Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018

Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018Đề thi học sinh giỏi toán 12 Huế 2017 2018

Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi thừa thiên huế năm học 2017 - 2018 (Lời giải gồm 07 trang) 2x  m ,  Hm  mx  a) Khi m 1, hàm số cho có đồ thị H1 cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A B Tính diƯn tÝch tam gi¸c OAB b) Chøng minh r»ng víi m đồ thị hàm số H m cắt đường thẳng Câu 1: (4,0 điểm) Cho hµm sè y   d  : y x 2m hai điểm phân biệt C, D thuộc đường H cố định thẳng d cắt Ox, Oy điểm M , N Tìm m để SOCD 3SOMN Đường Hướng dẫn giải: 2x a) Khi m 1, hàm số cho trë thµnh: y   H1  x 1  A   H1   Ox 1  Gäi   A  ;0  , B  0; 1  OA  ; OB  2   B   H1   Oy 1 1 (đvdt) Tam giác OAB vuông O nên: SOAB OA.OB 2 b) Phương trình hoành độ giao ®iĨm cđa  H m  vµ  d  lµ: 2x  m  mx    x  2m   mx   x  m   x  2m  mx  1 (I ) 1   x   x    Víi m  th× ( I )   m m 2  2 x  2mx   (*) 2mx  2m x  m   2  1  1 Phương trình (*) có m 0, m  vµ:     2m        0, m  m  m  m Suy m phương trình (*) có nghiệm thực phân biệt khác m VËy m  th×  H m  d cắt điểm ph©n biƯt  x1  x2  m  *Gäi x1 , x2 lµ nghiƯm cđa (*), theo định lí Vi-ét thì: x2   x1  x1 x2    Gäi C  x1 ; y1  , D x2 ; y2 giao điểm  H m  vµ  d    Ta cã: y1  x1  2m  x1   x1  x2   2 x2  2     x1  x1 1 T­¬ng tù y2 Vậy hai điểm C , D nằm đồ thị hàm số y x2 x H  (§PCM)  M   d   Ox *Ta cã:   M  m;  , N  0; 2m   OM  m ; ON  2m  m  N   d   Oy 1 Khi ®ã SOMN  OM ON  m m  m 2    Ta cã OC.OD   x12   x22    x1  x2     x14  x24  x12  x22  x    x x   x24  x12 x22   x14  x24  x1 x2  2 1 2   x1 x2    x1  x2   x1 x2    x1 x2   m    m  2m    2   1   m  2m   4m  8m  25 VËy OC.OD  16 4 Ta cã SOCD  3SOMN  25 4m  8m   3m 2  128m  32m  25   m  23 23 m 16 C©u 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: cos  x   2        cos  x   4  3   sin   x b) Giải phương trình sau:   x3  x x  25 x  18 , x  H­íng dÉn gi¶i:    cos  x    sin x      a) §iỊu kiƯn   xk   cos x  sin  3  x        Với điều kiện phương trình cho tương đương víi:  k      x    k  tan x  1  cos x  sin x  1     2  cos x  sin x       x   k   sin x cos x  2 sin x cos x  sin x     x  3  k Đối chiếu với ĐK ta phương trình có họ nghiệm là: x x 3  k k     k ; x   k   k ; b) Cách 1: Đưa hàm đặc trưng Phương trình (1) tương đương với:  x3  x  25 x3  18 x    25 1  x    25  x3   x3  x  18 x  20     x3  x   x   (*) a  x3 PT(*) trở thành: *Đặt  b  x   a  a  b  b   a  b  a  b  1   a  b *Víi a  b ta cã:  x3  x   (1  x)(1  x  x )  2(1  x)  2(1  x  x )   x   x  x2  37   x2  5x    x  2   x  x x Cách 2: Nhân liên hợp x  0 (1)   x3  10 1  x   x  25 x3  18 x   10 1  x   1 x    x  x   x  x  25 x3  18 x  10 x  15 x  1 x  5x   1 x  x  1 x    x2  5x  x2  5x    37  x  5x    x    1 x  x2  5x    1 x  x  1 x Ta cã: (**)   x   x  x2 1 x  1 x  x   1 x  x  x2  5x   (**)  x2  5x   4x2  5x  2 1 x     1 x  1 x  x   4x2  5x  (VN ) Câu 3: (4,0 điểm) x y  y  x  y  (1) a) Giải hệ phương trình sau:   x, y    (2)  x  x   x  y b) Có 30 thẻ đánh số từ tới 30 Rút ngẫu nhiên thẻ Tính xác xuất để tổng số ghi thẻ chia hết cho Hướng dẫn giải: a) Điều kiện x  2; y   Ta cã: (1)  x3  x  y  y  y   x  x   y  1   y  1  x3   y  1   x  y  1    x  y  1  x  x( y  1)   y  1  1     y  x  Thay y  x  vµo (2) ta cã: x3  x   x   x     x3   x   x3   x     x   x  x   x   2  x  2x    2 x2  x  2 x2 2 (*)  nªn PT(*) v« nghiƯm 2 x2 Víi x   y Vậy hệ cho có nghiệm là:  x; y    2;3 Víi mäi x  2 ta cã VT (*)   x  1   3; VP(*)  b) Gọi A biến cố: Rút ngẫu nhiên thẻ mang c¸c sè cã tỉng chia hÕt cho 3” Ta cã n     C303 *Ta chia 30 thẻ đánh số từ tới 30 làm loại sau: Loại 1: 10 thẻ mang số chia cho dư 1; Loại 2: 10 thẻ mang số chia cho dư 2; Loại 3: 10 thẻ mang sè chia hÕt cho 3; *Rót thỴ mang sè có tổng chia hết cho xảy trường hợp sau: TH1: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH2: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH3: thẻ thẻ loại có: C103 cách TH4: thẻ gồm thẻ loại 1; thẻ loại thẻ loại có: 10.10.10 1000 c¸ch n  A  3C103  1000 68 Xác suất biến cố A là: P  A   203 n  C30 Câu 4: (3,0 điểm) 2 Trong mặt phẳng tọa ®é Oxy, cho ®­êng trßn  C  :  x  1   y    điểm M 6; a) Chứng minh điểm M nằm đường tròn C b) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt C hai điểm A, B cho MA2  MB  50 H­íng dÉn gi¶i: a) Đường tròn C có tâm I 1;  , b¸n kÝnh R   Ta cã: IM   5;   IM  R Vậy điểm M nằm đường tròn C b) Gọi H trung ®iĨm cđa AB Ta cã IH  AB I H B      MA2  MB  MH  HA  MH  HB     A     MH  HA2  HB  MH HA  HB      MH  HA2  IM  IH  IA2  IH 2  IM  IA  IH d M    50  10  IH  60  IH 10 Ta cã MA2  MB  50  60  IH  50  IH   Gäi n   a; b  a b vectơ pháp tuyến đường thẳng d cần tìm Phương trinh tổng quát đường thẳng d là: a x    b  y    b  3a 10  b  9a   a b b  3a *Với b 3a phương trình d là:  x     y     x  y  12  Ta cã IH  d  I ; d   5a 2  *Víi b 3a phương trình d là: x    y     x  y  C©u 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA SB SC  a vµ SD  x  a  0; x   a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S ABCD theo a vµ x b) TÝnh x theo a ®Ĩ thĨ tÝch khèi chãp S ABCD lín nhÊt H­íng dÉn gi¶i: S a a a x a A B a O D a C a) Gọi O AC BD *Tam giác SAC cân S có SO trung tuyến nên: SO AC (1) * ABCD hình thoi nên BD AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: AC   SBD  1 AO.SSBD  CO.S SBD  AC.S SBD 3 *XÐt tam giác vuông OAD, OAB, OAS có cạnh OA chung AD AB AS nên chúng Suy ra: OD  OB  OS  SBD vu«ng S 1 Khi đó: S SBD SB.SD  ax vµ BD  x  a 2 Do ®ã: VS ABCD  VA.SBD  VC SBD   x2  a2 Ta cã: AC  AO  AD  DO  a     1 VËy VS ABCD  xa 3a  x  ax 3a  x 2 2 b) Theo bất đẳng thức Cô-si thì: x 3a x     3a  x    x  3a  x 2   3a 2  VS ABCD  3a a a  VËy VS ABCD lín nhÊt vµ chØ khi: x  3a  x  x  3a a x 2 Câu 6: (2,0 điểm) Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x, y  ;1 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc: 2  P  x y  xy   3 x  y  x  y2 H­íng dÉn gi¶i: Ta cã x, y  nªn:  x  1 y  1   xy  x  y  2 Khi ®ã x  y   x  y   xy   x  y    x  y  1   x  y    x  y   (1) 2 1 4 x  y  xy  x  y    x  y  1 x  y  8 Từ đánh giá (1) (2) nên ta cã: P   x  y  1 x  y    3 x  y   x  y  2 x  y    Vµ: x5 y  xy  xy x  y xy Đặt t x  y Do x, y   ;1 nªn t  1; 2 2  Ta cã P  f  t    t  1 t  3t  t  2t   (2) XÐt hµm sè f t xác định liên tục đoạn 1; 2 cã: f  t     12  t  1 5t  4t   t  2t    5t  t    6t  24    12  t  1 t  2t   t    5t  6t  12t  24   3  2   12  t  1 5t  4t  24  t  2t    5t  t    t  8  3  12  t  1 t  2t   12  t  1  t  12  1   2 12  t  1 2   (do t  2) Ta cã  t  1    t  1   t  1  1   t  1    t 1  t  12  1   12  t  1  0, t  1; 2 Suy ra:   t  12  1   VËy f   t  0, t 1; Nên hàm số f t nghịch biến đoạn 1; Do ®ã f  t   f  Vậy P Giá trị nhỏ P -1 đạt chØ x  y  - HÕt ...Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi thừa thi n huế năm học 2017 - 2018 (Lời giải gồm 07 trang) 2x  m ,  Hm  mx  a) Khi m 1, hàm số... đoạn 1; 2 cã: f  t     12  t  1 5t  4t   t  2t    5t  t    6t  24    12  t  1 t  2t   t    5t  6t  12t  24   3  2   12  t  1 5t  4t  24  t ...  3  12  t  1 t  2t   12  t  1  t  12  1   2 12  t  1 2   (do t  2) Ta cã  t  1    t  1   t  1  1   t  1    t 1  t  12  1   12  t 