Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Cần Thơ

NHĨM TỐN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi SỞ GD&ĐT CẦN THƠ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 Ngày thi : 27/02/2019 MƠN: TỐN Đề thi có 02 trang Thời gian: 180 phút Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số y  x  8mx  16m  m   m  R  có đồi thị  C  điểm H  0;1 Tìm tất giá trị m để đồ thị  C  có ba cực trị A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Câu 2: (2 điểm) Một xe khách chất lượng cao từ Cần thơ đến Hà Nội chở nhiều 50 hành khách chuyến Theo tính tốn nhà xe, xe chở k khách giá tiềm mà Câu 3: 3k   khách phải trả tuyến đường 180   trăm đồng Tính số hành khách   chuyến xe cho tổng số tiền thu từ hành khách nhiều Tính số tiền (4 điểm) Giải phương trình sau: a) log x  x   log 1  x   x   x  x  b) cos x  cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin x  sin x NHĨM TỐN VD – VDC Họ tên: SBD: Câu 4: 2 ( điểm) a) Một xe ô tô chạy với vận tốc v0 (m/s) người lái xe đạp phanh Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   4t  v0 (m/s), t (tính giây) đến dừng hẳn tơ chạy tiếp qng đường dài mét b) Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh viên chọn không học ngoại ngữ Biết trường dạy hai ngoại ngữ tiếng Anh tiếng Pháp Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD  120 Biết đường thẳng AA, AB, AC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 Gọi M , N trung điểm BB, CC a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D b) Tính khoảng cách AD mặt phẳng Câu 6:  DMN  (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm I Gọi E , M trung điểm cạnh AB BC ; điểm F D tương ứng hình chiếu vng góc A B đường thẳng BC AI a) Chứng minh ME đường trung trực đoạn thẳng DF 9 8 b) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết M  2; 1 , D  ;   đường thẳng 5 5 AC có phương trình x  y   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh Tính vận tốc v0 , biết từ lúc đạp phanh NHĨM TỐN VD – VDC Câu 7: Câu 8: Đề thi học sinh giỏi NHĨM TỐN VD – VDC (2 điểm) Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm Theo yêu cầu lãnh đạo nhà máy, hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng có dạng hình trụ Biết hộp sữa tích 1dm Hãy giuýp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa cho vật liệu sử dụng làm bao bì (1 điểm) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phô thông Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiệp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: “Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ” - Nghĩa: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn” - Tuấn: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt” - Phú: “Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều” - Thuận: “Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phân phần sai đồng thời địa phương địa hộ khâu học sinh - HẾT - NHĨM TỐN VD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi SỞ GD&ĐT CẦN THƠ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu 1: Tìm tất giá trị m để đồ thị  C  có ba cực trị A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Lời giải TXĐ: D  ; y  x3 16mx  4x  x  4m  x  y     x  4m  C  có cực trị m  (1) Không tính tổng quát, giả sử điểm cực trị hàm số A  0;16m2  m  1 ,     B m ;1  m , C 2 m ;1  m      NHĨM TỐN VD – VDC (3 điểm) Cho hàm số y  x  8mx  16m  m   m  R  có đồi thị  C  điểm H  0;1  AH  0; m  16m2  ; BC 4 m ;0 ; CH m ; m ; AB m ;  16m   0 4 m   m  16m    AH BC    Do H trực tâm tam giác ABC nên  2 m m  m  16m   CH AB  m   lo¹i   (Do kết hợp với điều kiện (1))  4m 16m    m   nhËn   Vậy m  giá trị cần tìm (2 điểm) Một xe khách chất lượng cao từ Cần thơ đến Hà Nội chở nhiều 50 hành khách chuyến Theo tính tốn nhà xe, xe chở k khách giá tiềm mà 2 3k   khách phải trả tuyến đường 180   trăm đồng Tính số hành khách   chuyến xe cho tổng số tiền thu từ hành khách nhiều Tính số tiền Lời giải   Số tiền thu chuyến xe : T  k 180  k  ;  k  50     Gọi T k  k  180  k      2   Bài tốn trở thành : Tìm k để T k  k  180  k  đạt GTLN, với  k  50        Ta có : T  k  180  k   180  k       https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu 2: NHĨM TỐN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi   k  120  0; 50 T' k     k  40    Bảng biến thiên: đồng ( 57.600.000 đồng) Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) log x  x   log 1  x   x   x  x  b) cos x  cos x  6sin x.cos x   sin x  cos x   sin x  sin x NHĨM TỐN VD – VDC Vậy: Số tiền thu nhiều xe chở 40 hành khách số tiền thu 576000 trăm 2 Lời giải a) Điều kiện: x  log x  x   log 1  x   x   x  x  Ta có:  log3 x  x   x  x   log3 1  x    x Xét hàm số f  t   log3 t  t , t  Ta thấy f '  t   đồng biến  t  Do đó: f  *   t  Suy hàm số f  t  t ln  x  x   f 1  x   x  x    x nên phương trình * tương đương  1  x  x  với phương trình: x  x    x    x  2    x2  x   x  x   1  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  b) Ta có: cos2 x  cos x  6sin x cos x  sin x  cos x   sin x  sin x  cos x  cos x  3sin x   sin x  sin x  sin x   cos x  2sin x   sin x  sin x  cos x  sin x 2    sin x  sin   x  3  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC  log3 x  x   log3 1  x   x   x  x  NHĨM TỐN VD – VDC    2    x  k 2 x x  k      x       x   k 2  x  2  k 2     3   2 2 ;x  k 2 với  k   Vậy phương trình cho có nghiệm: x   k 3 ( điểm) a) Một xe ô tô chạy với vận tốc v0 (m/s) người lái xe đạp phanh Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   4t  v0 (m/s), t (tính giây) khoảng thời gian kể từ lúc người lái xe đạp phanh Tính vận tốc v0 , biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ chạy tiếp quãng đường dài mét b) Một lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh viên chọn không học ngoại ngữ Biết trường dạy hai ngoại ngữ tiếng Anh tiếng Pháp NHĨM TỐN VD – VDC Câu 4: Đề thi học sinh giỏi Lời giải v0 ô tô dừng v0 v0 v02 4 hẳn Khi tơ quảng đường s    4t  v0  dt   2t  v0t    m  0 a) Với vận tốc chuyển động chậm dần v  t   4t  v0 , sau thời gian Theo u cầu tốn, tơ chạy thêm quãng đường  m  , ta có phương trình: NHĨM TỐN VD – VDC v0  v02 8  v0  8 Vì ban đầu vận chuyển động có vận tốc, sau hãm phanh, ta chọn v0   m/s  b) Cách 1: Sử dụng biểu đồ ven hình vẽ bên Như lớp học đại học cho có 10 học sinh khơng học ngoại ngữ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi Ta xét phép thử: Chọn học sinh số 60 học sinh lớp học Số khả xảy phép thử n     C602 Xét biến cố A : Chọn học sinh không học ngoại ngữ Suy xác suất để chọn học sinh không học ngoại ngữ P  A  n  A C102   n    C60 118 Cách 2: Gọi A, P, K tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp không học ngoại ngữ Khi n  A  P  K   60 n  A  40 , n  P   30 , n  A  P   20 Ta có n  A  P  K   n  A  n  B   n  K   n  A  P   n  A  K   n  P  K   n  A  P  K  NHÓM TOÁN VD – VDC Như điều kiện thuận lợi biến cố A chọn học sinh 10 học sinh khơng học ngoại ngữ Do n  A  C102 Nên 60  40  30  n  K   20     n  K   10 Gọi X biến cố “ sinh viên chọn không học ngoại ngữ” 2 Ta có n     C60 , n  X   C10 Do P  X   (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD hình thoi cạnh a , BAD  120 Biết đường thẳng AA, AB, AC tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 Gọi M , N trung điểm BB, CC a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D b) Tính khoảng cách AD mặt phẳng  DMN  Lời giải A' D' C' B' M B A N D H C E F a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu 5: n  X  C10   n    C60 118 NHĨM TỐN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi Gọi H hình chiếu A'  ABC  , đường thẳng A ' A, A ' B, A ' C hợp với mặt phẳng  ABCD  góc 600 nên H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do đáy ABCD hình thoi BAD  120 nên ABC tam giác đều, suy điểm H trực tâm, trọng a a  tâm ABC  AH  3 NHĨM TỐN VD – VDC   AH   ABCD  Do    AA   ABCD   A  góc A ' A với mặt phẳng  ABCD  góc AAH  AAH  60 A ' HA vuông H  A ' H  HA.tan 600  a 3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' là: V  S ABCD A ' H  a2 a3 a  b) Tính khoảng cách đường thẳng AD mặt phẳng  D ' MN  Cách 1: Gọi E  A ' M  AB, F  D ' N  DC  EF / / BC / / AD B,C trung điểm đoạn AE, DF Ta có d  AD,  D ' MN    d  A,  A 'E F    d  H ,  A 'E F   Vì AH  B C nên AH  EF hay HF  EF  d  H ,  A 'EF   chiều cao h tam 2a , A' F  A ' H  a, HF  2.HA  Xét A ' HF vuông H  h   2a  a 21 A ' H  HF  a       2 HA '.HF 2a  A' F Vậy d  AD,  D ' MN    d  A,  A' EF    3 2a 3a d  H,  A' EF     2 7 Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho I  O  0;0;0  , B   ;0;0  , C  ; 0;  ,   2  a a  a   a   a  H  0; ;0  , A  0; ;0  , A  0; ; a  2        a a  a a  Do AA  BB  CC   B   ;  ; a  , C   ;  ; a  3   2   a  BC  AD  D  a; ; a     https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC giác A ' HF , NHĨM TỐN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi  3a a a  a a MN   a;0;0   a 1;0;0   ai, MD   ; ; 9; 3;3   m   2 6    Véc tơ pháp tuyến Mặt phẳng  DMN     n  i; m   0; 3;  DMN  có phương trình y  3z  Vì AD song song với MN nên AD song song với  DMN  Ta có d  AD,  DMN    d  A,  DMN    Câu 6: 3a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm I Gọi E , M trung điểm cạnh AB BC ; điểm F D tương ứng hình chiếu vng góc A B đường thẳng BC AI a) Chứng minh ME đường trung trực đoạn thẳng DF 9 8 b) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết M  2; 1 , D  ;   đường thẳng 5 5 AC có phương trình x  y   NHĨM TỐN VD – VDC 3a  Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC a) Ta có BFA  BDA  90 , suy tứ giác ABFD nội tiếp đường tròn tâm E , đường kính AB Mặt khác IEB  IDB  IMB  90 , suy ngũ giác BEIDM nội tiếp đường tròn đường kính BI Từ ta có DEM  DBM  DBF ( chắn cung DM ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Mà góc DBF  DEF ( số đo góc tâm nửa cung bị chắn) Suy DEM  DBM  DBF  Mà DE  FE  Đề thi học sinh giỏi DEF , suy EM tia phân giác góc DEF NHĨM TỐN VD – VDC AB cung nằm đường tròn tâm E , đường kính AB Suy ME đường trung trực cạnh FD b) Ta có ME AC  ME : x  y 1  Do D F đối xứng qua ME ta tìm điểm  13  F   ;   5 Suy phương trình đường thẳng BC : C  BC  AC   5;0   B   1; 2  x2 y 1   x  y   Suy điểm 13   1 5 9  8  Ta có phương trình AD  BD  AD :  x     y     x  y  11  5  5  Vậy A  AD  AC  1;4  Câu 7: chiều cao h  dm   x, h   h h a R - b Khi thể tích hộp: V  x h   h  Suy diện tích tồn phần hộp x Stp  xh  x   x Vật liệu sử dụng làm bao bì Stp đạt giá trị nhỏ x 2 Mà  x    x  3.2  Vậy TH Stp đạt giá trị nhỏ 6dm2 x x x đáy hình vng có cạnh x :  x  x  1 dm  x Nếu hộp sữa có dạng hình trụ đáy đường tròn có bán kính R  dm  , chiều cao h  dm  ,  R, h   Khi ta tích hộp: V   R h   h  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Suy diện tích tồn  R2 Trang NHĨM TỐN VD – VDC (2 điểm) Một nhà sản xuất sữa bột dành cho trẻ em cần thiết kế bao bì cho loại sản phẩm Theo yêu cầu lãnh đạo nhà máy, hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng có dạng hình trụ Biết hộp sữa tích 1dm Hãy giuýp lãnh đạo nhà máy thiết kế hộp sữa cho vật liệu sử dụng làm bao bì Lời giải - Nếu hộp sữa có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vuông: Gọi độ dài cạnh đáy x  dm  , NHĨM TỐN VD – VDC phần hộp Stp  2 Rh  2 R  Đề thi học sinh giỏi 1  2 R    2 R  3 2 Vậy TH R R R Stp đạt giá trị nhỏ 3 2 dm đáy hình tròn có bán kính 1  2 R  R   dm  R 2 - So sánh hai trường hợp lãnh đạo nhà máy nên thiết kế hộp sữa có dạng hình trụ với bán kính đáy R   dm  2 Câu 8: (1 điểm) Năm bạn học sinh Tính, Nghĩa, Tuấn, Phú Thuận chung phòng ký túc xá trường trung học phô thông Một hôm, người quản lý ký túc xá đến phòng năm học sinh để xác định lại hộ nhà học sinh Vì học sinh giỏi tốn nên học sinh khơng trả lời trực tiệp mà nói với người quản lý ký túc xá sau: - Tính: “Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ” - Nghĩa: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn” - Tuấn: “Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt” - Phú: “Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều” - Thuận: “Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt Em giúp người quản lý ký túc xá xác định hộ nhà học sinh Biết câu trả lời học sinh có phân phần sai đồng thời địa phương địa hộ khâu học sinh Lời giải - Tính: “ Nhà bạn Phú Thới Lai nhà em Cờ Đỏ ” 1 R: - Tuấn : “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Phú Thốt Nốt ” - Thuận: “ Nhà em Ninh Kiều nhà bạn Tính Thốt Nốt ”  4  5 Nếu ý đầu  3 nhà Tuấn Cờ Đỏ Do hai ý   sai Vậy ý đầu  3 sai Do ý sau  3 hay nhà bạn Phú Thốt Nốt Do ý đầu 1 sai ý sau  5 sai hay ý sau 1 ý đầu  5 Suy nhà bạn Tính Cờ Đỏ nhà bạn Thuận Ninh Kiều Vì nhà bạn Tính Cờ Đỏ nên ý đầu   sai hay ý sau   Suy nhà bạn Tuấn Ơ Mơn Còn lại nhà bạn Nghĩa Thới Lai Kết luận: nhà bạn Phú Thốt Nốt; nhà bạn Tính Cờ Đỏ nhà bạn Thuận Ninh Kiều; nhà bạn Tuấn Ơ Mơn; nhà bạn Nghĩa Thới Lai https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TỐN VD – VDC - Phú: “ Nhà em Thới Lai nhà bạn Thuận Ninh Kiều” NHĨM TOÁN VD – VDC  2  3 - Nghĩa: “ Nhà em Cờ Đỏ nhà bạn Tuấn Ơ Mơn ”  ... https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi SỞ GD&ĐT CẦN THƠ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu 1: Tìm tất giá trị m để đồ... lớp học trường đại học có 60 sinh viên, có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp 20 sinh viên học tiếng Anh tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp học Tính xác suất để sinh. .. có 10 học sinh khơng học ngoại ngữ https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC Đề thi học sinh giỏi Ta xét phép thử: Chọn học sinh số 60 học sinh lớp học Số khả xảy phép