UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Khóa ngày 06/11/2011 ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2 điểm) Có hay khơng số tự nhiên m n thỏa mãn đẳng thức sau: (m − n)( m + n) 1 + (−1) m + n = 2011 Bài 2: (3 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b = c b) Chứng minh rằng: Nếu 1 1 1 + + = a + b + c = abc ta có + + = a b c a b c Bài 3: (5,0 điểm) a) Thực rút gọn biểu thức: A = 94 − 42 − 94 + 42 b) Cho biểu thức M = 2 a + − 8 a + + 48 Hãy rút gọn, tìm giá trị nhỏ M a a Bài 4: (5,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x + x3 ( x − 1) = 2− 3x x −1 b) Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x + y + z + = x − + y − + z − Bài 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC, Gọi M trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB, AC D E Chứng minh: a) BD.CE = BC b) DM, EM tia phân giác góc BDE CED, c) Chu vi tam giác ADE không đổi -HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012) -Bài 1: (2 điểm) Đặt A = (m − n)( m + n) 1 + (−1) m + n * Nếu m = n m – n = vế trái A = ≠ 2011, nên không không xảy (0,25đ) * Nếu m ≠ n : + Khi m n chẵn ta có m – n = 2k ; m + n = 2l ( với k ; l ∈ N) (0,25đ) ⇒ A= 2k.2l.[1 + (-1)2k] = 2kl ≠ 2011 (0,5đ) + Khi m chẵn, n lẻ m + n = 2k + (tương tự m lẻ, n chẵn) (0,25đ) ⇒ [1 + (-1)2k +1] = ⇒ A ≠ 2011 (0,5đ) Vậy khơng có số tự nhiên m n để thỏa mãn đẳng thức (0,25đ) Bài 2: (3 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b = c Từ a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca ⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca ⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = (0,5đ) ⇒ a=b=c (0,5đ) b) Từ giả thiết 1 + + a b2 c 1 ⇒ 2+ 2+ a b c ⇒ 1 1 1 + + = ⇒ + + ÷ = a b c a b c 1 + + + ÷ = (0,5đ) ab bc ac a+b+c + 2 (0,5đ) ÷= abc Mà a + b + c = abc nên: 1 + + + 2.1 = a b2 c 1 ⇒ + + =2 a b c ⇒ (0,5đ) (0,5đ) Bài 3: (5 điểm) a) A = 94 − 42 − 94 + 42 = ( −3 ) − ( 7+3 ) (1,0đ) = 7−3 − 7+3 (0,5đ) = − − − = −6 (0,5đ) 2 b) M = a + − 8 a + + 48 Hãy rút gọn, tìm giá trị nhỏ M a a M= 2 2 2 a + ÷ − − a + ÷ + 48 a a (0,5đ) M= 2 2 a + ÷ − 16 a + ÷ + 64 a a (0,5đ) 2 2 M = a + ÷ − 8 = a + ÷ − a a 4 2 M = a + + −8 = a − 4+ a a (0,5đ) 2 2 = a − ÷ = a − ÷ ≥ a a (0,5đ) a2 − 2) ( Vậy minM = a − ÷ = ⇔ = (0,5đ) a a2 (0,5đ) ⇔ a2 − = ⇔ a = ± 2 Bài 4: (5 điểm) a) Giải phương trình: x + x3 ( x − 1) = 2− 3x x −1 x x2 x2 x2 ⇔x+ x − + = − ÷ ÷ x − x − ( x − 1) ÷ x −1 Mà x + 2 x2 ( x − 1) Đặt t = x + (0,5đ) x x =x+ ữ 2x ì x x −1 (0,5đ) x x2 − x + x x2 = = x −1 x −1 x −1 (0,5đ) Ta được: t(t2 – 2t – t) = – 3t ⇔ t3 – 3t2 + 3t – = ⇔ (t – 1)3 = ⇔ t – = ⇔ t = (0,5đ) Do x = ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) + = ⇔ x ∈ ∅ x −1 Vậy phương trình vơ nghiệm (0,5đ) b) Tìm giá trị x, y, z thỏa mãn: x + y + z + = x − + y − + z − điều kiện: x ≥ 2; y ≥ 3; z ≥ (0,5đ) ⇔ ( x − 2) − x − + 1 + ( y − 3) − y − + + ( z − 5) − z − + = (0,5đ) ⇔ ( ) ( x − −1 + ) ( y −3 −2 + ) z − − = (0,5đ) x − −1 = ⇔ y − − = (0,5đ) z − − = x=3 ⇔ y = (0,5đ) z = 14 Bài 5: ( điểm) ¶ = 120 − M ¶ a/ Trong ∆BDM ta có D 1 A ¶ = 600 ⇒ M ¶ = 1200 − M ¶ Vì M X ¶ =M ¶ (0,5đ) ⇒D Chứng minh ∆BMD Y E ∆CEM (1) (0,5đ) BD CM = ⇔ BD.CE = BM CM BM CE BC BC Vì BM = CM = Nên BD.CE = (0,5đ) D ⇒ B C M BD MD = Mà BM = CM CM EM BD MD =M ả = 600 = Nên ta có: ⇒ B BM CM ⇒ ∆BMD ∆MED (c-g-c) (0,5đ) (0,5đ) ¶ =D ¶ , DM tia phân giác · ⇒D BDE b) Từ (1) ⇒ Chứng minh tương t: CME MDE (c-g-c) (0,5) (0,5) =E ả , EM tia phân giác CED · ⇒E c) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh: DH = DI ; EI = EK (0,5đ) Chu vi ∆ADE AD + AE + DE = AD + AE + DI + IE = AD + DH + AE + EK = AH + AK = 2AH ( Do M thuộc tia phân giác góc A) (0,5đ) Mà M cố định nên AH không đổi Vậy Chu vi ∆ADE không đổi (0,5đ) Trên gợi ý đáp án biểu điểm, Học sinh giải theo cách khác Tùy vào làm cụ thể học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng A E I D H K C B M ... c = abc nên: 1 + + + 2.1 = a b2 c 1 ⇒ + + =2 a b c ⇒ (0,5đ) (0,5đ) Bài 3: (5 điểm) a) A = 94 − 42 − 94 + 42 = ( −3 ) − ( 7+3 ) (1,0đ) = 7−3 − 7+3 (0,5đ) = − − − = −6 (0,5đ) 2 b) M = a +