) hoàn toàn xác định Các biến x, y, được gọi là cácbiến tự do của vị từ

Ví dụ 1: Các câu có liên quan đến các biến như: "x>3", "x + y = 5" rất thường gặp trong toán học

và trong các chương trình của máy tính Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định

Nói cách khác, vị từ có thể xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ.

Ví dụ 2: Câu {n là chẵn} là một vị từ Nhưng, khi cho n là một số cụ thể là chẵn hay là lẻ ta được một mệnh đề:

• "The car Tom is driving is blue"

• "The sky is blue"

• "The cover of this book is blue"

Chúng ta có thể có 1 vị từ "is blue", viết tắt là B

B(x) nghĩa là "x is blue"

Khi đó, ta có thể biểu diễn các câu như sau

• B(The car Tom is driving)

• B(The sky)

• B(The cover of this book)

2 Không gian c a v t ủa vị từ ị từ ừ

Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử x thuộc tập hợp E ta được một ảnh P(x)∈{∅, 1} Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ

Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai

3 Tr ng l ọng lượng của vị từ ượng của vị từ ng c a v t ủa vị từ ị từ ừ

Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn Vị từ xuất hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ

Ví dụ 1: Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N Ta nói P có trong lượng 2.Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n Nếu gán giá trị xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1, x2, xn) có trọng lượng là (n-1) Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là

∅

4 Phép toán v t ị từ ừ

Phép toán vị từ sử dụng các phép toán logic mệnh đề và là sự mở rộng của phép toán mệnh đề

để thể hiện rõ hơn các tri thức

Ví dụ 1: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích nhau“ dưới dạng logic vị từ

Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:

- "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai).

- "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai).

Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) →NOT thích (X, Y)

(Thích (X, Z) thích (Y, Z) →¬thích (X, Y)

⇔(Thích (X, Z) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y)

Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần Vị từ và tham số Tham

số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng

Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y)

Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán

d) Hàm

Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số

Ví dụ: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc Hoa và Đông là bạn của nhau

Ta có hàm số được viết để thể hiện quan hệ này

a) L ượng từ tồn tại ng t t n t i ừ ồn tại ại ( ) ∃)

Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng" là một mệnh

đề Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x)

b) L ượng từ tồn tại ng t v i m i ( ừ ới mọi ( ọi ( ∀) )

Câu xác định "Tập hợp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E" là một mệnh đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x)

Ký hiệu: xP(x)∀xP(x)

Ví dụ 1: Mọi sinh viên máy tinh phải học môn logic

P(x) = "x phải học môn logic"

Mệnh đề: xP(x)∀xP(x)

Ví dụ 2: Chính xác hơn

S(x) = x la sinh viên máy tính

P(x) = x phải học môn logic

Mệnh đề: x(S(x) → P(x))∀xP(x)

 Chú ý:

Cho P là một vị từ có không gian E Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh đề xP(x) là đúng khi tất cả∀xP(x) các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là x P(x) P(e1) P(e2) P(en) là đúng.∀xP(x) ⇔(Thích (X, Z) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y)

Tương tự xP(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng ∃x P(x) Nghĩa là xP(x) P(e1) P(e2) P(en) là đúng.∃x P(x) ⇔(Thích (X, Z) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y) ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng.

c) Các đ nh lý: ị từ

Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2 Khi đó:

a) ∀xP(x) ∀xP(x)a b P(a,b) và b a P(a, b) là có cùng chân trị.∀xP(x) ∀xP(x)

Nghĩa là: a b P(a,b) ↔ b a P(a, b)∀xP(x) ∀xP(x) ∀xP(x) ∀xP(x)

Ký hiệu: (a,b) P(a,b)∀xP(x)

b) ∃x P(x) a∃x P(x) b P(a,b) và ∃x P(x) b∃x P(x) a P(a, b) là có cùng chân trị

Nghĩa là: ∃x P(x) a∃x P(x) b P(a,b) ↔∃x P(x) b∃x P(x) a P(a, b)

Ký hiệu: ∃x P(x) (a,b) P(a,b)

c) Nếu ∃x P(x) a∀xP(x)b P(a,b) là đúng thì ∀xP(x)b∃x P(x) a P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lại chưa đúng Nghĩa là: ∃x P(x) a∀xP(x)b P(a,b) →∀xP(x)b∃x P(x) a P(a,b)

d) Nếu b a P(a,b) là đúng thì∃x P(x) ∀xP(x) a b P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lại chưa đúng ∀xP(x) ∃x P(x) Nghĩa là: b a P(a,b) → a b P(a,b)∃x P(x) ∀xP(x) ∀xP(x) ∃x P(x)

2 ¬ x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp trống Nghĩa là, tập hợp ∃x P(x) những x mà ở chúng P(x) là sai là tập hợp E hay không có phần tử nào làm P(x) đúng Ta có x (¬P(x)).∀xP(x)

Ví dụ: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3"

Phương pháp ứng dụng.

Để đạt được phủ định của một mệnh đề xây dựng bằng liên kết của những biến của vị từ với phươngtiện định lượng, người ta thay thế những định lượng bởi , và bởi và sau cùng thay thế vị từ ∀xP(x) ∃x P(x) ∃x P(x) ∀xP(x)bằng phủ định của vị từ đó

Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.

- Mệnh đề x (P(x) Q(x)) và( x (P(x) ∀xP(x) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y) ∀xP(x) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y)∀xP(x)x (Q(x)) là có cùng chân trị.

- Nếu mệnh đề∃x P(x) x (P(x) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y)Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề: (∃x P(x) x P(x)) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y)(∃x P(x) xQ(x)) cũng đúng

- Mệnh đề x (P(x) Q(x)) và( xP(x) ∃x P(x) ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng ∃x P(x) ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng.∃x P(x) xQ(x)) là có cùng chân trị

- Nếu mệnh đề x (P(x) Q(x)) là đúng thì ta có mệnh đề xP(x) ∀xP(x) ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng ∀xP(x) ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng.∀xP(x)xQ(x) là đúng, nhưng điều ngược lại không luôn luôn đúng

d) T m v c c a l ầm vực của lượng từ ực của lượng từ ủa lượng từ ượng từ tồn tại ng t ừ

- Ký hiệu bởi [] hoặc (), nếu không có thì tầm vực là công thức nhỏ nhất ngay sau lượng từ.Biến x là bound nếu: • Biến x được gán giá trị

• Biến x được lượng từ hóaBiến x là free nếu nó không bound

∀xP(x) ∃x P(x) ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng ì x, y trong P(x, y) là bound, trong khi y trong Q(x, y) la free

- Thứ tự của lượng từ là quan trọng, chỉ trừ khi tất cả các lượng từ là "với mọi" hoặc tất cả là

"tồn tại"

Đọc từ trái sang phải, áp dụng từ trong ra.

6 Công th c t ức tương đương ương đương ng đ ương đương ng

A tương đương B nếu và chỉ nếu (A →B) (B →A)∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y)

Ký hiệu: A ≡ B |= (A →B) (B →A) ∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y)

a) Các phép t ương đương ng đ ương đương ng

b) Các phép t ương đương ng đ ương đương ng có gi i h n ới mọi ( ại

Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:

7 Công th c ch nh d ng (well-formed fomulas) ức tương đương ỉnh dạng (well-formed fomulas) ạng (well-formed fomulas)

Vị từ theo sau bởi các biến được gọi là công thức nguyên tử (atomic formula)

a) Công th c ch nh d ng (wff) đ ức chỉnh dạng (wff) được x ỉnh dạng (wff) được x ại ượng từ tồn tại ây d ng nh sau: c x ực của lượng từ ư

• True, False là wff

• Mệnh đề hoặc biến mệnh đề là wff

• Một công thức nguyên tử là wff

• Nếu A,B,C là wff thì ￢A, (A B), (A B), (A → B), (A ↔ B) là wff∧thích (Y, Z) →¬thích (X, Y) ∨P(e2) ∨ ∨P(en) là đúng

• Nếu x là biến (trong 1 miền) và A là wff thì xA, xA cũng là wff∀xP(x) ∃x P(x)

Ví dụ:

+ xB(x) l∀xP(x) à wff