Phương trình lượng giác có lời giải chi tiết

Phương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiếtPhương trình lượng giác có lời giải chi tiết

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP Phƣơng trình sinx = sin  x    k 2 (k  Z ) a) sin x  sin     x      k 2 b) c) d) e) sin x  a Điều kiện :   a   x  arcsin a  k 2 sin x  a   (k  Z )  x    arcsin a  k 2 sin u   sin v  sin u  sin(v)   sin u  cos v  sin u  sin   v  2    sin u   cos v  sin u  sin  v    2 Các trƣờng hợp đặc biệt: sin x   x  k (k  Z ) sin x   x  sin x    x      k 2 (k  Z )  k 2 (k  Z ) sin x    sin2 x   cos2 x   cos x   x    k (k  Z ) Phƣơng trình cosx = cos a) cos x  cos  x     k 2 (k  Z ) cos x  a Điều kiện :   a  b) cos x  a  x   arccos a  k 2 (k  Z ) c) cos u   cos v  cos u  cos(  v)   d) cos u  sin v  cos u  cos   v  2    e) cos u   sin v  cos u  cos   v  2  Các trƣờng hợp đặc biệt: cos x   x    k (k  Z ) cos x   x  k 2 (k  Z ) cos x    x    k 2 (k  Z ) cos x    cos2 x   sin2 x   sin x   x  k (k  Z ) Phƣơng trình tanx = tan a) tan x  tan   x    k (k  Z ) File Word liên hệ: 0937351107 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A b) c) Lượng giác – ĐS GT 11 tan x  a  x  arctan a  k (k  Z ) tan u   tan v  tan u  tan(v)   tan u  cot v  tan u  tan   v  2    e) tan u   cot v  tan u  tan   v  2  Các trƣờng hợp đặc biệt: tan x   x  k (k  Z )  tan x    x    k (k  Z ) d) Phƣơng trình cotx = cot cot x  cot   x    k (k  Z ) cot x  a  x  arccot a  k (k  Z ) Các trƣờng hợp đặc biệt: cot x   x  cot x    x     k (k  Z )   k (k  Z ) Phƣơng trình bậc hàm số lƣợng giác Có dạng at  b  với a, b  , a  với t hàm số lượng giác b Cách giải: at  b   t   đưa phương trình lượng giác a Một số điều cần ý: a) Khi giải phương trình có chứa hàm số tang, cotang, có mẫu số chứa bậc chẵn, thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định  *  k (k  Z ) Phương trình chứa cotx điều kiện: x  k (k  Z ) * Phương trình chứa tanx cotx điều kiện x  k * Phương trình chứa tanx điều kiện: x   (k  Z ) * Phương trình có mẫu số:  sin x   x  k (k  Z )   cos x   x   tan x   x  k  (k  Z )  (k  Z ) b) Khi tìm nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng cách sau để kiểm tra điều kiện: Kiểm tra trực tiếp cách thay giá trị x vào biểu thức điều kiện Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm Giải phương trình vơ định c) Sử dụng MTCT để thử lại đáp án trắc nghiệm  cot x   x  k  k (k Z ) File Word liên hệ: 0937351107 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 - HỌC SINH KHÔNG LỆ THUỘC VÀO VIỆC SỬ DỤNG MTCT ĐỂ THỬ LẠI CÁC ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM - HỌC SINH CẦN NẮM ĐƢỢC MẤU CHỐT CỦA VIỆC GIẢI TỰ LUẬN - CÁC CÂU HỎI HẠN CHẾ MTCT CHẲNG HẠN: + SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG + SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN TRÊN ĐƢỜNG TRÒN LƢỢNG GIÁC + TỔNG CỦA CÁC NGHIỆM TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG + TỔNG, HIỆU, TÍCH…CỦA CÁ NGHIỆM DƢƠNG HOẶC ÂM NHỎ NHẤT (LỚN NHẤT)… PHẦN I: B– BÀI TẬP Câu 1: Chọn khẳng định khẳng định sau  x  y  k A sin x  sin y   k    x    y  k  x  y  k 2 B sin x  sin y   k    x    y  k 2  x  y  k 2 k   C sin x  sin y    x   y  k 2  x  y  k k   D sin x  sin y    x   y  k Câu 2: Phương trình s inx  sin  có nghiệm  x    k 2 ;k  A   x      k 2  x    k ;k  C   x    k Câu 3: Chọn đáp án câu sau: A sin x   x    k 2 , k   x    k ;k  B   x      k  x    k 2 ;k  D   x    k 2 B sin x   x    k 2 , k  C sin x   x  k 2 , k  D sin x   x  Câu 4: Nghiệm phương trình sin x  1 là: A x     k B x     k 2 Câu 5: Phương trình sin x  có nghiệm là: File Word liên hệ: 0937351107 Trang C x  k   k , k  D x  3  k ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A x    k 2 B x  k Lượng giác – ĐS GT 11 C x  k 2 D x    k Câu 6: Nghiệm đặc biệt sau sai A sin x  1  x     k 2 B sin x   x  k C sin x   x  k 2 D sin x   x   2x      (với k  Câu 7: Phương trình sin   3 ) có nghiệm A x  k C x    k   k 2 2 k 3   k 3 D x   2 B x  Câu 8: Nghiệm phương trình sin x  A x    k 2 B x  là:   k C x  k D x    k 2   có nghiệm thỏa mãn   x  : 2 5     k 2 A x  B x  C x   k 2 D x  6 3 Câu 10: Nghiệm phương trình sin x  là:      x   k 2  x   k A  B  k   k     x  x   k 2  k   4      x   k  x   k 2 C  D  k   k    x  3  k  x  3  k 2   8 Câu 11: Nghiệm phương trình sin  x  10  1 Câu 9: Phương trình sin x  A x  100  k 360 C x  100  k 360 B x  80  k180 D x  100  k180  x   Câu 12: Phương trình sin     có tập nghiệm   11   x   k10 A  B (k  ) 29  x    k10  File Word liên hệ: 0937351107 Trang 11   x    k10 (k  )  29  x   k10  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 11   x   k10 D  (k  )  x  29  k10  11   x    k10 C  (k  )  x   29  k10  Câu 13: Số nghiệm phương trình sin x  khoảng  0;3  C B   sin  x    2  Câu 14: Nghiệm phương trình A   k 2   k 2 Câu 15: Phương trình:  sin x  có nghiệm là: A x  A x     k 2 B x   B x     k D C x  k C x    D x  k 2  k 2 D x     k   Câu 16: Số nghiệm phương trình: sin  x    với   x  5 4  A B C D   Câu 17: Nghiệm phương trình 2sin  x   –1  là: 3    7   k A x   k ; x  B x  k 2 ; x   k 2 24 2 D x    k 2 ; x  k C x  k ; x    k 2   2sin x  có nghiệm là:    2  k 2 A x   k 2  x    k 2 B x    k 2  x  3 3  2  4  k 2  k 2 C x   k 2  x  D x    k 2  x  3 3 Câu 19: Nghiệm phương trình sin x  sin x là:    A x   k B x  k ; x   k C x  k 2 D  x   k ; k  k 2 Câu 20: Phương trình sin x   có nghiệm thõa  x   A B C D   Câu 21: Số nghiệm phương trình sin  x    với   x  3 : 4  A B C D   Câu 22: Nghiệm phương trình 2sin  x     là: 3    7  k A x  k ; x    k 2 B x   k ; x  24 Câu 18: Phương trình File Word liên hệ: 0937351107 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11    k 2 D x    k 2 ; x  k 2  x   Câu 23: Họ nghiệm phương trình sin       11 11    k10  k10 x   x  C x  k 2 ; x  A   x  29  k10  11   x    k10 C   x   29  k10  6 B   x  29  k10  11   x   k10 D   x  29  k10  k   k     k   k     Câu 24: Phương trình 2sin x  40  có số nghiệm thuộc 180 ;180 là: A C B D     Câu 25: Tìm sơ nghiệm ngun dương phương trình sau sin  x  x  16 x  80   4  A B C D Câu 26: Nghiệm phương trình sin x  là: A x  k 2 B x    k C x    k 2 D x  Câu 27: Với giá trị m phương trình sin x  m có nghiệm: A m  B m  1 C 1  m  Câu 28: Phương trình 2sin x  m  vô nghiệm m A 2  m  B m  1 C m  m2 Câu 29: Nghiệm phương trình cos x  là: A x  k B x    k 2   k  C cos x  1  x    k 2 Câu 31: Phương trình: cos x  có nghiệm là:  A x   k 2 B x  k Câu 32: Nghiệm phương trình cos x  1 là:  A x    k B x    k 2 A cos x   x  Câu 33: Nghiệm phương trình cos x  File Word liên hệ: 0937351107 là: Trang D m  1 D m  2 C x  k 2 Câu 30: Giá trị đặc biệt sau B cos x   x  D cos x   x    k 2 D x     k  k   k 2 C x  k 2 D x    k C x    k 2 D x  3  k ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11      x   k 2  x   k 2 A  B  k    x  5  k 2  x     k 2   6      x   k 2  x   k 2 C  D  k    x  2  k 2  x     k 2   3 Câu 34: Nghiệm phương trình cos x   là:    k 2 ; x   k 2 3 2 2  k 2 ; x    k 2 C x  3   A x   B x   k    k 2 ; x  C x  k   k 2 C x  k Câu 37: Phương trình lượng giác: cos x   có nghiệm  3 5     x   k 2  x   k 2  x   k 2 A  B  C       x  x  x   k 2  k 2  k 2    4 A x  B x   Câu 38: Nghiệm phương trình: cos x   k 2 D x  k 2    x   k 2 D    x   k 2     x   k B   x     k    x   k 2  D   x     k 2  Câu 39: Nghiệm phương trình cos x    D x  k 2    x   k 2 A   x     k 2    x   k  C   x     k  A x   2  k 2   D x   k ; x    k 3 Câu 35: Phương trình cos  x    có nghiệm 2   k A x   B x    k 2   Câu 36: Nghiệm phương trình cos  x    là: 2    k 2  k   B x     k 2 Câu 40: Nghiệm phương trình cos x  File Word liên hệ: 0937351107 là:  là: Trang C x   2  k 2 D x     k ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A x  5  k B x    Câu 41: Số nghiệm phương trình: A B  k 2 C x  Lượng giác – ĐS GT 11   k 2 D x     cos  x    với  x  2 3  C 2  k 2 D Câu 42: Phương trình 2cos x   có họ nghiệm A x   C x      k  k   k 2  k   B x    D x      k 2  k   k  k    Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2cos x   có nghiệm   k 2    k 2 C x    k 12 12 x Câu 44: Giải phương trình lượng giác: cos   có nghiệm 5 5 5  k 4  k 4  k 2 A x   B x   C x   6 Câu 45: Giải phương trình cos x  cos A x   A x   B x    k 2 ; k  C x   arccos  B x   arccos  k 2 ; k  D x    D x   D x   x  cos (với k  ) A x    k ` B x   k 6 C x    k 4 D x  3  k 6 Câu 47: Nghiệm phương trình cos x  cos x là: Câu 46: Nghiệm phương trình cos   k 2  D x  k ; x   k 2 A x  k 2 C x  k B x  k 2 ; x   Câu 48: Phương trình 2 cos x   có nghiệm là: 5   k 2  k   A x   B x    k 2  k  6 5   k 2  k   C x   D x    k 2  k  3 Câu 49: Phương trình cos x  cos   x   k 2  A  k   x     k 2  File Word liên hệ: 0937351107    có nghiệm   x   k 2  20 B  k   x     k 2  20  Trang 5  k 2 3  k 2 ; k   k 2 ; k     k 2 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A     x  k C  k  x     k   5 Lượng giác – ĐS GT 11     x  20  k D  k  x     k   20    x Câu 50: Giải phương trình lượng giác cos     có nghiệm là: 2 5 5   x   k  x   k 2   A  B  k   k    x   5  k 2  x   5  k 2   5 5    x   k 4  x   k 4 C  D  k   k    x   5  k 4  x   5  k 4     Câu 51: Số nghiệm phương trình cos  x    với  x  2 3  A B C D x  Câu 52: Số nghiệm phương trình cos     thuộc khoảng  ,8  2 4 A B C D     ;     2cos x    Câu 53: Nghiệm phương trình khoảng  2    3    7   7      7  A  ; B   C   D  ;    12 12   12  12  12 12  Câu 54: Phương trình 2cos2 x  có nghiệm A x  k  B x     k C x  k  D vơ nghiệm  Câu 55: Tìm tổng nghiệm phương trình: cos( x  )  (; ) 2 4 7  A B C D 3 3 Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: cos (3   2x  x2 )  1 A B C D Câu 57: Giải phương trình cos x     2  k ; k  A x    k 2 , x    k ; k  B x    k , x   6 C x     k , x     k ; k  D x   Câu 58: Phương trình cos x  m  vơ nghiệm m là: File Word liên hệ: 0937351107 Trang   k , x     k ; k  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  m  1 A  B m  m  Câu 59: Cho phương trình: √ Lượng giác – ĐS GT 11 C 1  m  D m  1 Với giá trị m phương trình có nghiệm: A m   B m   C   m   D   m  Câu 60: Phương trình m cos x   có nghiệm m thỏa điều kiện  m  1 A  B m  C m  1 m  Câu 61: Phương trình cos x  m  có nghiệm m A 1  m  B m  C m  2 m  D   m  1 D  2  m    k nghiệm phương trình sau đây: A sin x  B sin x  C cos x  D cos x  1 Câu 63: Cho phương trình: cos x  m   Với giá trị m phương trình có nghiệm A m   B m   Câu 62: Cho x  C   m   D   m    Câu 64: Cho phương trình cos  x    m  Tìm m để phương trình có nghiệm? 3  A Khơng tồn m B m1;3 C m3; 1 D giá trị m x  Câu 65: Để phương trình cos     m có nghiệm, ta chọn 2 4 A m  B  m  C 1  m  2  k 2 họ nghiệm phương trình sau ? Câu 66: Cho biết x   A cos x   B cos x   C 2sin x   Câu 67: Cho biết x        k ; x   k  C x  k ; x   k Câu 69: Nghiệm phương trình cos x  sin x  là: A x     ; x 18 C 2sin x   D 2sin x     k 2  D x  k ; x  k B x  k 2 ; x  A x    k D 2sin x    k 2 họ nghiệm phương trình sau ? A 2cos x   B cos x   Câu 68: Nghiệm phương trình sin x  cos x là: A x   D m    k   k Câu 70: Nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin x  cos x  theo thứ tự là: B x  File Word liên hệ: 0937351107 C x  k B x   Trang 10  2 ; x 18 D x  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 105: Nghiệm phương trình tan x.cot x  A k , k  C k B  ,k   k Lượng giác – ĐS GT 11  ,k  D Vô nghiệm Hướng dẫn giải: Chọn D     x   k cos x  Điều kiện:   ,k  sin x   x  k  Phương trình tan x.cot x   tan x  cot x k điều kiện x  Câu 106: Phương trình sau vô nghiệm A tan x   tan x  tan x  x  x  k B cot x  C cos x  x k loại D sin x  Hướng dẫn giải: Chọn D Áp dụng điều kiện nghiệm phương trình lượng giác bản, dễ thấy phương trình sin x  nghiệm      Câu 107: Phương trình: tan   x   tan  x    có nghiệm là: 2 2     k 2  k    C x   k  k  A x    k  k    D x    k  k   B x    Hướng dẫn giải: Chọn B  tan x     1 Ta có : tan   x   tan  x     cot x  cot x   cot x  2 tan x 2    cot x  (cot x  tan x)   tan x   x  File Word liên hệ: 0937351107   k  k  Trang 46  vô ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC   Câu 1: Phương trình  sin x  1 sin x   có nghiệm là: A x   C x    k 2  k   B x     k 2 D x      k 2 , x     k  k    k 2 Hướng dẫn giải: Chọn A sin x  1   x    k 2  k  0  sin x   L  Câu 2: Phương trình s in2x 2sin x   có nghiệm  sin x  1  sin x      x  k   A  x   k 2    x  3  k 2  Hướng dẫn giải: Chọn A     x  k   B  x   k    x  3  k    x  k   D  x   k 2    x     k 2    x  k   C  x   k 2   3 x   k 2  k  x   s in2x    s in2x 2sin x       x   k 2 x   k  ,  k    2sin x     x  3  k 2  Câu 3: Nghiệm phƣơng trình 2.sin x.cos x  là:  A x  k 2  B x    k C x  k   D x  k Hướng dẫn giải: Chọn B    k 2  x   k  k   Câu 4: Giải phương trình 4sin x cos x cos x     A x    k 2 ; k  B x    k ; k  8     C x    k ; k  D x    k ; k  8 Ta có 2.sin x.cos x   sin x   x  Hướng dẫn giải: Chọn D 4sin x cos x cos x    2sin2xcos2x  1  sin4x  1  x   Câu 5: Giải phương trình cos x(2 cos x  3)  File Word liên hệ: 0937351107 Trang 47  k  ;k  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 5  k 2 ; k   2  k 2 ; k  D x   k , x    5  k , x    k ; k   5  k 2 ; k  C x   k , x   A x  B x    k , x  Hướng dẫn giải: Chọn C    x   k cos x   5   Ta có cos x cos x       x   k 2 ; k  cos x      x   5  k 2    Câu 6: Nghiệm phương trình sin x  cos4 x  A x     k B x    k C x  Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1: sin x  cos x   cos x  sin x   cos x   x  3  k 2   k  x  D x    k    k 2 , k   Cách 2:    sin x  sin sin x     sin x  cos4 x   sin x  cos2 x   sin x     sin x  sin       sin x     4     x   k 2   x  3  k 2     x   k  k     x     k 2   5  k 2 x   Câu 7: Phương trình tương đương với phương trình sin x  cos2 x 1  A cos x  B cos x  1 C 2cos2 x 1  (sin x  cos x)  Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có sin x  cos2 x 1    cos 2x 1   cos x  1 D Phương trình  4cos2 x  tương đương với phương trình sau đây? 1 1 A cos x  B cos x   C sin x  D sin x   2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 8: File Word liên hệ: 0937351107 Trang 48 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11   cos x  Ta có  4cos x         2cos x   cos x  2     Câu 9: Nghiệm phương trình sin x cos x   :  x  k A  k   x     k 2   x  k 2 C  k   x     k 2  Hướng dẫn giải: Chọn A   x  k B  k   x     k   D x   sin x   x  k   sin x cos x    k  cos x   x     k 2   Câu 10: Phương trình (sin x  1)(2 cos x  2)  có nghiệm   A x      k 2 , k  B x    k , k  Hướng dẫn giải: Chọn D C x    k 2  k       k , k  D Cả A, B, C     sin x  1 x    k 2 x    k    2  (sin x  1)(2cos x  2)     (k  ) cos x      x    k x    k 2    Câu 11: Nghiệm phương trình sin x.cos x.cos x  là: A x  k B x  k  C x  k  D x  k  Hướng dẫn giải: Chọn D 1 sin x.cos x.cos x   sin x.cos x   sin x   sin x   x  k   x  k k   Câu 12: Cho phương trình cos x.cos x  cos 3x.cos x 1 Phương trình sau tương đương với phương trình 1 A sin x  B cos x  C sin x  Hướng dẫn giải: Chọn C 1 cos x.cos x  cos x.cos x   cos x  cos8 x    cos x  cos8 x  2 File Word liên hệ: 0937351107 Trang 49 D cos x  ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 sin x   cos x  cos x   2sin 4x.sin x    sin x   sin 4x  ( Do sin 4x  2sin 2x cos 2x ) sin x  thuộc đoạn [2 ;4 ] Câu 13: Số nghiệm phương trình cos x  A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B Điều kiện: cos x    x    k 2 Trên 2 ,4  , điều kiện x  3 sin x    sin x   x  k  x  k ; k  Ta có cos x   Vì x  2 , 4  nên 2  k  4   k  12; k   k  7;8;9;10;11 7 8 10 11 x  2 , , , 3 , , , 4 3 3 7 8 10 11 , , , , 4 So với điều kiện, ta x  2 , 3 3 sin x   Câu 14: Tất nghiệm phương trình 2.cos x    x   k 2 , k   3  k 2 , k  A x   B   x  3  k 2 , k     C x   k , k  D x   k 2 , k  4 Hướng dẫn giải: Chọn A   x    k 2 Điều kiện cos x  sin x      sin x   x   k 2  x   k Ta có 2.cos x  3  k 2 , k  Kết hợp điều kiện, suy x       Câu 15: Giải phương trình sin x  cos6 x  sin x  cos x   4cos 2 x k  k , k B x    , k 24  k  k C x    , k D x    , k 12 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: sin x  cos6 x  sin x  cos x   4cos 2 x A x        File Word liên hệ: 0937351107  Trang 50 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11  1  3sin x cos2 x   1  2sin x cos2 x    4cos2 x   4sin 2 x   4cos2 x  cos x  Câu 16: ìm số nghiệm x  0;14  nghiệm phương trình : cos 3x  cos x  cos x   A B C Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình  cos x  cos x  4(2 cos x  1)  cos x     cos3 x  cos2 x   cos x   x   k  3 5 7 Vì x  0;14   x  , x  ,x  ,x  2 2 Câu 17: Giải phương trình sin x.cos x 1  tan x 1  cot x   B x  k 2 , k  A Vô nghiệm C x  k D , k D x  k , k  Hướng dẫn giải: Chọn A sin x    sin x   x  k Điều kiện:  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x  pt  sin x.cos x    1 cos x sin x      sin x  cos x    sin x  (loại) Phương trình vơ nghiệm   69  Câu 18: Số nghiệm thuộc  ;  phương trình 2sin 3x  4sin x  là: 14 10   A 40 B 32 C 41 D 46 Hướng dẫn giải: Chọn C 2sin 3x  4sin x   2sin 3x 4cos x           TH1: cos x   sin x  PT có dạng: 2sin x  cos x  3    3sin x  4sin x.1 4.0     s inx   TH2: cos x  PT có dạng: Vơ lý sin x   2  x   k  14 2sin 3x  4cos x  3   2sin x.cos3 x  cos x  sin x  cos x    x    k 2  104 2 69 2863      k    k   24   69  14 12 10 120  Vì x   ;    14 10     h 2  69    h  17  14 10 14 10 File Word liên hệ: 0937351107 Trang 51 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Có 24 giá trị k có 17 giá trị h  k  x  12  2   Câu 19: Phương trình tan x  tan  x    tan  x  3   Lượng giác – ĐS GT 11    3 tương đương với phương trình:  C tan x  D tan 3x  A cot x  B cot 3x  Hướng dẫn giải: Chọn C Trước hết, ta lưu ý công thức nhân ba: sin3a  3sin a  4sin3 a ; cos3a  4cos3 a  3cos a ; 3tan a  tan3 a tan 3a   3tan a  2 tan x  tan tan x  tan   3  tan x  tan x   tan x   3 PT  tan x   2  tan x  tan x  tan x tan  tan x tan 3       tan x 1  3tan x   tan x   tan x  tan x   tan x  3  3tan x tan x  3tan x  tan x  tan x   3tan x  tan x  tan x   3tan x  3  3tan x tan x  3tan x 3tan x  tan x   3    tan 3x   3tan x  3tan x Câu 20: Giải phương trình : sin x  cos4 x  A x   C x   k  , k   k , k   D x  k , k  B x     k 2 , k  Hướng dẫn giải: Chọn D sin x  cos x    sin x  cos x   2sin x cos x    sin 2 x     1  cos x    cos x   x  k 2  x  k sin x cos x cos x  Câu 21: Giải phương trình    A k B k C k D k Hướng dẫn giải: Chọn C k Ta có : sin x cos x cos x   sin x cos x   sin x   x  k   Câu 22: Nghiệm phương trình cos x cos5 x  cos x (với k  )  k k  k A x   k B x  C x  D x   8 Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0937351107 Trang 52 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Chọn D Lượng giác – ĐS GT 11 1  k cos x   cos x  cos x   cos x  cos x   x   k   2 Câu 23: Phương trình sin x  cos6 x  có nghiệm là: 16         A x    k B x    k C x    k D x    k Hướng dẫn giải: Chọn D 7 sin x  cos6 x    sin 2 x  16 16 1    sin 2 x   cos x   x    k ,k  x x 4 Câu 24: Phương trình sin x  cos  sin có nghiệm là; 2  2          x   k x   k  x   k x   k     3 12 A  B  C  D       x   k 2  x   k 2 x   x   k  k     2 Hướng dẫn giải: Chọn A x x Phương trình  sin x  cos4  sin  sin x  cos x 2  2    x   k  x  x  k   2    cos   x   cos x    , k        x   k 2   x   x  k 2     3 Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng  0;  phương trình sin x.cos x  cos x.sin x  là:  2  5  5  5  5 , , A , B , C D 6 8 12 12 24 24 Hướng dẫn giải: Chọn D 3 Phương trình  sin x.cos x  cos x.sin x   sin x  cos3 x  3cos x   cos3 x  3sin x  4sin x    3sin x.cos3 x  3cos x.sin x   sin x.cos3 x  cos x.sin x  8  k  x   24  8sin x cos x  cos x  sin x    4sin x.cos x   sin x    , k    k  x    24  5     , Do x   0;  nên nghiệm thuộc khoảng  0;  phương trình 24 24  2  2 Ta có : cos x cos5 x  File Word liên hệ: 0937351107 Trang 53 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng  0;2  phương trình: sin A  5 9 ; ; 6 Hướng dẫn giải: Chọn B ; B  2 4 5 ; ; ; 3 3 C x x  cos  là: 2   3 ; ; 2 D  3 5 7 ; ; ; 8 8   x   k  5 x x sin  cos    sin x   4sin x   cos x     , k    2 8  x    k   2 4 5 Do x   0;2  nên nghiệm thuộc khoảng  0;2  phương trình ; ; ; 3 3   Câu 27: Phương trình 2sin  3x     8sin x.cos2 x có nghiệm là: 4           x   k  x  18  k  x  12  k  x  24  k A  B  C  D   x  5  k  x  5  k  x  5  k  x  5  k     12 24 18 Hướng dẫn giải: Chọn B Điều kiện  8sin x.cos2 x      2sin  3x     8sin x.cos2 x  4sin  3x     8sin x.cos2 x 4 4        1  cos  x      8sin x.cos 2 x  8sin x.cos 2 x  2sin x       8sin x 1  sin 2 x    3sin x  4sin x     2sin x     x   k  12  sin x    , k  x  5  k  12    x  12  k Thử lại điều kiện,  , k  thoả  x  5  k  12 sin x cos x   Câu 28: Phương trình có nghiệm là: cos x sin x sin x A x   k  Hướng dẫn giải: Chọn B B x  File Word liên hệ: 0937351107  k  Trang 54 C x   k  D x    k ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 k  cos x  k x    2 x   Điều kiện sin x     sin 3x  3x  k  x  k   sin 3x.sin x  cos x.cos x   sin x.cos x sin x cosx    sin x cos x  sin x   sin x  s in4x   sin x sin x sin x  x  k  x  x  k 2  sin x  sin x     k x   x    x  k    So sánh với điều kiện, ta nhận x   k  3 3 Câu 29: Phương trình sin x  cos x  sin x.cot x  cos x tan x  2sin x có nghiệm là:    3  k 2 A x   k B x   k C x   k 2 D x  4 Hướng dẫn giải: Chọn B Điều kiện: sin x  (do có điều kiện tan x, cot x ) sin x  cos3 x  sin x.cot x  cos3 x tan x  2sin x  sin3 x  cos3 x  sin x cos x  cos2 x.sin x  2sin x  sin x  cos x 1  sin x cos x   sin x cos x sin x  cos x   2sin x  sin x  cos x  2sin x     k  x   k ,  k   So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x   k ,  k    sin x  cos x   2sin x Câu 30: Phương trình A x    k   sin x  2x   sin x  cos4 x   tan x  cot x  có nghiệm là: sin x B x  Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiện sin x   x  k   k 2 C x   k  D Vô nghiệm  sin x  cos4 x   tan x  cot x  sin x sin  x  cos2 x   2sin x cos2 x 2sin x cos x  2sin x cos x   sin x cos x    sin x cos x   sin x   x  k  , k   So sánh điều kiện ta có phương trình vơ nghiệm Câu 31: Cho phương trình cos x.cos x  sin x.cos x  sin x sin x  sin x cos x họ số thực: File Word liên hệ: 0937351107 Trang 55 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11    k , k  II x    k 2 , k   2  4 III x    k , k  IV x   k , k 14 7 I x  Chọn trả lời đúng: Nghiệm phương trình A I, II B I, III Hướng dẫn giải: Chọn C cos x.cos x  sin x.cos x  sin x sin x  sin x cos x C II, III D II, IV  cos 2x.cos x  sin 2x sin x  sin x.cos3x  sin3x cos x      cos3x  sin x   sin x   cos3x  sin x  sin  3x   2      x    k 2 x  3x   k 2     2 , k  sin x  sin  3x      2   x  3  k 2  x    3x    k 2   14   k 2 nên  I  3 k 2  2 l  Từ x  , so sánh với nghiệm x    sau: 14 14  2 l + Ta thấy x    họ nghiệm biểu diễn đường tròn lượng giác điểm 14 3 k 2  2 l     k  l  1 Điều có nghĩa, ứng với số ngun k ln có + Cho 14 14 Từ x   số nguyên l Do họ nghiệm x  3 k 2  2 l  x    14 14 Chú ý:     x    k  3x   x  k      2 cos 3x   sin x  cos 3x  cos   x          x    k 2 3x    x  k 2   14 2 0 Câu 32: Cho phương trình cos x  30  sin x  30  sin x  60 tập hợp số thực:      I x  30  k120 , k  II x  60  k120 , k  III x  300  k 3600 , k  IV x  600  k 3600 , k  Chọn trả lời nghiệm phương trình A Chỉ I B Chỉ II C I, III Hướng dẫn giải: Chọn C cos2 x  300  sin x  300  sin x  600        cos  x  600   sin  x  600   cos  x  600   cos  300  x  File Word liên hệ: 0937351107  Trang 56 D I, IV ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  x  300  k1200  k  0  x  30  k 360 Lượng giác – ĐS GT 11   x x  Câu 33: Phương trình sin x  sin  x    4sin cos cos x có nghiệm 2 2  3 3   k , k  k , k A x  B x  3 3   k , k  k , k C x  D x  12 16 Hướng dẫn giải: Chọn B  x x  sin x  sin  x    4sin cos cos x  sin x  cos4 x  2sin x cos x 2 2  2  sin x  cos x  sin 2x  sin x  cos x       sin  x     x    k  k   4  6 Câu 34: Phương trình sin x  cos x  có nghiệm là: 16   k , k   C x    k , k    k , k   D x    k , k  A x   B x   Hướng dẫn giải: Chọn D 7   cos x   cos x   Phương trình   sin x  16 8 16 2    4x    k 2  x    k ,  k   Câu 35: Giải phương trình sin x.cos x(1  tan x)(1  cot x)  k A Vô nghiệm B x  k 2 , k  C x  , k Hướng dẫn giải: Chọn A sin x  k  sin x   x  Điều kiện:  , k cos x  Phương trình đề  cos x(1  tan x).sin x(1  cot x)   (cos x  sin x)(sin x  cos x)   sin x  (vô nghiệm) D x  k , k  Câu 36: Trong nửa khoảng 0;2  , phương trình sin x  sin x  có số nghiệm là: A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A k 2  x  x   x  k 2   Phương trình đề  sin 2x  sin   x    , k   x    x  k 2  x    k 2 File Word liên hệ: 0937351107 Trang 57 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 k 2 k 2  2   k   k  0;1; (vì k  ) Vì x 0;2    3 1 + Với x    k 2 Vì x 0;2      k 2  2    k   k  (vì k  ) 2 2 4 Vậy nửa khoảng 0;2  , phương trình có nghiệm là: x  ; x  ; x ; x  3 sin x  cos6 x  m có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện: Câu 37: Để phương trình     tan  x   tan  x   4  4  1 A 1  m   B 2  m  1 C  m  D  m  4 Hướng dẫn giải: Chọn A    sin  x            k x  cos  x     k     ĐK:   x  sin  x      x    k       4  cos  x        4 + Với x  sin x  cos x  sin x  sin x cos x  cos x   sin x  cos6 x m m tan x  tan x      tan  x   tan  x    tan x  tan x 4  4  sin  x  cos x   3sin x cos x 4m   m   sin 2 x  m  sin 2 x  1 Phương trình có nghiệm     k  k  x    sin            m  sin 2 x  0  m   có nghiệm       4m   4m    1     0  m    m    3  4m      1  m   4  4m  1 1  m         Câu 38: Để phương trình: 4sin  x   cos  x    a  sin x  cos x có nghiệm, tham số a 3 6   phải thỏa điều kiện: 1 A 1  a  B 2  a  C   a  D 3  a  2 Hướng dẫn giải: Chọn B File Word liên hệ: 0937351107 Trang 58 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11     Phương trình  4sin  x   cos  x    a  sin x  cos x 3 6            sin    sin  x     a   sin x  cos x     2            1  sin  x     a   cos sin x  sin cos x   6           2sin  x    a  2sin  x   6 6         sin  x    sin  x    a   2cos x.sin  a   cos x  a  6 6   2 Vì 1  cos x  nên 1  a     a    a   2  a  2 CÁCH KHÁC: Chọn a  3   3;3 đáp án D     Ta thấy phương trình 4sin  x   cos  x     sin x  cos x khơng có nghiệm qua chức 3 6   giải nhanh SOLVE máy tính cầm tay Chọn a  2   2;2 đáp án B     Ta thấy phương trình 4sin  x   cos  x     sin x  cos x có nghiệm qua chức giải 3 6   nhanh SOLVE máy tính cầm tay Vậy đáp án B Câu 39: Để phương trình a2 sin x  a  có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:   tan x cos x a     a 3 a  B  C  D  a  a  a         a 1 A  a    Hướng dẫn giải: Chọn A cos x  a cos2 x sin x  a   Điều kiện:  tan x  1 (1) Phương trình cho tương đương:  cos2 x  sin x cos x cos x   a2   a cos x  sin x  a    a  1 cos x  a   cos x  a 1 2 Vì cos x  nên cos x    cos x  (2) Do đó, theo điều kiện (1) (2), phương trình có nghiệm  a2   1 a 1   a2    a  1 a      a  CÁCH KHÁC: 2 2 File Word liên hệ: 0937351107 2 Trang 59 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lượng giác – ĐS GT 11 Chọn a  1,5 đáp án A, ta thấy phương trình có nghiệm qua chức giải nhanh SOLVE máy tính cầm tay Vậy đáp án A File Word liên hệ: 0937351107 Trang 60 ... hàm số lƣợng giác Có dạng at  b  với a, b  , a  với t hàm số lượng giác b Cách giải: at  b   t   đưa phương trình lượng giác a Một số điều cần ý: a) Khi giải phương trình có chứa hàm...   k  k    Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2cos x   có nghiệm   k 2    k 2 C x    k 12 12 x Câu 44: Giải phương trình lượng giác: cos   có nghiệm 5 5 5  k 4... 59: Cho phương trình: √ Lượng giác – ĐS GT 11 C 1  m  D m  1 Với giá trị m phương trình có nghiệm: A m   B m   C   m   D   m  Câu 60: Phương trình m cos x   có nghiệm