ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán (Thời gian 150 phút) Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức: a) ( ) ( ) 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 A= 2 + + + − + − + b) B = 2+ 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + − + + Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2 2 x + y + z = 12 2 x - 2 y - 1 a) 2x - 3y + z = 12 b) 2 3 1 x + y - 2z = -9 x - 2 y - 1 + = − = Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh rằng họ đường thẳng sau đi qua một điểm cố định. Tìm tọa độ điểm đó. y = 2mx + 1 – m b) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1 . Câu 4: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E trên cạnh BC. Tia AE cắt đường thẳng CD tại G. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AE chứa tia AD, kẻ AF vuông góc với AE và AF = AE. a) Chứng minh ba điểm F, D, C thẳng hàng. b) Chứng minh: 2 2 2 1 1 1 AD AE AG = + × c) Biết AD = 13cm; AF : AG = 10 : 13. Tính độ dài FG. Câu 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi r, s lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, diện tích tam giác ABC. a) Chứng minh: S = r(a + b + c) 2 × b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, biết tam giác ABC là tam giác cân có cạnh đáy bằng 16cm, cạnh bên bằng 10cm. ĐÁP ÁN TOÁN9 Câu 1: a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 2 6 3 2 3 2 1 2 6 2 3 2 2+ + + = + + + + + ( ) 2 3 2 1 3 2 1= + + = + + (1 điểm) Tương tự: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 6 2 6 3 2 3 2 1 2 6 2 3 2 2− − + = + + − + − ( ) 2 3 2 1 3 2 1= − + = − + 2 2 A= 2 2 ⇒ = (1 điểm) b) ( ) 2 B = 2+ 3. 2 2+ 3 . 2 2 2+ 3+ − + = 2+ 3. 2 2+ 3 . 2 2+ 3+ − (1 điểm) ( ) 2 2+ 3. 2 2+ 3= − 2+ 3. 2- 3 1 = = (1 điểm) Câu 2: (4 điểm) x + y + z = 12 (1) a) 2x - 3y + z = 12 (2) x + y - 2z = -9 (3) Từ (1) ta có: x + y = 12 – z thay vào (3) 12 – z – 2z = -9 ⇒ z = 7 (1 điểm) Thay z = 7 vào (1) và (2) ⇒ y = 1. Thay z = 7 và y = 1 vào (1) ⇒ x = 4 Vậy: (x; y; z) = (4; 1; 7) (1 điểm) b) Đặt X = 1 x - 2 và Y = 1 y - 2 ta có hệ sau: (0,5 điểm) 2X 2Y 2 2X 3Y 1 + = − = giải hệ phương trình ta được nghiệmcủa hệ là: 4 X 5 1 Y 5 = = (0,5 điểm) Ta có: 1 4 13 4x - 8 = 5 x = x - 2 5 4 = ⇒ ⇒ × 1 1 y - 1 = 5 y = 6 y - 1 5 = ⇒ ⇒ × (0,5 điểm) Vậy nghiệm của hệ đã cho là: (x; y) = 13 ;6 4 ÷ (0,5 điểm) Câu 3: a) Gọi điểm cố định là M(x 0 ; y 0 ) mà học đường thẳng y = 2mx + 1 – m (1) đi qua. Thế thì đẳng thức sau phải nghiệm đúng với mọi x: y 0 = 2mx 0 + 1 – m (1 điểm) ⇒ (2x 0 – 1)m +(1 – y 0 ) = 0 ∀ m suy ra: 0 0 0 0 1 2x 1 0 x 2 1 y 0 y 1 − = = ⇒ − = = Vậy họ đường thẳng (1) luôn đi qua điểm M 1 ;1 2 ÷ (1 điểm) b) Đồ thị hàm số y = 2x + 1 có y ≥ 0 với mọi x. y = 2x + 1 = - 1 2x+ 1;x 2 - 1 (2x + 1) ; x< 2 ≥ − (1 điểm) Vẽ đúng đồ thị ghi (1 điểm) Câu 4: học sinh vẽ hình ; ghi giải thiết và kết luận đúng (0,5 điểm) G x x E F D A B C a) Xét V ABE và V ADF có AB = AD (gt); AE = AF (gt); · · BAE DAF= (Góc có cạnh tương ứng vuông góc) ⇒ V ABE = V ADF (c – g – c) · · 0 ADF ABE 90= = · · 0 ADF + ADC 180⇒ = ⇒ F, D, C thẳng hàng. (1 điểm) b) Xét tam giác AFG vuông tại A theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2 2 1 1 1 AD AF AG = + mà AE = AF nên: 2 2 2 1 1 1 AD AE AG = + × (1 điểm) c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AFG ta có: 2 2 AF FD.FG FD AG GD.FG DG = = mà 2 2 2 2 AF 10 100 AG 13 169 = = nên FD 100 DG 169 = ⇒ 100DG FD 169 = (1) (0,5 điểm) Theo hệ thức về đường cao ta có: AD 2 = DF.DG ⇒ 13 2 = DF.DG ⇒ 169 DE DG = (2) (0,5 điểm) Từ (1) Và (2) ta có: 2 2 100DG 169 DG 169 :100 DG=16,9 169 DG = ⇔ = ⇔ 100.16.9 FG 10 169 = = Vậy: FG = 26,9 cm. (0,5 điểm) Câu 5: Học sinh vẽ hình ghi giả thiết và kết luận đúng (0,5 điểm) c b a C A r H B O a) Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì: S ABC = S OAB + S OBC + S OCA = ( ) 1 1 1 1 rc + ra + rb = r c + a + b 2 2 2 2 (1 điểm) b) Kẻ AH ⊥ BC thì BH = HC = 8cm. Và AH 2 = AB 2 – BH 2 = 10 2 – 8 2 = 36 ⇒ AH = 6cm. S ABC = 1 2 BC.AH = 1 2 × 16.6 = 48(cm 2 ) (1) (1 điểm) Theo câu a thì S ABC = ( ) 1 r c + a + b 2 = 1 2 × (20 + 8) = 18r (2) (1 điểm) Từ (1) và (2) suy ra: 18r = 48 ⇒ r = 8 3 (cm) (0,5 điểm) . hệ phương trình sau: 2 2 x + y + z = 12 2 x - 2 y - 1 a) 2x - 3y + z = 12 b) 2 3 1 x + y - 2z = - 9 x - 2 y - 1 + = − = Câu 3: (4. có: 2 2 100DG 1 69 DG 1 69 :100 DG=16 ,9 1 69 DG = ⇔ = ⇔ 100.16 .9 FG 10 1 69 = = Vậy: FG = 26 ,9 cm. (0,5 điểm) Câu 5: Học sinh vẽ hình ghi giả thi t và kết luận