SKKN SKKN sử dụng bđt để giải PT HPT

SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT Dạng 1:Sử dụng bất đẳng thức để tạo xếp vßng quanh Bài 1:Giải hệ phương trình  2x2  x2 + = y  3y3  =z  y + y +   4z4 =x   z + z4 + z2 +1 Giải: Vì 2x2 = y ≥ với x nªn x·y hai trường hợp x2 +1 1,Với y=0 x=z=0 (x;y;z)=(0;0;0) nghiệm hệ pt 2x2 2, y>0 suy z>0 x>0 dễ thấy x + ≥ x nªn ≤ x x +1 hay y ≤ x theo bđt cosy ta có: y4 + y2 + 1≥ y4y2.1 = 3y2 3y3 suy ≤ y hay z ≤ y Từ pt thứ hệ ta suy y + y +1 x ≤ z x ≤ y ≤ z ≤ x điều x·y khi x=y=z=1 thử vào pt (2);(3) tho· m·n.Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(0;0;0);(1;1;1) Bài 2:Giải hệ pt: Lại Quang Tuệ-GV trường THCS Cẩm Nhượng SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT x − y =  y − z =1   z − x = Do vai trß x,y,z b×nh đẳng ta giả sử x ≤ y; x ≤ z ĐK: x ≥ 1; y ≥ 1; z ≥ hệ cho tương đương với hệ:  x = + y (1)   y = + z ( 2)   z = + x (3) Với x ≤ y từ (1) (2) ⇒ y ≤ z Với x ≤ z từ (2) (3) ⇒ z ≤ y Do ®ã x=y=z tương đương với 1pt: x − x − = ⇔ x = Vậy nghiệm hệ pt x = y = z = 1+ 1+ Bài 3:Giải hệ pt: ( x + y + z ) = 12t  ( y + z + t ) = 12 x  ( z + t + x ) = 12 y  ( t + x + y ) = 12 z Do vai trò x,y,z,t ho¸n vị vßng quanh,kh«ng tÝnh tổng qu¸t giả sử x ≥ y; x ≥ z; x ≥ t Lại Quang Tuệ-GV trường THCS Cẩm Nhượng SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT 3 • x ≥ y ⇒ 12x ≥ 12y ⇒ ( y + z + t) ≥ ( z + t + x) ⇒ y + z + t ≥ z + t + x ⇒ y≥ x x ≥ z ⇒ 12x ≥ 12z ⇒ ( y + z + t) ≥ ( t + x + y) ⇒ y + z + t ≥ t + x + y 3 ⇒ z≥ x x ≥ t ⇒ 12x ≥ 12t ⇒ ( y + z + t) ≥ ( x + y + z) ⇒ y + z + t ≥ x + y + z 3 ⇒ t≥ x Do ®ã x=y=z=t ta cã ( 3x) = 12x ⇔ 3x(9x2 − 4) = x = 3 x = ⇔ ⇔ x = ± 9 x =  ( x; y; z) = (0;0;0);( nghiệm hệ pt 2 2 2 2 2 ; ; );(− ;− ;− ) ; ; );(- ; - ;3 3 3 3 3 3 Bài 4: Giải hệ pt:  x = y + y +   y = z + z +    z = x + x + 1  1 Ta cã x = y + y + ≥ y2 + y + =  y + ÷ suy x>0 tương  2 tự ta cã y>0; z>0 Lại Quang Tuệ-GV trường THCS Cẩm Nhượng SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT Vai trò x,y,z ho¸n vị vòng quanh giả sử x ≥ y;x ≥ z ta x ≥ y > ⇒ x2 ≥ y2; x ≥ y ⇒ x2 + x + 1 ≥ y2 + y + ⇒ z3 ≥ x3 3 ⇒ z≥ x⇒ x= z tương tự ta chứng minh y ≥ x từ ta suy x=y=z Ta cã ⇔ 3x3 = 3x2 + 3x + ⇔ 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 ⇔ 4x3 = (x + 1)3 ⇔ 4x = x + ⇔ x = ⇔ x= y= z= −1 −1 x3 = x2 + x + Bài tập ¸p dụng: Bài 1:Giải hệ pt: 4 x − y =  4 y − z = 4 z − x =  Bài 2:Giải hệ pt: 2 x = y −  2 y = z − 2 z = x −  Lại Quang Tuệ-GV trường THCS Cẩm Nhượng SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT Bài 3: Giải hệ pt  x − z + 12 z − =   y − x + 12 x − =  z − y + 12 y − =  Bài 4:Giải hệ pt: x2 = y +  y = z +1 z = x +  Dạng 2:Dự ®o¸n chứng minh pt, hệ pt có nghiệm Bài1: Giải pt: x + 3+ x = ĐK: x ≥ +) Dễ thấy x=1 nghiệm phương tr×nh v× 1+ 3+ = +) XÐt x>1 ta cã x + 3+ x < 1+ 3+ = pt kh«ng cã nghiệm lớn +)xÐt ≤ x < ta cã x + 3+ x < 1+ 3+ = pt kh«ng cã nghiệm x cho ≤ x < Vậy pt cã nghiệm x=1 Lại Quang Tuệ-GV trường THCS Cẩm Nhượng SKKN-Sử dụng BĐT để giải PT_HPT Bài 2:Giải pt: x−2 2013 + x−3 2014 =1 Dễ thấy x=2 x=3 nghiệm pt +) XÐt x>3 ta cã x − 2013 > nªn pt kh«ng cã nghiệm 2013 > pt kh«ng cã nghiệm x x cho x>3 +) XÐt x