Đề thi HSG Toán 9 năm 2010-2011

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: TOÁN 9_ Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) ------------------------------------------------------- Bài 1 : (3 điểm) Chứng minh rằng : A = n 3 ( n 2 – 7) 2 – 36 n Chia hết cho 7 với mọi n. Bài 2 : (4 điểm) a) Cho 0 1x ≤ ≤ Chứng minh rằng : 3 2 1 4 x x − + ≤ b) Cho ba số ; ;x y z thỏa mãn : 3x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của B = xy yz zx + + Bài 3 : (4 điểm) a) Tính : 4 5 3 5 48 10 7 4 3A= + + − + b) Giải phương trình : 2 2 10 12 40x x x x − + − = − + Bài 4 : (6 điểm) Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a . Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M ≠ D ; M ≠ C ) chọn điểm M trên cạnh BC sao cho · 45 o MAN = , DB cắt AM ; AN theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh rằng : · · 90 o AFM AEN = = . b) Chứng minh rằng : diện tích của tam giác AEF bằng một nữa diện tích tam giác AMN. c) Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC. Bài 5 : (3 điểm) Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của · BAC là AD . Biết AD = 6 ; AC = 9 với · BAC = 68 o . Tính độ dài AD. ------------------------ Hết ------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi : TOÁN ; LỚP 9 Bài Nội dung Điểm 1 Chứng minh rằng : A = n 3 ( n 2 – 7) 2 – 36 n Chia hết cho 7 với mọi n 3 điểm Ta có : A = n 3 ( n 2 – 7) 2 – 36 n = n 3 ( n 4 – 14n 2 + 49 ) – 36n = n 7 - 14n 5 + 49n 3 - 36n = (n 7 -n 5 ) - (13n 5 - 13n 3 ) + (36n 3 - 36n) = n 5 (n 2 -1) - 13n 3 (n 2 - 1) + 36n (n 2 -1) =( n 2 -1) .(n 5 -13n 3 + 36n) = (n 2 - 1) {(n 5 -4n 3 ) - (9n 3 -36n)} =(n 2 - 1) {n 3 (n 2 - 4) -9n (n 2 - 4) } = (n 2 - 1) (n 2 - 4) (n 3 - 9n) = (n 2 - 1) (n -2) (n +2) n (n 2 - 9) = (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3) Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Vì n là số tự nhiên nên số A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp. Rồi chứng minh cho tích của 7 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7 Kết luận: A chia hết cho 7 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2a Cho 0 1x ≤ ≤ Chứng minh rằng : 3 2 1 4 x x − + ≤ 2 điểm Do 0 ≤ x ≤ 1 nên x 2 ≤ x => - 4x 2 ≥ - 4x và 1-x ≥ 0 Từ đó ta có - 4x 2 (1-x) ≥ -4x (1-x)  - 4x 2 (1-x) +1≥ - 4x (1-x) +1  4x 3 - 4x 2 + 1 ≥ 4x 2 - 4x +1 = (2x -1) 2 ≥ 0 => 4x 3 -4x 2 +1 ≥ 0  - 4x 3 + 4x 2 - 1 ≤ 0  - 4x 3 + 4x 2 ≤ 1  4(-x 3 + x 2 ) ≤ 1  - x 3 + x 2 ≤ 4 1 Vậy : -x 3 + x 2 ≤ 4 1 nếu 0 ≤ x ≤ 1 1 0.75 0.25 2b Cho ba số x, y, z thoả mãn x y z 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của B xy yz zx= + + . 2 điểm Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   = + + = + − + +   = + + − + = − − − + + − − + + − −     = − + + = − + + − + ≤  ÷  ÷     2 2 2 2 2 2 2 B xy z x y xy 3 x y x y xy 3 x y x y x y xy 3x 3y y 3 3y 6y 9 y 3 3 x x y 1 3 3 2 4 2 4 Dấu = xảy ra khi − =   −  + = ⇔ = = =   + + =   y 1 0 y 3 x 0 x y z 1 2 x y z 3 Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1 1.25 0.5 0.25 3a Tính : 4 5 3 5 48 10 7 4 3A= + + − + 2 điểm Ta có : ( ) 2 4 5 3 5 48 10 2 3A= + + − + ( ) 4 5 3 5 48 10 2 3A= + + − + 4 5 3 5 28 10 3A= + + − ( ) 2 4 5 3 5 5 3A= + + − ( ) 4 5 3 5 5 3A= + + − = 4 5 3 25 5 3+ + − = 4 5 3+ = 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 3b Giải phương trình : 2 2 10 12 40x x x x − + − = − + 2 điểm Điều kiện : 2 10x≤ ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Ta có : ( ) ( ) ( ) 1 1 2 4 10 4 2 10 2 .4 10 .4 2 2 2 2 x x x x x x − + − +   − + − = − + − ≤ +  ÷   = 4 Dấu “ = ” xảy ra 2 4 6 6 10 4 6 x x x x x − = =   ⇔ ⇔ ⇔ =   − = =   (1) Mặt khác : ( ) ( ) 2 2 2 12 40 12 36 4 6 4 4x x x x x − + = − + + = − + ≥ Dấu “=” xảy ra 6 0 6x x⇔ − = ⇔ = (2) Kết hợp (1) và (2) Phương trình có nghiệm duy nhất là : 6x = 1 0.75 0.25 4 6 điểm 4a Chứng minh : · · 0 AFM = AEN = 90 Nối A với C chỉ ra được µ µ µ µ 3 1 1 1 A = A ; B = C => ∆ AFB : ∆ AMC (g.g) => )1( AC AM AB AF AC AB AM AF =⇔= Có · · 0 MAF = CAB = 45 (2) Từ 1 và 2 => ∆ AFM ∞ ∆ ABC => · · 0 AFM = ABC = 90 C/M hoàn toàn tương tự có · AEN = 90 0 vì vậy · · 0 AFM = AEN = 90 1.5 0.5 1 1 3 1 K N M F E D C B A 4b Chứng minh : 1 2 AEF AMN S S= Có ∆ AFM ∞ ∆ AEN => AN AE AM AF = => ∆ AEF ∞ ∆ AMN (c.g.c) => 2 (1) AEF AMN S AF S AM   =  ÷   Có · FAM = 45 0 , · AFM = 90 0 => ∆ AFM Vuông cân đỉnh F nên AM 2 = AF 2 + FM 2 = 2AF 2 => 2 AF AM    ÷   = 2 1 Thay vào (1) ta được AEF AMN S S = 2 1 hay: 1 2 AEF AMN S S= (ĐPCM) 1.5 0.5 4c C/M chu vi ∆ CMN không đổi Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN ∆ ADK = ∆ ABN => AK = AN và · · BAN DAK= do đó ∆ AMN = ∆ AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi ∆ CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi Tức là: Chu vi ∆ CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC 1.5 0.5 5 Tính độ dài AD. 3điểm Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC lần lượt là : S 1 , S 2 , S. Ta có : S 1 = 1 2 AB.AD.sinA 1 S 2 = 1 2 AD.AC.sinA 2 S = 1 2 AB.AC.sinA Vì : S = S 1 + S 2 Nên : 1 2 AB.AD.sinA 1 + 1 2 AD.AC.sinA 2 = 1 2 AB.AC.sinA ⇔ AB.AD.sinA 1 + AD.AC.sinA 2 = AB.AC.sinA 1 2 AB.AC.sinA 6.9.sin 68 AD = 6 AB.sinA +AC.sinA 6.sin 34 9.sin 34 o o o ⇔ = ≈ + 0.75 0.75 1. 5 2 1 K H D C B A . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: TOÁN 9_ Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) -------------------------------------------------------. = 6 ; AC = 9 với · BAC = 68 o . Tính độ dài AD. ------------------------ Hết ------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010