DE THI DUOC SUU TAM HANG NAM CUA HUYEN GIONG RIENG. NHAM GOP PHAN PHONG PHU HON TRONG NGAN HANG DE CHO GIAO VIEN LUYEN THI HSG. HOC SINH CUNG CÓ THE TAI VÈ THAM KHẢO, TU REN LUYEN .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN GIỒNG RIỀNG = = = 0o0 = = = ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG HUYỆN NĂM HỌC 2010 – 2011 Mơn: TỐN - lớp , thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm) Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với 1, ln số phương 15 x − 11 x − 2 x + + − Bài 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức P = x + x − 1− x x +3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x cho P < c) Tìm giá trị nguyên x cho giá trị tương ứng biểu thức P nguyên Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a/ 2x − + 2x − = b/ x + x − + x − x − = Bài 4: (3,0 điểm) Cho a, b số thực dương a+b ≥ 2a b + b a Chứng minh rằng: ( a + b ) + Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đường cao AD BE Gọi H trực tâm G trọng tâm tam giác ABC AD HD b/ Chứng tỏ rằng: HG // BC ⇔ tgB.tgC = a/ Chứng minh: tgB.tgC = Bài 6: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh : tg HẾT ·ABC AC = AB + BC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN Bài 1: (3,0 điểm) Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n ∈ N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3)(n + 1)(n + 2) + (0,5 đ) 2 = (n + 3n)( n + 3n + 2) + (*) (0,5 đ) Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 (1,0 đ) 2 = (n + 3n + 1) (0,5 đ) Vì n ∈ N nên n + 3n + ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương.(0,5 đ) Bài 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức P = 15 x − 11 x − 2 x + + − x + x − 1− x x +3 a/ Điều kiện xác định là: x ≥ ; x ≠ 15 x − 11 x −2 x +3 P= − − x −1 x +3 x −1 x + ( P= P= P= )( ( ) ( ( x − 1) ( x + 3) 15 x − 11 − x − )( x +3 − x +3 (0,5 đ) )( ) x −1 15 x − 11 − 3x − x + x + − 2x + x − x + ( ( P= ( )( x −1 x +3 ) (0,5 đ) (0,5 đ) −5x + x − ) ( x + 3) .(0,5 đ) x − 1) ( − x ) − x = (0,5 đ) ( x − 1) ( x + 3) x + x −1 b/ để P < ) (0,5 đ) 2−5 x < x +3 ⇔ 2−5 x 1 − 11 x − Vậy x > 1 ⇔ x> 11 121 (0,5 đ) (0,25 đ) x ≠ (0,25 đ) 121 ( 17− )= x+3 17 − (0,5 đ) x+3 x+3 P ∈ ¢ ⇔ x + 3∈ U (17) = { ±1; ± 17} c/ P = x + = 17 ⇔ x = 14 ⇔ x = 196 (0,5 đ) Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a/ 2x − + 2x − = 1 ta có: – 2x + – 2x = ⇔ x = không thuộc khoảng xét 2 Xét ≤ x ≤ ta có: 2x – + – 2x = ⇔ 0x = 2 phương trình nghiệm với x thuộc khoảng xét, tức ≤ x ≤ 2 5 Xét x > ta có: 2x – + 2x – = ⇔ x = không thuộc khoảng xét 2 5 Vậy phương trình có nghiệm S = x / ≤ x ≤ 2 Xét x < b/ x + x − + x − x − = (*) Điều kiện x ≥ (*) ⇔ ⇔ ( ) x− 1+ + x − 1+ + ⇔ x − + 1+ ( ) (0,25 đ) x − 1− = x − 1− = (0,25 đ) (0,25 đ) x − 1− = (0,25 đ) ⇔ 1− x − = 1− x − (**) (0,25 đ) Ta có A ≥ A dấu “=” xảy A ≥ (0,25 đ) (**) 1− x − ≥ ⇔ x − ≤ 1⇔ x ≤ (0,25 đ) Kế hợp với điều kiện ban đầu ta có tập nghiệm 1≤ x ≤ (0,25 đ) Bài 4: (3,0 điểm) Cho a, b số thực dương a+b ≥ 2a b + b a Chứng minh rằng: ( a + b ) + 2 1 1 Ta có : a − ≥ ; b − ≥ , với a , b > 2 2 1 ⇒ a − a + ≥ ; b− b + ≥ 4 1 ⇒a− a + +b− b + ≥0 4 ⇒ a + b + ≥ a + b > (*) Mặt khác ( ) a − b ≥ ⇔ a + b ≥ ab > (**) Nhân vế (*) (**) ta có : ( a + b ) a + b + ≥ ab a + b 2 a+b ≥ 2a b + b a hay: ( a + b ) + ( ) (0,25 đ) (0,25 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) Bài 5: (3,5 điểm) a/ Chứng minh: tgB.tgC = AD HD AD ; BD AD Xét tam giác ADC ta có: tgC = CD AD ⇒ tgB.tgC = BD.CD Chứng minh ∆BDH : ∆ADC BD DH ⇒ = ⇒ BD.CD = DH AD AD DC AD2 AD ⇒ tgB.tgC = = HD.AD DH b/ Chứng tỏ rằng: HG // BC ⇔ tgB.tgC = AM =3 Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có: GM Xét ∆ ADM, có HG // BC AM AD ⇔ HG // DM ⇔ = =3 GM HD Xét tam giác ADB ta có: tgB = (0,25 đ) (0,25 đ) E (0,5 đ) H G (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) (0,25 đ) (0,5 đ) Vậy tgB.tgC = (0,25 đ) Bài 6: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh tg ·ABC AD · = Xét ∆ABD, µA = 900 ⇒ tgABD AB · Vẽ phân giác BD ⇒ BBD = ·ABC AC = AB + BC (0,25 đ) (0,5 đ) Vì BD phân giác, nên: AD DC AD + DC AC = = = AB BC AB + BC AB + BC ·ABC AD AC · Vậy tgABD = tg = = AB AB + BC (0,5 đ) (0,25 đ) A D B A C C B D M