SKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bản
Phần I - mở đầu I Lí chọn đề tài Trong trình giảng dạy thân nhận thấy việc xây dựng cho học sinh kiến thức từ kiến thức có cách vô quan trọng Điều không giúp em nhận biết đợc nguồn gốc vấn đề , khắc sâu đợc kiến thức mà giúp học sinh vận dụng đợc linh hoạt sáng tạo học toán Chính mà ngời thầy giáo phải biết gợi mở , khuyến khích học sinh tìm tòi, sáng tạo, khơi gợi hứng thú học tập em ,nhất phần kiến thức hay khó.Từ toán ban đầu đơn giản biết cách định hớng để học sinh phát phần kiến thức mà giúp em xây dựng nên trở nên nhẹ nhàng Chính mà chọn đề tài Giúp học sinh tiếp cận nâng cao từ kiến thức Thông qua đề tài muốn gửi tới học sinh phơng pháp học toán điều đơn giản Điều đơn giản mà muốn trao đổi việc mở rộng bất đẳng thức (a-b)2 Bất đẳng thức gần gũi với em học sinh nhng việc mở rộng phát triển để giải toán khác không em quan tâm Trong trình giảng dạy thân giúp học sinh khai thác vận dụng thành công kết toán này.Hy vọng vấn đề mà trăn trử nghiên cứu củng vấn đề mà đồng nghiệp củng quan tâm II.Nhiệm vụ đề tài Trong đề tài trình bày việc mở rộng số bất đẳng thức từ bất đẳng thức (a - b)2 áp dụng vào giải số tập thờng gặp kì thi học sinh giỏi , thi khảo sát chất lợng năm học sinh khối 8,9 Hy vọng vấn đề mà nghiên cứu tài liệu thiết thực cho học sinh trình học tập III.Đối tợng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu việc áp dụng số bất đẳng thức quen thuộc đợc suy từ bất đẳng thức (a - b)2 vào toán chứng minh bất đẳng thức,bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ - Đối tợng khảo sát áp dụng: học sinh ,giỏi khối 8,9 IV.Phơng pháp nghiên cứu - Phơng pháp thực hành, đúc rút kinh nghiệm thân đồng nghiệp - Phơng pháp nghiên cứu tài liệu Phần II- Nội dung đề tài A.Kiến thức bản: - Với a,b hai số ta có: (a - b)2 a + b 2ab (1) Dấu = xẩy a = b Học sinh lớp quen thuộc với bất đẳng thức dạng (1) Vấn đề đặt kết toán có dừng lại hay không ? Giáo viên có gợi mở , khuyến khích để học sinh tìm tòi ,phát triển kết toán vào giải toán khác hay không? Qua thực tế giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi học sinh nhận thấy việc mở rộng áp dụng kết bất đẳng thức dạng (1) cho nhiều kết thú vị - Với ab > chia hai vế (1) cho ab ta đợc : - Với a > , b > từ (1) cộng vào hai vế với 2ab Ta đợc a + 2ab + b 2ab + 2ab (a+b)2 4ab (3) *Chia hai vế (3) cho ab(a + b) ta đợc *Chia hai vế (3) cho ab(a+b)2 ta đợc a b + (2) b a 1 + (4) a b a +b ab ( a + b ) (5) Việc sử dụng kết có đợc từ toán ban đầu gúp học sinh có đợc thuận lợi tiến hành giải nhiều toán liên quan Sau xin trình bày việc sử dụng số kết toán vào giải số toán khác Tuy nhiên trình sử dụng giáo viên nên lu ý học sinh chứng minh lại áp dụng B.Bài toán áp dụng I.Bài toán áp dụng dạng bất đẳng thức a + b 2ab 1.1 Bài toán ví dụ: Bài toán Cho a , b ,c ba số Chứng minh : a + b + c ab + bc + ca áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: Giải a + b 2ab b + c 2bc c + a 2ca Cộng vế theo vế bất bất đẳng thức ta đợc a + b + b + c + c + a 2ab + 2bc + ca a + b + c ab + bc + ca Dấu = xẩy a = b = c Bài toán Cho a , b ,c ,d bốn số Chứng minh a + b + c + d (a + b)(c + d ) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: Giải a + c 2ac a + d 2ad b + c 2bc b + d 2bd Cộng vế theo vế bất bất đẳng thức ta đợc a + c + a + d + b + c + b + d 2ac + 2ad + 2bc + 2bd a + b + c + d (a + b)(c + d ) Dấu = xẩy a = b = c = d Bài toán Cho a , b ,c ba số Chứng minh a + b + c + 2(a + b + d ) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: a + 12 2a b + 12 2b c + 12 2c Giải Cộng vế theo vế bất bất đẳng thức ta đợc a + 12 + b + 12 + c + 12 2a + 2b + 2c a + b + c + 2(a + b + c ) Dấu = xẩy a = b = c = Bài toán Cho a , b ,c, d ,e năm số số Chứng minh a + b + c + d + e a (b + c + d + e) (Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong ,TP Hồ chí Minh 2001 - 2002) Giải áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: a + b ab 2 a + c ac a + d ad 2 a + e ae Cộng vế theo vế bất bất đẳng thức ta đợc 1 a + b + a + c + a + d + a + e + ab + ac + ad + ae 4 4 a + b + c + d + e ab + ac + ad + ae a + b + c + d + e a (b + c + d + e) Dấu = xẩy a =b=c=d=e Bài toán 5 Cho a , b ,c ba số Chứng minh (a + b + c ) 3( ab + bc + ca ) Ta có: (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca áp dụng bất đẳng thức (1), ta có: a + b + c ab + bc + ca Suy ra: (a + b + c)2 = a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca =3(ab+bc+ca) ab + bc + ca + 2ab + 2bc + 2ca Vậy : ( a + b + c) 3( ab + bc + ca) Dấu = xẩy a = b = c Bài toán Cho a , b ,c ba số thực tùy ý Chứng minh (a + b + c ) 3(a + b + c ) (Đề thi khảo sát chất lợng toán đầu năm ,PGD Cẩm Xuyên, năm học 2013 - 2014 ) Giải Ta có: (a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca áp dụngbất đẳng thức (1) 2ab a + b 2 2 2bc b + c 2ca c + a Suy ra: (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca a + b + c + a + b + b + c + c + a = 3(a + b + c ) * Từ kết toán toán ,cho a, b, c ba số ,ta có bất đẳng thức : 3( ab + bc + ca) ( a + b + c ) 3(a + b + c ) Bài toán Chứng minh a + b + c + d 4abcd Giải áp dụng bất đẳng (1) ta có: a + b 2a b c + d 2c d Cộng vế theo vế ta đợc: a + b + c + d 2a 2b + 2c d = 2(a 2b + c d ) (1) áp dụng bất đẳng (1) ta có: a 2b + c d 2abcd (2) Từ (1) (2) suy : a + b + c + d 4abcd 1.2.Bài tập tơng tự: Bài Cho a, b ,c > a + b + c = Chứng minh : ab + c bc + a ca + b + + c +1 a +1 b +1 Bài Chứng minh a + b + c abc(a + b + c ) (Đề thi học sinh giỏi toàn quốc 1994) Bài Cho a > 0, b > , c > a + b + c = Chứng minh (a+ b)(b+ c)(c + a) a3b3c3 Bài 2 Chứng minh ( a + b ) ( b + c ) 4abc(a + b + c) Bài Cho a, b ,c ,d số dơng Chứng minh ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 8abc Bài Cho a + b + c + d = Chứng minh a 2+ b2 + c2 + d2 Bài Cho a > 0, b > thỏa mãn a + b = Chứng minh 2 25 a + ữ +b + ữ a b Bài Cho a > 0, b > thỏa mãn a + b + c = 1.Chứng minh a + b 16abc Bài Cho a, b, c [ 0;1] Chứng minh (a + b ) ( + a + b + c ) ( a + b2 + c ) Bài 10 Cho a, b số thực dơng.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= + a + b2 + ab (Đề thi vào lớp 10 chuyên toán ,đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh năm học 2011-2012) II.Bài toán áp dụng bất đẳng thức a b + b a 2.1.Bài toán ví dụ: Bài toán Cho số a > 0, b > , c > Chứng minh ( a + b + c ) 1 + + ữ a b c Giải Ta có: ( a + b + c ) 1 a a b b c c a b b c a c + + ữ= + + + + 1+ + + + = + + + + + + b c a c a b b a c b c a a b c a b + b a b c + c b a c + c a áp dụng bất đẳng (2) ta có: Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta đợc : a b b c a c + + + + + 2+ 2+2 = b a c b c a Suy ra: ( a + b + c ) 1 a a b b c c a b b c a c + + ữ= + + + + + + + + = + + + + + + b c a c a b b a c b c a a b c Dấu = xẩy a = b = c *Nhận xét: Kết toán dạng mở rộng bất đẳng thức dạng (4) áp dụng cho số dơng Ta vận dụng kết cho toán sau Bài toán Cho a > 0, b > , c > Chứng minh a + b a + b + 2c a + b + + b+c a+b a+c Giải Ta có: a + b a + b + 2c a + b a + b b + c a + c a + b + + = + + ữ+ ữ b+c a+b a+c b+c a+b a+b a+c áp dụng bất đẳng (2) ta có: Cộng vế theo vế ,ta đợc: Suy : a+b b+c + b+c a+b a+c a+b + a+b a+c a+b b+c a +c a +b + + ữ+ ữ + = b+c a+b a+b a +c a + b a + b + 2c a + b a + b b + c a + c a + b + + = + + ữ+ ữ b+c a+b a+c b+c a+b a+b a+c Dấu = xẩy a = b = c Bài toán Cho a > 0, b > ,c > Chứng minh Ta có : ab bc ca + + a+b+c c a b Giải ab bc ca ab ca ab bc bc ca + + = + ữ+ + ữ+ + ữ = c a b c b c a a b b c a c b a a + ữ+ b + ữ+ c + ữ ( a.2 + b.2 + c.2 ) = a + b + c c b c a a b Dấu = xẩy a = b = c Bài toán Cho a > 0, b > ,c > Chứng minh a b c 1 + + + + bc ca ab a b c Biến đổi tơng tự toán 3, ta có: a b c b c a c a b + + = + ữ+ + ữ+ + ữ = bc ca ab ca ab bc ab bc ca b c a c b a 1 1 + ữ+ + ữ+ + ữ + + ữ = + + a c b b c a c a b a b c a b c Vậy a b c 1 + + + + bc ca ab a b c 2.2.Bài toán tơng tự: Bài Cho a > 0, b > 0, c > ,d >0.Chứng minh ( a + b + c + d ) 1 1 + + + ữ 16 a b c d Bài Cho a > 0, b > 0, c > Chứng minh 1 1 + + + a +b b+c c+d d +a a +b+c+d Bài Cho a > 0, b > 0, c > Chứng minh a+b b+c c+a + + c a b Bài Cho a > 0, b > 0, c > Chứng minh a b c + + b+c c+a a +b Bài Chứng minh a + 1 a +1 Bài Cho a, b khác 0.Chứng minh a b2 a b a) + + ữ b a b a a b2 a b b) + ữ+ + ữ a b a b 10 III.Bài toán áp dụng bất đẳng thức: ab ( a + b ) 1 + a b a +b 3.1.Bài toán ví dụ Bài toán Cho a > , b > Chứng minh 1 + 4a + 4b 8ab ( a + b ) 2 Giải Vì a > 0, b > nên 4a + 4b > 8ab > 2 áp dụng bất đẳng (4) ta có: 1 4 + = = 2 2 4a + 4b 8ab 4a + 4b + 8ab ( a + b ) ( a + b) 1 Vậy : 4a + 4b + 8ab ( a + b ) Dấu = xẩy a = b = c Bài toán Cho a > , b > 0, c > Chứng minh 1 4 + + + + a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Giải Vì a > 0, b > 0, c > áp dụng bất đẳng (4) ta có: Và 1 1 1 4 + + = + ữ+ + ữ + a b c a b a c a+b a +c 4 16 + = + = ữ a+b a+c a + b + a + c 2a + b + c a+b a+c 11 (1) Hoàn toàn tơng tự : 16 + + a b c a + 2b + c 1 16 + + a b c a + b + 2c (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) , ta có: 16 16 16 1 + + ữ + + a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 1 4 + + + + a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Dấu = xẩy a = b = c Bài toán Cho a, b ,c ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1 + + + + a + b c a b + c a + b + c a b c Giải Ta có a, b, c ba cạnh tam giác Theo bất đẳng thức tam giác: a + b > c, a + c > b , b+ c > a => a + b - c > , a -b + c > , -a +b + c áp dụng bất đẳng (4) ta có: (1) Tơng tự: (2) 1 + = a +b c a b +c a +b c + a b +c a 1 + = a + b c a + b + c a + b c a + b + c b 1 + = a b + c a + b + c a b + c a + b + c c (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2) , (3) ,ta đợc: 1 1 1 + + + + a + b c a b + c a + b + c a b c Dấu = xẩy a +b - c = a - b + c = -a + b + c a = b =c 12 Bài toán Cho a , b , c số dơng.Chứng minh 1 1 + + + + ữ a b c 2a + b 2b + c 2c + a Giải Vì a, b, c số dơng áp dụng dạng mở rộng bất đẳng (4) ( toán muc 2.1) cho ba số ta có: 1 1 9 + = + + = a b a a b a + a + b 2a + b Tơng tự: + b c 2b + c + c a 2c + a ( 1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1) ,(2) (3) , ta có: 3 9 + + + + a b c 2a + b 2b + c 2c + a + + + + ữ a b c 2a + b 2b + c 2c + a Dấu = xẩy a = b = c 1 1 1 Bài toán Cho a, b , c số thực dơng Chứng ming 1 1 + + + + ữ3 a b c a + 2b b + 2c c + 2a (Đề thi chọn giáo viên dự thi GVG tỉnh,phòng GDĐT Cẩm Xuyên năm học 2013-2014) Giải Ta có: 1 1 + + + + ữ3 a b c a + 2b b + 2c c + 2a 1 1 a3 + b3 + c3 + a + 2b + b + 2c + c + 2a ữ 13 Để đa toán dạng toán , trớc hết ta áp dụng bất đẳng thức côsi Vì a, b, c số thực dơng Nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số : Tơng tự, ta có: 1 +1+1 33 = a a a 1 +1+1 33 = b b b 1 +1 +1 33 = c c c a3 , , ta đợc (1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta đợc: 1 3 1 + + + + + = + + ữ a b c a b c a b c Kết hợp với kết toán , ta có Hay 1 1 1 + + + + + ữ + + ữ a b c a b c a + 2b b + 2c c + 2a 1 1 + + + + ữ a b c a + 2b b + 2c c + 2a Dấu = xẩy a = b = c =1 *Nhận xét: Đây toán hay khó Bài toán Cho a > 0, b > , c > , d > Chứng minh a +c b+d c+a d +b + + + a+b b+c c+d d +a Giải Vì a > 0, b > , c > , d > nên a + b > , c + d > 1 a +b+c+d 1 + Tơng tự : b+c d +a a+b+c+d a+c b+d c+a d +b a+c c+a b+d d +b đó: a + b + b + c + c + d + d + a = a + b + c + d ữ+ b + c + d + a ữ áp dụng bất đẳng (4) ta có : a + b + c + d Do 14 (a + c) + + ữ+ (b + d ) ữ a+b c+d b+c d +a 4 4( a + b + c + d ) (a + c) + (b + d ) = =4 a +b+c +d a+b+c+d a +b +c +d a +c b+d c+a d +b Vậy: a + b + b + c + c + d + d + a = Dấu = xẩy a = b = c = d Bài toán Cho a, b hai số dơng Chứng minh 1 + a + b ab ( a + b ) 2 Giải Vì a > , b > nên ab > áp dụng bất đẳng (4) ta có 1 4 + 2 a +b 2ab a + 2ab + b ( a + b) (1) 2 Theo bất đẳng thức (5),ta có: ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) (2) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1) (2) ta đợc: 1 1 + = + + + = a + b ab a + b 2ab 2ab ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) Hay 1 + a + b ab ( a + b ) 2 Dấu = xẩy a = b Bài toán Cho a, b hai số dơng thỏa mãn : a + b nhỏ biểu thức M= 1 + a +b ab Tìm giá trị (Đề thi HSG lớp - Phòng giáo dục Cẩm Xuyên, năm học 2012 - 2013) Giải Lời giải hoàn toàn tơng tự toán 15 1 + a + b ab ( a + b ) Ta có: M = Vì a , b số dơng a + b Suy : M = 1 + a + b ab nên (a + b)2 Vậy Mmin = x = y = Bài toán Cho a , b số dơng thỏa mãn a + b = Tính giá trị nhỏ biểu thức 1 M= + a b (Đề thi KSCL lớp học kì I năm học 2011 - 2012- Phòng giáo dục Cẩm Xuyên) Giải Vì a , b số dơng áp dụng bất đẳng (4) ta có M = 1 + a b a +b Mặt khác ta có: a + b 2ab 2(a + b ) a + 2ab + b 2(a + b2 ) (a + b)2 ( a + b) a + b ( a, b số dơng) Suy ra: M = Vậy Mmin = 1 4 + =2 a b a +b 2 x = y = Nhận xét: Khi biến có ràng buộc điều kiện từ toán chứng minh bất đẳng thức ta chuyển sang toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 3.2.Bài tập tơng tự: Bài Cho a , b , c số dơng.Chứng minh 1 + + 2a + b 2b + c 2c + a a + b + c Bài 16 Cho a , b , c số dơng.Chứng minh 1 + + 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4(a + b + c ) Bài Cho a , b , c số dơng,thỏa mãn a + b + c = 1.Chứng minh : 1 + + a + bc b + 2ca c +2ab Bài Cho a, b , c ba cạnh tam giác Chứng minh a b c + + b + c a a + c b a +b c Bài Cho a , b , c số dơng Chứng minh : a + b8 + c 1 + + a 3b3c a b c Bài Cho a , b số dơng Chứng minh : 1 4 + + a b 3a + b a + 3b Bài Cho a,b,c,d số dơng Chứng minh a) b) 1 1 1 1 + + + + + + ữ a b c d 2a + b + c 2b + c + d 2c + d + a 2d + a + b 1 1 1 + + + + + + ữ a b c d 3a + b 3b + c 3c + d 3d + a Phần III- Kết luận Trong đề tài nghiên cứu mở rộng số bất đẳng thức từ bất đẳng thức ( a b ) để áp dụng vào giải số toán Bản thân củng áp dụng kết nghiên cứu vào giảng dạy trờng bớc đầu thu đợc thành công định Mặc dầu cố gắng thực đề tài song lực thân có hạn nên tránh đợc thiếu sót mong nhận đợc ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp,các em 17 học sinh để đề tài hoàn thiện Để đề tài mang lại lợi ích thiết thực giảng dạy Tôi xin chân thành cảm ơn / Phần IV- Tài liệu tham khảo 1) Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số Công ty in thống kê sản xuất bao bì Huế 2)Nguyễn Thị Thanh Thủy nhóm tác giả chuyên đại học s phạm Hà Nội 18 Các chuyên đề đại số Bồi dỡng học sinh giỏi trung học sở - NXBGD 3) Nguyễn Đức Tấn Nguyễn Anh Hoàng Lơng Văn Anh Lời giải đề thi toán 8- NXB đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh 4) Bùi Văn Tuyên Bài tập nâng cao số chuyên đề toán NXB Giáo Dục 5) Lu đề thi học sinh giỏi,thi khảo sát chất lợng học kì năm phòng giáo dục đào tạo Cẩm Xuyên 19 ... đẳng thức từ bất đẳng thức (a - b)2 áp dụng vào giải số tập thờng gặp kì thi học sinh giỏi , thi khảo sát chất lợng năm học sinh khối 8,9 Hy vọng vấn đề mà nghiên cứu tài liệu thiết thực cho học. .. thực cho học sinh trình học tập III.Đối tợng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu việc áp dụng số bất đẳng thức quen thuộc đợc suy từ bất đẳng thức (a - b)2 vào toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán... bồi dỡng học sinh giỏi học sinh nhận thấy việc mở rộng áp dụng kết bất đẳng thức dạng (1) cho nhiều kết thú vị - Với ab > chia hai vế (1) cho ab ta đợc : - Với a > , b > từ (1) cộng vào hai vế