Đề, đáp án HSG Tỉnh Yên Bái năm học 2006-2007

Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ dài.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI

Năm học: 2006 – 2007

Bài 1 (3 điểm) Cho A 2005 2007; B 2 2006 A lớn hơn hay nhỏ hơn B? Hãy chứng minh

Giải: Vì 20062 - 1 < 20062 nên (2006 - 1) ( 2006 + 1) < 20062

 2005 2007 < 20062  2 2005 2007 < 2 2006

 2.2006 + 2 2005 2007 < 4 2006  ( 2005+ 2007)2 < 4 2006

 2005+ 2007 < 2 2006 Vậy A nhỏ hơn B

Bài 2 (4 điểm) Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A (m n)3 32







Giải:

2



(Do m ≥ 1 và n ≥ 1 nên: 1 1 ; 1 1

m  n  ) Dấu “=” xảy ra  m = n = 1

Bổ xung: có thể thêm yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Ta có:

2

Dấu “=” xảy ra  m = n = 2

Bài 3 (4 điểm) Giải phương trình: x x 2 2 x 1 (1)

Giải: ĐK: x ≥ 2 Ta có: (1)  x 1 2 x 1 1     x 2 0

( x 1 1)   x 2   0 x 1 1 0

x 2

x 2 0







Bài 4 (5 điểm) Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường cong (P) và hai điểm M, N thuộc (P) có hoành độ lần lượt là –1 và 2

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M, N

b) Vẽ đồ thị (P) trên hệ trục tọa độ xOy và tìm tọa độ điểm E thuộc đoạn đường cong M, N của đồ thị (P) sao cho MNE có diện tích lớn nhất

Giải: a) Đường thẳng có phương trình là: y = ax +b

Ta có: M(-1,1), N( 2,4)



Vậy: phương trình đường thẳng đi qua M,N là: y = x + 2

b) Giả sử điểm E cần tìm có hoành độ là m[–1; 2]  E(m, m2)

Từ các điểm M,N,E ta kẻ đường vuông góc xuống trục hoành tại

các điểm lần lượt là: A,B,C Ta có: AC = m+1; BC = 2 – m

và AB = 3, AM = 1; CE = m2; NB = 4

SMNE = SABNM – (SACEM + SBCEN)

E

2 2

2

Vậy: với E(1/2; 1/4) thì ΔMNE có diện tích lớn nhất MNE có diện tích lớn nhất

Bài 5 (4 điểm) Độ dài các cạnh của một tam giác là các số nguyên liên tiếp không nhỏ hơn 3 đơn vị độ

dài Chứng minh rằng đường cao hạ xuống cạnh có độ dài lớn thứ hai thì chia cạnh này thành hai phần có hiệu độ dài bằng 4

Giải: Giả sử ba cạnh của tam giác là n – 1, n, n + 1 (n  Z, n > 4)

Đường cao chia cạnh có độ dài n thành hai đoạn x, y (giả sử x > y) Ta có:

x2 = (n + 1)2 – h2 (1)

y2 = (n – 1)2 – h2 (2)

Lấy (1) trừ (2) ta được: x2 – y2 = n2 + 2n + 1 – n2 + 2n – 1 = 4n

 (x + y)(x – y) = 4n, mà x + y = n  x – y = 4