Tiểu luận môn phương pháp toán trong tin học TÌM HIỂU VỀ LÝ THUYẾT FUZZY LOGIC VÀ ỨNG DỤNG

Giới thiệuNgày nay, trong những suy luận đời thường cũng như các suy luận trong khoa họcthì logic toán học đóng vai trò rất quan trọng, với sự phát triển của khoa học vànhu cầu cuộc sống

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Giảng viên HD : PGS.TS NGUYỄN PHI KHỨ

Họ tên học viên : LÂM LONG HẬU

Mã số học viên : CH1301013Chuyên ngành : Khoa học máy tính

Tháng 12/2013

Mục Lục

I GIỚI THIỆU 2

II LÝ THUYẾT TẬP MỜ 2

1 ĐỊNH NGHĨA TẬP MỜ: 2

2 CÁC THUẬT NGỮ TRONG LOGIC MỜ: 3

3 BIẾN NGÔN NGỮ 4

4 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP MỜ: 5

4.1 Phép bù: 6

4.2 Phép giao: 8

4.3 Phép hợp: 9

4.4 Một số quy tắc : 11

4.5 Phép kéo theo : 12

5 LUẬT HỢP THÀNH: 13

5.1 Mệnh đề hợp thành: 13

5.2 Luật hợp thành mờ 13

6 GIẢI MỜ: 15

6.1 Phương pháp cực đại : 15

6.2 phương pháp trọng tâm: 15

III LOGIC MỜ 16

1 KHÁI NIỆM MỆNH ĐỀ MỜ : 16

2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN LOGIC MỜ : 17

IV SỐ MỜ 17

1 ĐỊNH NGHĨA 18

2 NGUYÊN LÝ SUY RỘNG CỦA ZADEH 18

3 CÁC SỐ HỌC MỜ 19

V SUY DIỄN MỜ 20

VI CHƯƠNG TRÌNH ỨNG DỤNG 21

Tài liệu tham khảo 23

FUZZY LOGIC VÀ ỨNG DỤNG

I Giới thiệu

Ngày nay, trong những suy luận đời thường cũng như các suy luận trong khoa họcthì logic toán học đóng vai trò rất quan trọng, với sự phát triển của khoa học vànhu cầu cuộc sống thì logic nguyên thủy với 2 giá trị đúng và sai (hay 1 và 0)không thể giải quyết được hết các bài toàn phức tạp nảy sinh trong thực tế Ví dụ:

“Nếu quần áo ít thì máy giặt sử dụng ít nước” Lúc này các khái niệm “quần áo ít” và “ít nước” không được định nghĩa rỏ ràng Những bài toán như trên ngày

càng trở nên phổ biến trong cuộc sống Và một cách tiếp cận mới được nảy sinh đãmang lại nhiều kết quả thực tiễn và đang tiếp tục phát triển đó là cách tiếp cận của

lý thuyết tập mờ, do giáo sư Lotfi Zadeh của trường đại học California - Mỹ đề ranăm 1965 Công trình này thực sự đã khai sinh một ngành khoa học mới là lýthuyết tập mờ, nó đã và đang góp phần tạo nên các sản phẩm công nghiệp đangđược tiêu thụ trên thị trường

Trong đó µF(x) gọi là hàm thuộc, B là tập nền

Ví dụ: Một sự biểu diễn tập mờ cho các tập người đàn ông thấp, trung bình và

cao

2 Các thuật ngữ trong logic mờ:

 Độ cao mờ F là giá trị h = Sup µF(x), trong đó µF(x) là giá trị nhỏ nhất trong tất

µVS(x) µS(x) µM(x) µF(x) µVF(x)

Như vậy biến tốc độ có 2 miền giá trị:

 Miền giá trị ngôn ngữ:

N = {rất chậm, chậm, trung bình, nhanh, rất nhanh}

 Miền giá trị vật lý:

V = { x ∈ B | x >= 0}

Biến tốc độ được xác định trên miền ngôn ngữ N được gọi là biến ngôn ngữ Vớimỗi x ∈ B ta có hàm thuộc

x → µx = { µVS(x), µS(x), µM(x), µF(x), µVF(x) }

ví dụ hàm thuộc tại giá trị rõ x = 65 km/h là:

µx(65) = {0; 0; 0.75; 0.25; 0}

4 Các phép toán trên tập mờ:

Cho Ω = {P1, P2, } với P1, P2, là các mệnh đề Tập mờ A trên Ω tương

ứng với ánh xạ v như sau:

v : Ω → [0, 1]

Pi Ω → v(Pi)

∀Pi ∈ Ω → v(Pi) ∈ Ω → v(Pi)

Ta gọi v(Pi) là chân trị của mệnh đề Pi trên [0, 1]

4.1 Phép bù:

Phép phủ định trong logic kinh điển là một trong những phép toán cơ bản cho việcxây dựng phép bù của 2 tập hợp Để suy rộng phép này trong tập mờ chúng ta cầntới toán tử v(NOT P) Toán tử này phải thỏa các tính chất sau :

 v(NOT P) chỉ phụ thuộc vào v(P)

 Nếu v(P1) < v(P2) thì v(NOT P1) > v(NOT P2)

 v(NOT P) phụ thuộc liên tục vào v(P)

 v(NOT (NOT P)) = v(P)

nếu nó là hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt và ϕ(a) = a, ϕ(b) = b

Định lý 1:

Hàm n:[0,1] → [0,1] là hàm phủ định mạnh khi và chỉ khi có một tự đồng cấu

ϕ của đoạn [0,1] sao cho N(x) = Nϕ(x) = ϕ-1(1 - ϕ(x))

Định lý 2 :

Hàm n: [0,1] →[0,1] là hàm phủ định nghiêm ngặt khi và chỉ khi có hai phép

tự đồng cấu ψ, ϕ của [0,1] sao cho n(x) = ψ (1- ϕ(x))

4.2 Phép giao:

Phép hội AND trong logic kinh điển là cơ sở để định nghĩa phép giao của 2 tập

mờ AND thoả các tính chất sau :

 v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2)

 Nếu v(P1)=1 thì v(P1 AND P2) = v(P2) , với mọi P2

 Giao hoán v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1)

 Nếu v(P1) ≤ v(P2) thì v(P1 AND P3) ≤ v(P2 AND P3), với mọi P3

 Kết hợp v(P1 AND (P2 AND P3 )) = v((P1 AND P2 )AND P3 )

Định nghĩa 5:

Hàm T : [0,1]2 → [0,1] là phép hội (t-chuẩn) khi và chỉ khi thỏa các điều kiện sau:

 T(1, x) = x, với mọi 0≤ x ≤1

 T có tính giao hoán, nghĩa là : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0≤ x,y ≤1

 T không giảm theo nghĩa : T(x,y) ≤ T(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v

 T có tính kết hợp : T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),x), với mọi 0≤ x,y,z ≤1

Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc về µA(a),

µB(a), cho T là một phép hội

Ứng với phép hội T, tập giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ trên Ω với hàm thuộc về cho bởi :

µA∩B(a) = T(µA(a), µB(a)) ∀a∈Ω

Với T(x,y)=min(x,y) ta có :

µA∩B(a) = min(µA(a), µB(a))

Với T(x,y) = x.y ta có:

µA∩B(a) = µA(a).µB(a) (tích đại số)

Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm T(x,y)=min(x,y) và T(x,y) = x.y theo các đồ thị sau đây:

 Hình a : Hàm thuộc về của hai tập mờ A và B

 Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y) = min(x,y)

 Hình c: Giao của hai tập mờ theo T(x,y) = x.y

Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong Ω như sau:

 S có tính giao hoán, nghĩa là : S(x,y) = S(y,x), với mọi 0≤ x,y ≤1

 S không giảm theo nghĩa : S(x,y) ≤ S(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v

 S có tính kết hợp : S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),x), với mọi 0≤ x,y,z ≤1

Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc về µA(a),

µB(a) Cho S là phép tuyển , phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ trên Ωvới hàm thuộc về cho bởi :

µA B ∪ B (a) = S(µA(a), µB(a)) , a Ω ∀Pi ∈ Ω → v(Pi) ∈ Ω → v(Pi)

Với S(x,y) = max(x,y) ta có :

µA B ∪ B (a) = max(µA(a), µB(a)) ( hình a)

Với S(x,y) = min(1, x+y)

µA B ∪ B (a) = min(1, µA(a) + µB(a)) (hình b)

Với S(x,y) = x + y + x.y

µA B ∪ B (a) = µA(a) + µB(a) - µA(a).µB(a) (hình c)

Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong Ω như sau:

Tính lũy đẳng (demportancy) : Chúng ta nói T là lũy đẳng nếu T(x,x) = x,

x [0,1] Tương tự, S là lũy đẳng nếu S(x,x) = x, x [0,1]

∀Pi ∈ Ω → v(Pi) ∈ Ω → v(Pi) ∀Pi ∈ Ω → v(Pi) ∈ Ω → v(Pi)

Tính hấp thu (absorption) : Có hai dạng hấp thu :

 T(S(x,y),x) = x , x,y [0,1] ∀Pi ∈ Ω → v(Pi) ∈ Ω → v(Pi)

 S(T(x,y),x) = x , x,y [0,1].∀Pi ∈ Ω → v(Pi) ∈ Ω → v(Pi)

Tính phân phối (distributivity) : Có hai biểu thức xác định tính phân phối:

 S(x,T(y,z)) = T(S(x,y), S(x,z)), x,y,z [0,1] ∀Pi ∈ Ω → v(Pi) ∈ Ω → v(Pi)

 T(x,S(y,z)) = S(T(x,y), T(x,z)), x,y,z [0,1] ∀Pi ∈ Ω → v(Pi) ∈ Ω → v(Pi)

Luật De Morgan : Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ định Chúng

ta có bộ ba (T,S,n) là một bộ ba De Morgan nếu : n(S(x,y)) = T(nx,ny)

Định nghĩa 9: Phép kéo theo của một hàm số I : [0,1]2 → [0,1] thỏa các điều kiệnsau :

 Nếu x ≤ z thì I(x,y) ≥ I(z,y), ∀y∈[0,1]

 Nếu y ≤ u thì I(x,y) ≤ I(z,y), ∀x∈[0,1]

 I(0,x) = 1, ∀x∈[0,1]

 I(x,1) = 1, ∀x∈[0,1]

 I(1,0) = 0

Định nghĩa 10: Cho T là t-chuẩn, A là t-đối chuẩn, n là phép phủ định Hàm

IS(x,y) xác định trên [0,1]2 bằng biểu thức : IS(x,y) = S(n(x),y)

Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong Ω như sau:

Ví dụ điều khiển mực nước trong bồn chứa, ta quan tâm đến 2 yếu tố :

Mực nước trong bồn L = { rất thấp, thấp, vừa}

Góc mở van ống dẫn nước G = {đóng, nhỏ, lớn}

Ta có thể suy diễn cách thức điều khiển như thế này:

Nếu mực nước = rất thấp Thì góc mở van = lớn

Nếu mực nước = thấp Thì góc mở van = nhỏ

Nếu mực nước = vừa Thì góc mở van = đóng

Trong ví dụ trên ta thấy có cấu trúc chung là ‘ Nếu A thì B’ Cấu trúc này được gọi

là mệnh đề hợp thành, A là mệnh đề điều kiện, C = A => B là mệnh đề kết luận

Định lý Mamdani :

Độ phụ thuộc của kết luận không được lớn hơn độ phụ thuộc của điều kiện

Nếu hệ thống có nhiều đầu vào và nhiều đầu ra thì mệnh đề suy diễn có dạng tổngquát như sau:

If N = n i and M = m i and … then R = r i and K = k i and …

5.2 Luật hợp thành mờ

Luật hợp thành là tên gọi chung cho mô hình biểu diễn một hay nhiều hàm phụthuộc cho một hay nhiều mệnh đề hợp thành

Các luật hợp thành cơ bản:

 Luật Max – Min

 Luật Max – Prod

 Luật Sum – Min

 Luật Sum – Prod

5.2.1 Thuật toán xây dựng mệnh đề hợp thành cho hệ SISO

Luật mờ cho hệ SISO có dạng ‘If A then B’

Chia hàm thuộc µA(x) thành n điểm xi , i = 1,2,3,…,n

Chia hàm thuộc µB(y) thành m điểm xj , j = 1,2,3,…,m

Xây dựng ma trận quan hệ mờ R

Hàm thuộc µB’(y) đầu ra ứng với giá trị rõ đầu vào xk có giá trị µB’(y) = aT.R, với aT

= {0,0,0,…,0,1,0,…,0,0} Số 1 ứng với vị trí thứ k

Trong trường hợp đầu vào là giá trị mờ A’ thì µB’(y) là:

µ B’ (y) = {l 1 , l 2 , l 3 … l m } với l k = maxmin{a i , r i k }

5.2.2 Thuật toán xây dựng mệnh đề hợp thành cho hệ MISO

Luật mờ cho hệ MISO có dạng:

‘If cd 1 = A 1 and cd 2 = A 2 and … then rs = B’

Các bước xây dựng luật hợp thành R:

 Rời rạc các hàm thuộc µ A1 (x 1 ), µ A2 (x 2 ),…, µ An (x n ), µ B (y)

 Xác định độ thỏa mản H cho từng vector giá trị rõ đầu vào x = {c 1 , c 2 ,

c 3 …,c n } trong đó ci là một trong các điểm mẫu của µ Ai (x i ) Từ đó suy ra

- Xác định y’ theo 1 trong 3 cách sau :

 Nguyên lý trung bình : y’ = (y1 + y2) / 2

 Nguyên lý cận trái : chọn y’ = y1

 Nguyên lý cận phải : chọn y’ = y2

6.2 phương pháp trọng tâm:

Điểm y’ được xác định là hoành độ của điểm trọng tâm miền được bao bởi trụchoành và đường µB’(y)

Công thức xác định:

Phương pháp trọng tâm cho luật Sum – Min

Giả sử có m luật điều khiển, ký hiệu các giá trị mờ đầu ra của luật điều khiển thứ k

là µB’K(y) thì với quy tắc Sum – Min hàm thuộc sẽ là

Cho Ω = {P1, P2, } với P1, P2, là các mệnh đề Tập mờ A trên Ω tương ứngvới ánh xạ v như sau:

v : Ω → [0, 1]

∀Pi ∈ Ω → v(Pi)

Ta gọi v(Pi) là chân trị của mệnh đề Pi trên [0, 1]

Các phép toán trên mệnh đề mờ là các phép toán logic mờ dựa trên các tập mờ

Ký hiệu mức độ đúng (chân trị) của mệnh đề mờ P là v(P) Ta có : 0≤ v(P) ≤ 1

2 Các phép toán trên logic mờ :

Các phép toán mệnh đề trong logic mờ được định nghĩa như sau:

mà nằm gần 1, vậy bản thân chữ gần 1 là mơ hồ, vậy tập này gọi là số mờ Số mờđược định nghĩa là 1 tập mờ trên trục thực, nhưng mà nó phải có tập điểm chứkhông phải bất kỳ tập nào trên trục thực cũng gọi là số mờ, ta phải dựa trên cácđặc điểm

1 Định nghĩa

Cơ sở khoa học của số mờ là tập mờ trên trục thực thỏa 2 điều kiện, ta có địnhnghĩa về số mờ như sau: Tập mờ M trên đường thẳng số thực R1 là tập số mờ nếuthỏa 2 điều kiện sau:

 M là chuẩn số, tức là có điểm x’ sao cho M(x’) = 1

 Ứng với mỗi   R1, tập mức {x:M(x)≥} là đoạn đóng trên R1

Người ta thường dùng các số mờ dạng tam giác, hình thang và dạng Gauss Và dẫnđến các qui tắc là ta giả định rằng tập mờ đó là dạng đặc biệt mà đường biểu diễn tạo thành tam giác cân trên biểu đồ, do đó ta có các qui tắc tính toán số mờ như sau:

Các phép toán (dùng để tính toán) trên số mờ:

 Cộng : [a,b] + [d,e] = [a+d, b+e]

 Trừ : [a,b] - [d,e] = [a-e, b-d]

 Nhân : [a,b] * [d,e] = [min(ad,ae, bd, be), max(ad,ae, bd, be)]

 Chia : [a,b] / [d,e] = [min(a/d,a/e, b/d, b/e), max(a/d,a/e, b/d, b/e)]

2 Nguyên lý suy rộng của Zadeh

Để làm việc với các hệ thống có nhiều biến vào, nguyên lý suy rộng của Zadeh làrất quan trọng

Định nghĩa: Cho Ai là tập mờ với các hàm thuộc Ai trên không gian nền Xi,(i=1 n) Khi đó tích A1xA2x An là tập mờ trên X=X1xX2x Xn với hàm thuộc:

A(x)=min{ Ai(xi); i=1 n} Trong đó x=(x1,x2, xn)

Giả sử mỗi biến đầu vào xi lấy giá trị là Ai(i=1 n) Hàm f: X->Y chuyển các giátrị đầu vào là Ai thành giá trị đầu ra B Khi đó B là tập mờ trên Y với hàm thuộcxác định bởi:

B(x)=max{min( Ai(xi)); i=1 n : xf 1

(y)} nếu f 1

(y) 

B(x)=0 nếu f 1

(y) =

Trong đó f 1(y) = {x X : f(x)=y}

Ta có thể áp dụng nguyên lý suy rộng cho định nghĩa suy rộng của phép cộng nhưmột hàm 2 biến mờ Tương tự cho các phép toán trừ, nhân, chia

3 Các số học mờ

Từ các phép toán cơ bản (Các phép toán trên số mờ) người ta xây dựng nên số học

mờ Có nhiều cách xây dựng một số học mờ Sau đây là số học mờ dựa trên khái

niêm  -cuts (lát cắt alpha)  -cuts của số mờ là khoảng đóng thực với mọi 0< 

<=1 Gọi * là một trong 4 phép toán sau: {+, -, , /}

[a,b]*[d,e]={f x g / a£ f £ b, d £ g £ e}

Các tính chất số học mờ dựa trên khoảng đóng:

Gọi A=[a1,a2], B=[b1,b2], C=[c1, c2], 0=[0,0], 1=[1,1] ta có một số tính chất sốhọc mờ sau:

Mệnh đề 1 (Luật hoặc tri thức): P → Q

Mệnh đề 2 (sự kiện): P đúng

Kết luận : Q đúng

Trong suy diễn mờ, luật được diễn đạt dưới dạng sau :

Luật mờ : Nếu x=A thì y=B

Luật mờ : Nếu góc tay quay ga lớn thì xe đi nhanh

Sự kiện mờ : Góc tay quay khá lớn

Kết luận : Xe đi khá nhanh

Trong logic rõ Modus Tollen có dạng:

Mệnh đề 1 (Luật hoặc tri thức): P → Q

Mệnh đề 2 (sự kiện): ¬Q đúng

Kết luận : ¬P đúng

Trong suy diễn mờ, luật được diễn đạt dưới dạng sau :

Luật mờ (hoặc tri thức mờ): P → Q

Sự kiện mờ : ¬Q khá đúng

Kết luận : ¬P khá đúng

Ví dụ :

Luật mờ : Nếu góc tay quay ga lớn thì xe đi nhanh

Sự kiện mờ : Xe không đi nhanh lắm

Kết luận : Góc tay quay không lớn lắm

Cột 1 và cột 2 trình diễn hành động thứ 1 và thứ 2 của người chơi.

Cột 3 biểu diễn hành động thứ 3 và được chia thành 3 cột nhỏ, mỗi cột biểu diễnhành động có thể thực hiện của người chơi, mỗi dòng là sự biểu diễn số lần hànhđộng 3 được người chơi thực hiện dựa vào 2 hành động ban đầu đã cho

Ví dụ:

VII Tài liệu tham khảo

[1] Jan Jantzen, Tutorial On Fuzzy Logic

[2] K.Tomsovic, M.Y Chow Prepared for the IEEE-PES Winter Meeting inSingapore January, 2000

[3] PGS.TS Nguyễn Phi Khứ, introduce fuzzy loggic

[4] PGS.TS.Nguyễn Thị Phương Hà, Điều khiển mờ