BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)

BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)BẤT ĐĂNG THỨC ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH (Lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải)

§2 ĐẠI CƢƠNG VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa bất phƣơng trình ẩn Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng, biến đổi tƣơng đƣơng bất phƣơng trình a) Định nghĩa: Hai bất phƣơng trình (cùng ẩn) đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm b) Định lý hệ quả: B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp giải 2 Các ví dụ điển hình Bài tập luyện tập DẠNG TỐN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƢƠNG Phƣơng pháp giải Các ví dụ minh họa Bài tập luyện tập §3 BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 12 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 12 Bất phƣơng trình bậc hai ẩn 12 a) Bất phƣơng trình bậc hai ẩn miền nghiệm 12 b) Cách xác định miền nghiệm bất phƣơng trình bậc hai ẩn 13 Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn 13 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 14 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 14 Bài tập luyện tập 16 DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ 21 §2 ĐẠI CƢƠNG VỀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa bất phƣơng trình ẩn Cho hai hàm số y f x y g x có tập xác định lần lƣợt D f D g Đặt D đề chứa biến có dạng f x g x , f x g x , f x g x , f x Df Dg Mệnh g x đƣợc gọi bất phƣơng trình ẩn ; x đƣợc gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định bất phƣơng trình x0 D gọi nghiệm bất phƣơng trình f x g x f x0 g x0 mệnh đề Giải bất phƣơng trình tìm tất nghiệm(hay tìm tập nghiệm) bất phƣơng trình Chú ý : Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác đinh D bất phƣơng trình mà cần nêu điều kiện để x D Điều kiện gọi điều kiện xác định bất phƣơng trình, gọi tắt điều kiện bất phƣơng trình Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng, biến đổi tƣơng đƣơng bất phƣơng trình a) Định nghĩa: Hai bất phƣơng trình (cùng ẩn) đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm Kí hiệu: Nếu f1 x g1 x tƣơng đƣơng với f2 x g2 x ta viết f1 x g1 x f2 x g2 x  Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phƣơng trình gọi phép biến đổi tƣơng đƣơng b) Định lý hệ quả: Định lý 1: Cho bất phƣơng trình f x g x có tập xác định D ; y h x hàm số xác định D Khi D , Bất phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình sau 1) f x h x g x h x 2) f x h x g x h x h x với x 3) f x h x g x h x h x với x D Hệ quả: Cho bất phƣơng trình f x D g x có tập xác định D Khi 1) f x g x f3 x g3 x 2) f x g x f2 x g x với f x 0, g x 0, x D Lƣu ý: Khi giải phƣơng trình ta cần ý  Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phƣơng trình tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình phải đối chiếu với điều kiện xác định  Đối với việc giải bất phƣơng trình ta thƣờng thực phép biến đổi tƣơng đƣơng nên cần lƣyu ý tới điều kiện để thực phép biến đổi tƣơng đƣơng B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH Phƣơng pháp giải Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS - Điều kiện xác định bất phƣơng trình bao gồm điều kiện để giá trị f x , g x đƣợc xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức  f x xác định f x xác định f x f x   f x xác định f x 0 Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phƣơng trình sau: a) x 4x A x B \ C x D 4 b) A x 2x x x x 2x B x x C x 2 D x Lời giải: a) Điều kiện xác định bất phƣơng trình x 9 x2 x b) Điều kiện xác định bất phƣơng trình x 2x x 2x x x x 2 Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định bất phƣơng trình sau suy tập nghiệm nó: a) 2x x x2 b) c) d) x x 4x 3x3 27 1 x x x 4x 5x 4x Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Lời giải: a) Điều kiện xác định bất phƣơng trình Thử vào bất phƣơng trình thấy x x 3 x thỏa mãn Vậy tập nghiệp bất phƣơng trình S 0 x x 3 x b) Điều kiện xác định bất phƣơng trình x2 4x Thay x x 2 x 2 vào thấy thỏa mãn bất phƣơng trình Vậy tập nghiệp bất phƣơng trình S c) Điều kiện xác định bất phƣơng trình x x x x Với điều kiện bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 2 x x Đối chiếu với điều kiện ta thấy bất phƣơng trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S x d) Điều kiện xác định bất phƣơng trình 4x 4x Dễ thấy x Nếu x (*) thỏa mãn điều kiện (*) (*) 4x 4x 0 x x 4 x Vậy điều kiện xác định bất phƣơng trình x x Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Thay x x vào bất phƣơng trình thấy thỏa mãn Vậy tập nghiệm bất phƣơng trình S 1; Bài tập luyện tập Bài 4.55: Tìm điều kiện xác định phƣơng trình sau: a) x x A x b) x A x x 6x B x C B x C x D \ x 2 D x 2 Lời giải: Bài 4.55: a) x b) x Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Bài 4.56: Tìm điều kiện xác định bất phƣơng trình sau suy tập nghiệm nó: a) 2x 2x A x x2 x b) 2x B x x x A x C x D x 2 A Vô nghiệm c) 1 x C \ B D \ B x C x D x d) x A x 2 x x 1, x B x 1, x C \ 1; D x 1, x Lời giải: Bài 4.56: a) x c) b) Vô nghiệm x d) x 1, x DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƢƠNG Phƣơng pháp giải Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Để giải bất phƣơng trình ta thực phép biến đổi để đƣa bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với phƣơng trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thƣờng sử dụng  Cộng (trừ) hai vế bất phƣơng trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định bất phƣơng trình ta thu đƣợc bất phƣơng trình tƣơng đƣơng bất phƣơng trình cho  Nhân (chia) vào hai vế bất phƣơng trình với biểu thức dƣơng(hoặc âm) không làm thay đổi điều kiện xác định phƣơng trình ta thu đƣợc bất phƣơng trình chiều (hoặc ngƣợc chiều) tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình cho  Bình phƣơng hai vế bất phƣơng trình (hai vế ln dƣơng) ta thu đƣợc bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình cho  Lập phƣơng hai vế bất phƣơng trình ta thu đƣợc bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong bất phƣơng trình sau đây, bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình 3x a) x (*) : 1 x x b) 3x x 3x x 3x Lời giải: Ta có x a) x 1 x 1 x x (1) không tƣơng đƣơng 3x x nghiệm bất phƣơng trình (*) nhƣng khơng nghiệm bất phƣơng trình (1) b) 3x x x 3x 3x 3x 1 x Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Do 3x x 3x x 3x tƣơng đƣơng 3x 1 Ví dụ 2: Khơng giải bất phƣơng trình, giải thích bất phƣơng trình sau vơ nghiệm a) x2 2x b) x x x x Lời giải: a) Ta có x 2x b) ĐKXĐ: x 0 x2 Áp dụng BĐT cơsi ta có 2x x x x bất phƣơng trình vơ nghiệm x Suy bất phƣơng trình vơ nghiệm x x x x Ví dụ 3: Khơng giải bất phƣơng trình, giải thích bất phƣơng trình sau nghiệm với x a) x x2 b) 2x x x 1 x Lời giải: a) BPT Do x2 x x 0, x 2x x với x nên x x x với x Vậy bất phƣơng trình nghiệm với x b) BPT x x (đúng với x ) Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Vậy bất phƣơng trình nghiệm với x Ví dụ 4: Bạn Nam giải bất phƣơng trình x Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x x2 2x x2 2x 4x x Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S x nhƣ sau x [0; ) Theo em ban Nam giải nhƣ hay sai? Nếu sai sửa lại cho Lời giải: Bạn Nam mắc sai lầm phép biến đổi bình phƣơng hai vế Lời giải là: Với x ta có x 0, x suy nghiệm bất phƣơng trình x Với x x x : Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 2x 1 x2 2x x 4x x Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S x 1 x Bài tập luyện tập Bài 4.57: Trong bất phƣơng trình sau đây, bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình 3x 3x : x x (I) Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS 3x x x (II) A.(I) B.(II) C.(I), (II) D Khơng có phƣơng trình Lời giải: Bài 4.57: Ta có x I) Ta có 3x Do 3x x 1 1 x x x 3 x 3 x 3x x 3 x tƣơng đƣơng 3x x II) 3x x Do 3x 1 x x x 3x 1 x 1 x tƣơng đƣơng 3x x x Bài 4.58: Khơng giải bất phƣơng trình, giải thích bất phƣơng trình sau vơ nghiệm a) x b) x x x2 x Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Lời giải: Bài 4.58: a) ĐKXĐ: x x x x không tồn giá trị x Suy bất phƣơng trình vơ nghiệm x b) Ta có 0, x x x 2 Suy bất phƣơng trình vơ nghiệm Bài 4.59: Khơng giải bất phƣơng trình, giải thích bất phƣơng trình sau nghiệm với x a) x b) 2x2 x2 x2 2 2x Lời giải: Bài 4.59: a) Ta có x Suy x 2x2 2x 0, 2x2 2x 2x2 2x x2 0 x Đẳng thức xảy Suy x x x x2 (vô nghiệm) 0 với x Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Vậy bất phƣơng trình nghiệm với x b) Áp dụng BĐT cơsi ta có x2 x2 x2 1 x2 x2 1 x2 Suy bất phƣơng trình nghiệm với x x Bài 4.60: Bạn Bình giải bất phƣơng trình 2x nhƣ sau Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với 2x 2x 2x Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S x [ ; ) Theo em ban Bình giải nhƣ hay sai? Nếu sai sửa lại cho Lời giải: Bài 4.60: Bạn Bình mắc sai lầm phép biến đổi Lời giải là: x 2x x 2x 1 x x 2x x 1 2x 1 x Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S ; §3 BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bất phƣơng trình bậc hai ẩn Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS a) Bất phƣơng trình bậc hai ẩn miền nghiệm Bất phƣơng trình bậc hai ẩn x, y bất phƣơng trình có dạng: ax by c 0, ax by c 0, ax by c 0, ax by c a, b, c số thực cho, a b không đồng thời 0; x y ẩn số Mỗi cặp số (x0; y0) cho ax0 + by0 < c gọi nghiệm bất phƣơng trình ax Nghiệm bất phƣơng trình dạng ax by c , ax by c , ax by by c 0, c đƣợc định nghĩa tƣơng tự Trong mặt phẳng tọa độ nghiệm bất phƣơng trình bậc hai ẩn đƣợc biểu diễn điểm tập nghiệm đƣợc biểu diễn tập hợp điểm Ta gọi tập hợp điểm miền nghiệm bất phƣơng trình b) Cách xác định miền nghiệm bất phƣơng trình bậc hai ẩn Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đƣờng thẳng d : ax by chia mặt phẳng thành hai nửa mặt c phẳng Một hai nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình ax by c , nửa mặt phẳng lại (khơng kể bờ (d)) gồm điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình ax by c Vậy để xác định miền nghiệm bất phƣơng trình ax by c , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) nhƣ sau: Bƣớc Vẽ đƣờng thẳng (d): ax by c Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word mơn Tốn” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS Bƣớc Xét điểm M x0 ; y0 không nằm (d)  Nếu ax0 by0 c nửa mặt phẳng (khơng kể bờ (d)) chứa điểm M miền nghiệm bất phƣơng trình ax  Nếu ax0 by0 c by c 0 nửa mặt phẳng (khơng kể bờ (d)) khơng chứa điểm M miền nghiệm bất phƣơng trình ax Chú ý: Đối với bất phƣơng trình dạng ax by c by ax c by c miền nghiệm nửa mặt phẳng kể bờ Hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn Tƣơng tự hệ bất phƣơng trình ẩn, ta có hệ bất phƣơng trình bậc hai ẩn Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp điểm có tọa độ thỏa mãn bất phƣơng trình hệ miền nghiệm hệ Vậy miền nghiệm hệ giao miền nghiệm bất phƣơng trình hệ Để xác định miền nghiệm hệ, ta dùng phƣơng pháp biểu diễn hình học nhƣ sau:  Với bất phƣơng trình hệ, ta xác định miền nghiệm gạch bỏ (tơ màu) miền lại  Sau làm nhƣ lần lƣợt tất bất phƣơng trình hệ mặt phẳng tọa độ, miền lại khơng bị gạch (tơ màu) miền nghiệm hệ bất phƣơng trình cho B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm bất phƣơng trình sau: a) x y b) x 2y 2x y y Lời giải: a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đƣờng thẳng d : 2x Ta có d y chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm khơng O thuộc đƣờng thẳng đó, chẳng hạn điểm M 1; Ta thấy (1; 0) nghiệm bất phƣơng trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt x x (d) phẳng chứa bờ (d) chứa điểm M 1; (Miền không đƣợc tô màu hình vẽ) b) Ta có x x 4y 2y 2 2x y x 4y x 2y 2x y y Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đƣờng thẳng :x 4y Xét điểm O 0; , thấy 0; khơng phải nghiệm bất phƣơng trình cho miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ đƣờng thẳng hình vẽ) (khơng kể ) không chứa điểm O 0; (Miền không đƣợc tơ màu -2 Δ O -2 Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm hệ bất phƣơng trình sau: y x y b) x y2 x y 11 x y a) x 3y Lời giải: a) Vẽ đƣờng thẳng d : x y O -3 -2 , d ' : x 3y (d') x (d) mặt phẳng tọa độ Oxy Xét điểm O 0; , thấy 0; khơng phải nghiệm bất phƣơng trình x y x y miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể hai đƣờng thẳng d d ' b) Vẽ đƣờng thẳng d : x d" : x 2y y , d ' : 2x 3y y (d') mặt phẳng tọa độ Oxy (d) Xét điểm O 0; , thấy 0; nghiệm bất phƣơng trình 2x 3y x y Do O 0; thuộc miền nghiệm bất phƣơng trình x y x y -3 -2 -1 O (d") Xét điểm M 1; ta thấy 1; nghiệm bất phƣơng trình x y điểm M 1; thuộc miền nghiệm bất phƣơng trình x y Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể đƣờng thẳng d" Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm bất phƣơng trình x y x3 y3 Lời giải: Ta có x x y x3 y x y y3 0 x x x y y y x y x2 x (1) x xy y y y2 0 (2) y (d) Nhƣ miền nghiệm bất phƣơng trình cho gồm hai miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (1) (2) -2 (d') -1 O x x Vẽ đƣờng thẳng d : x y , d' : x y mặt phẳng tọa độ Oxy Xét điểm M 1; , ta có 1; nghiệm bất phƣơng trình hệ (1) M 1; thuộc miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (1) Xét điểm N N 1; , ta có 1; nghiệm bất phƣơng trình hệ (2) 1; thuộc miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (2) Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể hai đƣờng thẳng d , d' Bài tập luyện tập Bài 4.61: Xác định miền nghiệm bất phƣơng trình sau: a) x y A y B x O y O C x y -2 Δ O -2 x D y O x (d) Lời giải: Bài 4.61: a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đƣờng thẳng d : x y y Ta thấy (1; 0) nghiệm bất phƣơng trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng chứa bờ (d) chứa điểm M 1; (Miền khơng đƣợc tơ màu hình vẽ) b) x y x y A y B x O y O x O x C y -2 Δ O x -2 D y O x (d) Lời giải: x b) Ta có 3x y y x y x y x y y 0 Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đƣờng thẳng : 3x y O Xét điểm O 0; , thấy 0; khơng phải nghiệm bất phƣơng trình cho miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ đƣờng thẳng (không kể ) không chứa điểm O 0; (Miền không đƣợc tô màu hình vẽ) Bài 4.62: Xác định miền nghiệm hệ bất phƣơng trình sau: a) x x y y A 0 y O x x B y (d) -2 -1 O x (d') C y (d') -3 -2 O x (d) D Đáp án khác y Lời giải: Bài 4.62: a) Vẽ đƣờng thẳng d : x y , d' : x y mặt phẳng tọa độ Oxy Xét điểm O 0; , thấy 0; nghiệm bất phƣơng trình x y x y miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể hai đƣờng thẳng d ' x y b) x y x 2y O x A y O x B y (d') (d) -3 -2 -1 O x (d") C y (d') O -3 -2 x (d) D Đáp án khác Lời giải: b) Vẽ đƣờng thẳng d : x d" : x 2y y y , d ' : 2x 3y mặt phẳng tọa độ Oxy O x Xét điểm O 0; , thấy 0; nghiệm bất phƣơng trình x O 0; thuộc miền nghiệm bất phƣơng trình x y y x y x y Xét điểm M 0; ta thấy 0; nghiệm bất phƣơng trình x y thuộc miền nghiệm bất phƣơng trình x y 3 Do 0 điểm M 0; Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng đƣợc tơ màu hình vẽ kể đƣờng thẳng d' , d"  DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Vấn đề tìm miền nghiệm hệ bất phƣơng trình bậc có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính Đó ngành tốn học có nhiều ứng dụng đời sống kinh tế Lƣu ý: Ta thừa nhận kết sau "Giá trị nhỏ hay lớn biểu thức P x; y ax by b miền đa giác lồi (kể biên) đạt đƣợc đỉnh đa giác" Ví dụ 1: Một cơng ty kinh doanh thƣơng mại chuẩn bị cho đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm công ty hệ thống phát truyền hình Chi phí cho phút quảng cáo sóng phát 800.000 đồng, sóng truyền hình 4.000.000 đồng Đài phát nhận phát chƣơng trình quảng cáo dài phút Do nhu cầu quảng cáo truyền hình lớn nên đài truyền hình nhận phát chƣơng trình dài tối đa phút Theo phân tích, thời lƣợng phút quảng cáo, truyền hình có hiệu gấp lần sóng phát Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo Công ty cần đặt thời lƣợng quảng cáo sóng phát truyền hình nhƣ để hiệu nhất? Lời giải: Phân tích tốn: Gọi thời lƣợng cơng ty đặt quảng cáo sóng phát x (phút), truyền hình y (phút) Chi phí cho việc là: 800.000 x 4.000000 y (đồng) Mức chi không đƣợc phép vƣợt qúa mức chi tối đa, tức: 800.000x x 4.000.000 y 16.000.000 5y 20 hay y Do điều kiện đài phát thanh, truyền hình đƣa ra, ta có: x 5, y Đồng thời x, y thời lƣợng nên x Hiệu chung quảng cáo là: x 6y 0, y (d) O 20 x Bài toán trở thành: Xác định x, y cho: M x; y x Với điều kiện x 5y 20 y x y đạt giá trị lớn (*) Trƣớc tiên ta xác định miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (*) Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đƣờng thẳng d : x 5y 20 0, d ' : x 5, d '' : y Khi miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (*) phần mặt phẳng(tam giác) khơng tơ màu hình vẽ Giá trị lớn M x; y x Ta có M 5; 5, M 20; 23, M 5; y đạt điểm 5; , 5; , 20; 20 suy giá trị lớn M x; y 23 5; tức đặt thời lƣợng quảng cáo sóng phát phút truyền hình phút đạt hiệu Ví dụ 2: Một xƣởng sản xuất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xƣởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để có mức lời cao nhất? Lời giải: Phân tích tốn: Gọi x ( x ) số kg loại I cần sản xuất, y ( y Suy số nguyên liệu cần dùng x y , thời gian 30 x ) số kg loại II cần sản xuất 15 y có mức lời 40000 x Theo giả thiết tốn xƣởng có 200kg nguyên liệu 120 làm việc suy x x y 100 , 30 x 15 y 1200 hay x y 80 đạt giá trị lớn 200 hay y Bài toán trở thành: Tìm x, y thoả mãn hệ x y 100 x y 80 (*) cho L x; y x y 4y 30000 y 80 40000 x 30000 y 50 40 x O 20 40 100 Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đƣờng thẳng d : x y 100 0, d ' : x y 80 Khi miền nghiệm hệ bất phƣơng trình (*) phần mặt phẳng(tứ giác) khơng tơ màu hình vẽ Giá trị lớn L x; y 40000 x 30000 y đạt điểm 0; , 40; , ; 50 , 20; 40 Ta có L 0; L 0; 50 x; y 1500000, L 20; 40 , L 40; 1600000, 2000000 suy giá trị lớn L x; y 2000000 20; 40 Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn Bài tập luyện tập Bài 4.63: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 ngƣời hàng hóa Nơi cho thuê xe có 10 xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD Một xe hiệu MITSUBISHI chở 20 ngƣời 0,6 hàng Một xe hiệu FORD chở 10 ngƣời 1,5 hàng Tiền thuê xe hiệu MITSUBISHI triệu đồng, xe hiệu FORD triệu đồng Hỏi phải thuê xe loại để chi phí thấp nhất? A xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD B xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD C xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD D xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD Lời giải: Bài 4.63: Gọi x , y ( x , y N ) lần lƣợt số xe loại MITSUBISHI, loại FORD cần thuê Từ tốn ta đƣợc hệ bất phƣơng trình x 10 y 20 x 10 y 140 0,6 x 1, y Tổng chi phí T x , y x 10 y (*) x y 14 x y 30 4x y (triệu đồng) Bài tốn trở thành tìm x, y nguyên không âm thoả mãn hệ (*) cho T x , y nhỏ Từ ta cần thuê xe hiệu MITSUBISHI xe hiệu FORD chi phí vận tải thấp Bài 4.64: Nhân dịp tết Trung Thu, Xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh Để sản xuất hai loại bánh này, Xí nghiệp cần: Đƣờng, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, Giả sử số đƣờng chuẩn bị đƣợc 300kg, đậu 200kg, nguyên liệu khác có Sản xuất bánh đậu xanh cần 0,06kg đƣờng, 0,08kg đậu cho lãi ngàn đồng Sản xuất bánh dẻo cần 0,07kg đƣờng, 0,04kg đậu cho lãi 1,8 ngàn đồng Cần lập kế hoạch để sản xuất loại bánh để không bị động đƣờng, đậu tổng số lãi thu đƣợc lớn (nếu sản xuất bán hết)? A 625 bánh đậu xanh 3750 bánh dẻo B 628 bánh đậu xanh 3758 bánh dẻo C 629 bánh đậu xanh 3759 bánh dẻo D 630 bánh đậu xanh 3760 bánh dẻo Lời giải: Bài 4.64: Gọi x, y lần lƣợt số bánh Đậu xanh, bánh Dẻo ( x , y Bài tốn trở thành tìm số tự nhiên x, y thoả mãn hệ cho L 2x 1,8 y lớn Từ ta có x y 6x 2x N ) y 30000 y 5000 625 L 3750 Vậy cần 625 bánh đậu xanh 3750 bánh dẻo lãi lớn 2x 1,8 y đạt giá trị lớn  ... x ta có x 0, x suy nghiệm bất phƣơng trình x Với x x x : Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với x 2x 1 x2 2x x 4x x Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S x 1 x Bài tập luyện tập Bài 4.57: Trong bất. .. với bất phƣơng trình cho  Lập phƣơng hai vế bất phƣơng trình ta thu đƣợc bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với bất phƣơng trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong bất phƣơng trình sau đây, bất. .. 1 2x 1 x Vậy bất phƣơng trình có tập nghiệm S ; §3 BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bất phƣơng trình bậc hai ẩn Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài