Đề thi HSG toán 9 2011

S GD-T bc Liờu Trng THPT Ninh Thnh Li THI CHN HSG TON VềNG TRNG LP : NM HC : 2010 2011 Cõu 1: ( 4) a Chng minh rng : A = 52(52010 + 52009 + +52 + + 1) +13 chia ht cho 52010 b Chng minh rng : 21000 chia ht cho 25 Cõu 2: ( 4) a Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 3x 4y = b Gii phng trỡnh : 2011x 45 = 10 + 11+12++2009+2010 Cõu 3: ( 4) 4x + + 2 x 2x x Cho biu thc A = + x x + 2 x + 2 x a Rỳt gn biu thc A b Tỡm giỏ tr ca x biu thc A nhn giỏ tr ln nht Cõu 4: (2) Tớnh Q = 1+ + 3+ + 5+ + + 2009 + 2011 2011 Cõu 5: ( 3) Cho hm s y = 2x + v y = -3x + a V hai th trờn cựng mt h trc ta b Tớnh din tớch hỡnh to bi hai th trờn vi trc Ox Cõu : ( 3) Cho tam giỏc ABC ( = 900), ng cao AH (H BC) Bit BH = 2cm BC A = 30 Tớnh AB v BC HT GV: Biờn son : Phm Quang Sang S GD-T bc Liờu Trng THPT Ninh Thnh Li Đề thi chọn học sinh giỏi lớp9 Môn : Toán ( Bảng A) Thời gian : 150 phút không kể chép đề Bài1: 1) Cho hàm số f(x) = a x + bx + c thoả mãn điều kiện : f(x) 1, x [-1;1] Chứng minh x cx2 + bx + a 2) Tìm nghiệm nguyên phơng trình : x3 - 2y3 = 4z3 Bài2: Giải hệ phơng trình : x2y2 - 2x +y2 = 2x2 - 4x + + y3 = Bài 3: 1) Giải phơng trình : - x + x - = 2) Cho hệ phơng trình : x2 + y2 + z2 = xy + yz + xz = -4 Giả sử hệ phơng trình có nghiệm, Chứng minh x, y, z 3 Bài4: Từ điểm M cung nhỏ AC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( M khác A C) kẻ MK BC, MH AC, ( K BC; H AC) Gọi E,F theo thứ tự trung điểm AB HK Chứng minh MF EF Bài5: Qua M nằm tam giác ABC ta kẻ MA 1, MB1, MC1 lần lợt vuông góc với đờng thẳng BC, CA,AB ( A1 BC ; B1 CA; C1 AB) Đặt BC = a , a b c CA = b, AB = c Tìm giá trị nhỏ của: + + MA1 MB1 MC1 Đáp án Bài1: (5 điểm) 1) (3,0đ): Hàm số f(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn điều kiện f(x)1 , x [-1; 1] Thay x lần lợt giá trị 1; -1; ta đợc : f(1) = a + b + c; f(-1) = a -b +c; f(0) = c (0,25đ) 1 Từ f(1) = a + b + c a = f(1) + f(-1) -f(0) 2 => 1 f(-1) = a - b +c b = f(1) - f(-1) (0,5đ) 2 f(0) = c c = f(0) GV: Biờn son : Phm Quang Sang S GD-T bc Liờu Trng THPT Ninh Thnh Li Ta có : 1 1 cx2 + bx + a = f(0)x2 + [ f(1) - f(-1)] x + f(1) + f(-1) - f(0) 2 2 1 = f(0) (x2 - 1) + f(1) ( x +1) + f(-1)(1-x) (0,5đ) 2 1 Suy : cx2 + bx + a f(0)x2 -1 + f(1)x+1 + f(-1)1-x(0,5đ) 2 1 x2 - + x +1 + 1-x (0,5đ) 2 Do x1 => -1 x => x2 - ; x +1 ; - x 1 1 => cx2 + bx + a -x2 +1 + x + + - x = - x2 2 2 2 => cx + bx + a (0,5đ) 2 Chọn f(x) = 2x - suy điều kiện f(x) = 2x - 1, x [-1,1] thỏa mãn Khi cx2 + bx + a} = -x2 + = với x = => Dấu đẳng thức xảy x = 0, a=2 (0,5đ) 2) (2,0đ) Tìm nghiệm nguyên phơng trình : x3 - 2y3 = 4z3 Giả sử ( x0; y0; z0) nghiệm phơng trình =>x03 - 2y03 = 4z03 (1) => x03 => x0 , đặt x0 = 2x1 (0,5đ) Thay vào (1) ta có : 4x13 - y03 = 2z30 => y03 => y0 2., đặt y0 = 2y1 => 2x13 - 4y13 = z03 => z03 => z0 , đặt z0 = 2z1 (0,5đ) x0 y0 z0 Ta có : x13 - 2y13 = 4z13 => (; ; ) nghiệm phơng trình ( 0,5đ) 2 x0 y0 z0 Quá trình tiếp tục ( ; ; ) nghiệm 2k 2k 2k x0 y0 z0 Các số ; ; nguyên với k N Điều xảy x0 = y0 = z0=0 2k 2k 2k Vậy nghiệm nguyên phơng trình : x3 - 2y3 = 4z3 (0;0;0) (0,5đ) Bài2(3đ): Giải hệ phơng trình : x2y2 - 2x + y2 = 2x2 - 4x + +y3 = (I) 2x 2x 2 y = y = Hệ (I) x +1 x2 +1 2x2 - 4x + + y3 +1 = 2(x-1)2 + y3 + = 2x 2x Do = (0,5đ) x2 +1 x2 + Từ (1) => y2 => -1 y Vì y -1 => y3 -1 => y3 + ( x - 1)2 => vế phải (2) không âm => (2) y3 +1 = y = -1 GV: Biờn son : Phm Quang Sang (1) (2) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) S GD-T bc Liờu Trng THPT Ninh Thnh Li (0,5đ) ( x-1)2 = x=1 Do ( x= ; y = -1) thỏa mãn (1) Vậy hệ phơng trình (I) có nghiệm ( x = ; y = -1 ) (0,5đ) Bài3 (5 đ): 1) (2đ) : Giải phơng trình : 2x + x = Điều kiện xác định : x (0,25đ) 3 Đặt : (0,25đ) x = a => x = - a Ta đợc phơng trình : a + a = hay a = - a Với điều kiện : 1- a hay a Thì ta có phơng trình : - a3 = a2 - 2a + Giải đợc a = 0, a = 1, a = -2 thoả mãn điều kiện Với a = ta đợc x = a = ta đợc x = a = -2 ta đợc x = 10 x = 2; x = 1; x = 10 thoả mãn điều kiện xác định x Vậy tập nghiệm phơng trình S = {1;2;10} 2) (3đ) : Ta có : x2 + y2 + z2 = (y+z)2 - 2yz = - x2 xy + yz + xz = yz + x ( y +z) = Đặt S = y +z ; P = yz Hệ phơng trình trở thành s2 - 2p = - x2 (1) p + xs = (2) Từ (2) => p = - xs thay vào (1) ta đợc : s2 - ( - sx) = - x2 s2 + 2xs + x2 - = (0,25đ) (0,25đ) (0.25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) => S = -x + S=-x-2 (0,5đ) * Khi : s = -x + p = - x( -x + 2) = x2 - 2x + Do: y +z = -x +2; yz = x2 - 2x + => y; z nghiệm phơng trình : t2 - (2 - x)t +x2 - 2x +1 = Do y,z tồn => = ( 2-x)2 - ( x2 - 2x +1) => x 4/3 * Khi s = -x -2 p = x2 + 2x + Do : y + z = -x - ; yz = x2 + 2x + => y,z nghiệm phơng trình : t2 + (x +2)t + x2 + 2x + = Do: y,z tồn => = ( x+2)2 - ( x2 + 2x +1) => -4/3 x Vậy ta có : -4/3 x 4/3 Vai trò x,y,z nh nên ta có : -4/3 x,y,z 4/3 Bài4(4đ): (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) I A ÊE GV: Biờn son : Phm Quang Sang M H F S GD-T bc Liờu Trng THPT Ninh Thnh Li B K Kẻ MI AB Ta chứng minh đợc I, H, K thẳng hàng K C (0,5đ) Ta có : ABM = IKM ( bằngACM ) (0,5đ) MAB = MHK ( bù với hai góc IAM = BCM ) =>MAB đồng dạng MHK (g.g) (0,5đ) (0,5đ) => AB HK = BM KM => EB = BM FK KM (0,5đ) => EBM đồng dạng FKM (c.g.c) (0,5đ Nên :BEM = KFM => IEM = IFM => Tứ giác IEFM nội tiếp (0,5đ) => Góc EFM = 900 => EF MF (0,5đ) Bài5(3đ): A C1 B z M x y B1 A1 C Đặt : MA1 = x ; MB1 = y; MC1 = z Diện tích ABC = S Ta có : ax = 2SMBC ; by = 2SMCA ; cz = 2SMBA (0,5đ) Vì vậy: a x + by + cz = ( SMBC + SMCA + SMBA) = 2S (0,5đ) a b c Xét : ( ax + by +cz ) ( + + ) x y z x y y z z x =a2 +b2 +c2 + ab ( + ) + bc ( + ) + ca ( + ) (0,5đ) y x z y x z a2 +b2 +c2 + 2ab + 2bc + 2ac = ( a +b + c)2 (0,5đ) a b c ( a + b + c)2 => + + (0,5đ) x y z 2s Dấu đẳng thức xảy x = y = z M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Kết luận: a b c (a + b + c) Min ( + + )= MA1 MB1 MC1 2S GV: Biờn son : Phm Quang Sang ...S GD-T bc Liờu Trng THPT Ninh Thnh Li Đề thi chọn học sinh giỏi lớp9 Môn : Toán ( Bảng A) Thời gian : 150 phút không kể chép đề Bài1: 1) Cho hàm số f(x) = a x + bx + c thoả mãn... dạng FKM (c.g.c) (0,5đ Nên :BEM = KFM => IEM = IFM => Tứ giác IEFM nội tiếp (0,5đ) => Góc EFM = 90 0 => EF MF (0,5đ) Bài5(3đ): A C1 B z M x y B1 A1 C Đặt : MA1 = x ; MB1 = y; MC1 = z Diện tích