Đề, đáp án HSG Tỉnh Yên Bái năm học 2006-2007

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI Năm học: 2006 – 2007 Bài 1 (3 điểm). Cho A 2005 2007= + ; B 2 2006= . A lớn hơn hay nhỏ hơn B? Hãy chứng minh Giải: Vì 20062 - 1 < 20062 nên (2006 - 1) ( 2006 + 1) < 20062 ⇒ 2005 . 2007 < 20062 ⇒ 2. 2007.2005 < 2. 2006 ⇒ 2.2006 + 2. 2007.2005 < 4. 2006 ⇒ ( 2005 + 2007 )2 < 4. 2006 ⇒ 2005 + 2007 < 2. 2006 . Vậy A nhỏ hơn B Bài 2 (4 điểm). Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 3 3 (m n) A m n + = + Giải: 2 2 2 2 2 (m n) m n m n m n 1 1 A 1 1 2 2mn mn mn m n (m n)(m n mn) m n mn + + + + = = ≤ = = + ≤ + = − + + − + − (Do m ≥ 1 và n ≥ 1 nên: 1 1 1; 1 m n ≤ ≤ ). Dấu “=” xảy ra ⇔ m = n = 1 Bổ xung: có thể thêm yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Ta có: 2 2 2 2 2 (m n) m n m n m n 1 1 1 1 A 1 (m n)(m n mn) m n mn 2mn mn mn m n 2 2 + + + + = = ≤ = = + ≥ + = + + − + − − Dấu “=” xảy ra ⇔ m = n = 2 Bài 3 (4 điểm). Giải phương trình: x x 2 2 x 1+ − = − (1) Giải: ĐK: x ≥ 2. Ta có: (1) ⇒ x 1 2 x 1 1 x 2 0− − − + + + = ⇔ 2 ( x 1 1) x 2 0− − + − = ⇔ x 1 1 0 x 2 x 2 0  − − =  ⇔ =  − =   Bài 4 (5 điểm). Cho hàm số y = x 2 có đồ thị là đường cong (P) và hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ lần lượt là –1 và 2 a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M, N b) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ xOy và tìm tọa độ điểm E thuộc đoạn đường cong M, N của đồ thị (P) sao cho ∆MNE có diện tích lớn nhất Giải: a) Đường thẳng có phương trình là: y = ax +b Ta có: M(-1,1), N( 2,4) ⇒ a và b là nghiệm của hệ: a b 1 a 1 2a b 4 b 2 − + = =   ⇔   + = =   Vậy: phương trình đường thẳng đi qua M,N là: y = x + 2 b) Giả sử điểm E cần tìm có hoành độ là m∈[–1; 2] ⇒ E(m, m 2 ) Từ các điểm M,N,E ta kẻ đường vuông góc xuống trục hoành tại các điểm lần lượt là: A,B,C. Ta có: AC = m+1; BC = 2 – m và AB = 3, AM = 1; CE = m 2 ; NB = 4 S MNE = S ABNM – (S ACEM + S BCEN ) E 2 2 (1 4)3 (m 1)(m 1) (m 4)(2 m) 2 2 2   + + + + − = − +  ÷   3 2 2 3 15 m m m 1 2m 8 m 4m 2 2 + + + + + − − = − ( ) 2 2 2 3 3 1 9 27 3 1 27 m m 2 m m 2 2 2 4 8 2 2 8       = − − − = − − − = − − ≤    ÷  ÷         Vậy: với E(1/2; 1/4) thì ΔMNE có diện tích lớn nhất Bài 5 (4 điểm). Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ dài. Chứng minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có hiệu độ dài bằng 4 Giải: Giả sử ba cạnh của tam giác là n – 1, n, n + 1 (n ∈ Z, n > 4) Đường cao chia cạnh có độ dài n thành hai đoạn x, y (giả sử x > y). Ta có: x 2 = (n + 1) 2 – h 2 (1) y 2 = (n – 1) 2 – h 2 (2) Lấy (1) trừ (2) ta được: x 2 – y 2 = n 2 + 2n + 1 – n 2 + 2n – 1 = 4n ⇔ (x + y)(x – y) = 4n, mà x + y = n ⇒ x – y = 4 . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI Năm học: 2006 – 2007 Bài 1 (3 điểm). Cho A 2005 2007=. tích lớn nhất Bài 5 (4 điểm). Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ dài. Chứng minh rằng đường cao hạ xuống