Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0 sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần Giải: Gọi số phải tìm là: xab... Cho ABC vu
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI
Năm học: 2004 – 2005
Bài 1 (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên khác 0 sao cho khi viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng
chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó được gấp lên 9 lần
Giải: Gọi số phải tìm là: xab Trong đó: x N; a, b N; 0 ≤ a, b ≤ 9
Theo giả thiết: xa0b 9.xab 1000x 100a b 900x 90a 9b
Vì b ≤ 9 nên: 4b ≤ 45 50x + 5a ≤ 45 x = 0
Do đó: 5a = 4b Vì (4, 5) = 1 nên: a \ 4 và b \ 5
Nếu b = 1 không có số a nào thỏa mãn
Nếu b = 5 thì a = 4 (thỏa mãn)
Vậy: Chỉ có một số thỏa mãn là 45
Bài 2 (4 điểm) Giải phương trình sau 2 2 2 2
-Giải: Điều kiện: x ≠ ±b Ta có:
(1) (x – a2x)(x2 – b2) + b2 + a(x2 – b2) – x2 = 0
(x2 – b2)(x – a2x + a – 1) = 0
((x2 – b2)[(1 – a2)x – (1 – a)] = 0
Do điều kiện x ≠ ±b nên: (1 – a2)x = 1 – a
Biện luận:
- Nếu a ≠ ±1 x 1
1 a
Để x 1
1 a
là nghiệm của phương trình thì: 1 b
a 1
+ Nếu b = 0 thì phương trình có nghiệm: x 1
1 a
+ Nếu b ≠ 0:
a 1 a b 1
b
phương trình có nghiệm: x 1
1 a
a 1 a b 1
b
phương trình vô nghiệm
- Nếu a = 1: phương trình có vô số nghiệm x ≠ ±b
- Nếu a = –1: phương trình vô nghiệm
Kết luận:
- Nếu a = 1: phương trình có nghiệm x ±b
- Nếu a = –1: phương trình vô nghiệm
- Nếu a ≠ ±1và b = 0: phương trình có nghiệm x 1
1 a
- Nếu a ≠ ±1, a b 1
b
và b ≠ 0: phương trình có nghiệm: x 1
1 a
- Nếu a ≠ 1, a b 1
b
và b ≠ 0: phương trình vô nghiệm
Trang 2Bài 3 (4 điểm) Hãy tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x, y) với
x, y là những số nguyên:
0 4 ) 1 ( 2
0 )
2 3 (
y a x
a y a
ax
Giải: Ta có:
2
2ax 2(3a 2) 2a 0
Lấy (2) – (1): (a2 – 5a + 4)y + 2a = 0 (a – 1)(a – 4)y + 2a = 0 y 2a
(a 1)(a 4)
Vì y Z 2a (a 1)(a 4) 2a a 1 2a 2 2 a 1 2 a 1
Suy ra: a – 1 \ 2 a – 1 { ±1; ±2} a {2; 0; 3; –1} thử với y a {2; 0; 3} thỏa mãn
Bài 4 (4 điểm) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH và đường tròn (O) ngoại tiếp HAC Gọi D là
điểm đối xứng của B qua H, nối A với D cắt đường tròn (O) tại E Chứng minh:
a) CH là tia phân giác của góc ACE
b) HO // EC
c) Cho AB = a, ACE = 600 Tứ giác AHEC là hình gì? Tính diện tích của tứ giác AHEC theo a.
Giải: a) Ta có: ΔABD cân nên: ABD cân nên: A1A 2 (1)
Mặt khác: A1C 2 (cùng phụ với góc B)
Lại có: C1 A 2 (cùng chắn cung HE)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: C1C 2 CH là tia phân giác của ACE
b) Ta có: O sđ AH = 1 2.C2 ACE HO // EC
c) Từ a) và ACE = 600 ΔABD cân nên: ABD đều AH a 3
2
Do đó: HE = AH a 3
2
ΔABD cân nên: AEC có ACE = 600 CAE 30 0
Suy ra: ΔABD cân nên: AHO là tam giác đều OA = AH AC = 2 AH a 3
Kẻ đường cao HG: ΔABD cân nên: AGH là nửa tam giác đều: AG AH a 3 HG 3a2 3a2 3a
Vậy: Diện tích của hình thang cân ACEH là:
2
Bài 5 (4 điểm) Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD > AB, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại
O Cho biết SAOB = s1; SDOC = s2 Tính diện tích hình thang ABCD
Giải: Ta có: SACD = SBCD
mà SACD = SAOD + SOCD
và SBCD = SBOC + SCOD SAOD = SBOC (3)
Kẻ đường cao BK Ta có:
AOB
1
2
2
OBC
1
2 1
2
E D
O
H
A
O K
Trang 3Tương tự: OAD
OCD
Từ (3), (4) và (5): AOB AOD AOD 1 2
Vậy: SABCD s1 s2 2 s s1 2 = s1 s2 2