SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9

SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9SKKN Cách giải một dạng toán thường gặp ở chương trình toán 9

PHẦN I MỞ ĐẦU

I lý do chọn đề tài.

Ở trường phổ thông, việc dạy toán học cho học sinh thực chất là việc dạy các hoạt động toán học cho các em Cụ thể khi truyền thụ cho học sinh một đơn vị kiến thức thì ngoài việc cho học sinh tìm hiểu, tiếp cận, nắm vững đơn vị kiến thức đó thì một việc không kém phần quan trọng là vận dụng đơn vị kiến thức đã học vào các hoạt động toán học Đây là một hoạt động mà theo tôi, thông qua đó dạy cho học sinh phương pháp tự học, một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên đứng lớp

Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác và cùng học sinh khai thác một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa để từ đó xây dựng được một hệ thống bài tập từ

cơ bản đến nâng cao đến bài toán khó là một hoạt động không thể thiếu đối với người giáo viên

Với những lý do trên đây, trong sáng kiến này tôi đưa ra "Một dạng toán thường gặp trong chương trình Đại Số 9"

II Phạm vi nghiên cứu.

1 Phạm vi của đề tài.

Chương I Môn Đại sổ 9

2 Đối tượng

Học sinh lớp 9B, 9C trường THCS Cẩm Nhượng

3 Mục đích:

a) Kiến thức:

1 Viết một biểu thức dưới dạng lũy thừa bậc hai của một tổng hoặc hiệu

2 Rút gọn một biểu thức có dạng: A2 =A

b) Kỹ năng:

Học sinh có kỹ năng vận dụng, suy luận từ những hằng đẳng thức đã học ở lớp 8 để chứng minh đẳng thức, rút gọn biểu thức, giải phương trình, tìm GTNN của biểu thức chứa căn thức bậc hai

PHẦN II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I Cơ sở lý luận của đề tài:

Các biểu thức có dạng: a± 2 b b1 2

Với b1≥0, b2≥0 và b b1+ =2 a được viết dưới dạng lũy thừa bậc hai như sau:

±2 b b b ± b

Chứng minh:

Biến đổi vế trái

2

2

± 2 b b b b ± 2 b b

b 1 b b b b b

±

b b

=

=

II Nội dung và phương pháp nghiên cứu.

Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số bài tập sau:

Bài tập Dạng 1: Chứng minh đẳng thức

Bài tập 1 Chứng minh:

( )2

Giải

) 4 2 3 4 2 3 1 3 1

a − = − = − ( vì 3 + 1 = 4)

( )2 ) 6 2 5 5 6 2 5 1 5 5 1 5 5 1 5 1

b − − = − − = − − = − − = −

Bài tập 2 Chứng minh:

a) ( )2

9 4 5+ = 5 2+ b) 23 8 7 4 7÷÷2

− =

Giải

9 4 5 9 2.2 5 9 2 4 5+ = + = + = 5+ 4 = 5 2+ ( vì 4 + 5 = 9)

23 8 7 23 2.4 7 23 2 16 7− = − = − = 16− 7 = 4− 7 (vì 16+ 7 = 23)

x+ x− = + x− ( với x ≥ 2)

Giải

2 2 4 2 2( 2) 2 2 ( 2) 2 ( 2)

x+ x− = +x x− = +x x− = + x− ( vì 2 + x - 2 = x )

Dạng 2 Rút gọn biểu thức:

Bài tập 1 Rút gọn các biểu thức:

a) 4 2 3− − 3 b) 11 6 2 3− − + 2

Giải

2

) 4 2 3 3

4 2 3 1 3 ( 3 1) 3 3 1 3 1

= − − = − − = − − = −

( )2

) 11 6 2 3 2

11 2 9 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2

b − − +

= − − + = + − + = + − + =

( vì 9 + 2 = 11)

Bài tập 2 Rút gọn các biểu thức:

( )2

) 2 3 4 2 3 ) 15 6 6 33 12 6

Giải

( )

2

2

) 2 3 4 2 3

2 3 4 2 3 1 2 3 3 1

2 3 3 1 2 3 3 1 1

= − + − = − + −

= − + − = − + − =

) 15 6 6 33 12 6 15 2.3 6 33 2.3.2 6

3 6 3 2 6 3 6 3 2 6

3 6 2 6 3 6 ( ì3 2 6 0)

b

v

= − + − = − + −

= − + − = − <

Bài tập 3 Rút gọn các biểu thức:

a) 2 + 3 + 2 − 3 b) 3 + 5 − 3 − 5 − 2

Giải

2 3 2 3 2 2 2 2

( ì 2)

a

v

+ + − = + + −

= + + − = = =

Lưu ý: Ta cũng có thể nhân và chia với cùng một số với 2, ta có lời giải sau:

( ) ( )2 2

) 3 5 3 5 2

6 2 5 6 2 5

2

2

5 1 5 1

2 0 2

b + − − −

+ − +

Hoàn toàn tương tự như các bài tập trên ta cho học sinh tìm hiểu một bài tập khó hơn

Bài tập 4 Rút gọn biểu thức:

9 17 9 17 2

A= + − − − ( Trích đề thi HSG quận Tân Bình, TPHCM)

Giải

= + − + − = − = − =

Hoặc GV hướng dẫn HS giải như sau:

18 2 17 18 2 17

2 2

17 1 17 1

2 2

17 1 17 1

2 2

2

2 0 2

A

A

A

A

+ − −

−

+ − +

= − =

Vận dụng bài tập trên ta cho HS giải tiếp các bài tập sau:

Bài tập 5 với a > 1, rút gọn biểu thức:

a+ a− − a− a−

Giải

2 1 2 1

+ − − − − = + − −

Lưu ý: Học sinh có thể cùng nhân và chia với 2

Bài tập 6 Rút gọn

B= x− + x − +x x− − x −x với x≥ 1

Hướng dẫn

2 1 2 ( 1) 2 1 2 ( 1)

2 ( 1) 1 2 ( 1) 1

B x x x x x x x x

= − + − + − − −

= + − + − + − − + −

= + − + − −

= + − + − − =

Đến đây chắc chắn HS đã có kỹ năng giải các bài tập dạng này, ta đưa ra những

bài tập khó hơn để HS cùng tìm hiểu

Bài tập 7 Cho a, b, c là các số dương, rút gọn biểu thức:

C = a b c 2 ac bc + + + + + a b c 2 ac bc + + − +

Giải Với a, b, c > 0 ta có:

( ) ( )

= + + + + + + + − +

= + + + + + + + − +

= + + + + −

= + + + + − + + >

C a b c 2 ac bc a b c 2 ac bc

C (a b) c 2 (a b)c (a b) c 2 (a b)c

a b c a b c V a b c 0

- Nếu a + b ≥ c thì C = a + b + c + a + b − c = 2 a + b

- Nếu a + b < c thìC = a+b+ c− a+b+ c= 2 c

Tóm lại:









<

+

≥ + +

=

c

b a nÕu c

2

c b a nÕu b

a 2 C

Dạng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài tập 1 Tìm GTNN của biểu thức: N = x+ 2 x− + 1 x− 2 x− 1

( Trích đề thi HSG Toán 9 huyện Cẩm Xuyên)

Hướng dẫn ĐKXĐ: x≥ 1

1 2 1 1 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2

= − + − + + − − − +

= − + + − −

= − + + − − ≥ − + + − − =

Min N = 2 khi ⇔ ≤ ≤ 1 x 2

Bài tập 2 Cho M = x+ − 3 4 x− + 1 x+ − 15 8 x− 1 với x≥ 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị x tương ứng

( Trích đề thi HSG -TPHCM)

Hướng dẫn

( ) (2 )2

3 2 1 4 15 2 1 16

1 2 4 1

1 2 4 1 2

= + − − + + − −

= + − − + + − −

= − − + − −

= − − + − −

≥ − − + − − =

Vậy: min M = 2 khi 2 ≤ x− ≤ ⇔ ≤ ≤ 1 4 5 x 17

Dạng 4 Giải phương trình

Bài tập 1 Giải phương trình:

a) x+ 2x− 1 + x− 2x− 1 = 2 (1)

b) 2x− 2 + 2 2x− 3 + 2x+ 13 + 8 2x− 3 = 5

Nhận xét:

Ở các phương trình trên học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc hai nên có thể bình phương hai vế Nhưng ở các phương trình này sau khi bình phương ( lần 1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp Vì vậy biểu thức trong căn ta thấy sẽ viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức

Giải

ĐKXĐ: x

2

1

≥ Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 ta được:

a) 2 2 2 1 2 2 2 1 2

2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

( 2 − 1 + 1) (2 + 2 − 1 − 1)2 = 2

2 1 1 2 1 1

2 − + + − − =

Nếu 2x− 1 ≥ 1 ⇔ 2x− 1 ≥ 1 ⇔ x≥ 1

(*) ⇔ 2x− 1 + 1 + 2x− 1 − 1 = 2

⇔ 2x− 1 = 1 ⇔ 2x – 1 = 1

Nếu 2x− 1 < 1 ⇔ 2x− 1 < 1 ⇔x< 1

(*) ⇔ 2x−1+1− 2x−1+1=2

0 2x− 1 = 0 phương trình có vố số nghiệm thõa mãn: 1

2

1 ≤x≤ (3)

Kết hợp (2) và (3) phương trình có vố số nghiệm thõa mãn: 1

2

1

≤

≤ x b) Điều kiện:

2

3 0

3

2x− ≥ ⇔x≥ ;

2 2 2 2 3 2 13 8 2 3 5

2 2 2 2 3 1 (2 13 2 2 3 16 5

2 3 1 2 3 4 5;(**)

− + − + + − − =

⇔ − + + − − =

Đến đây giải tương tự như câu a

Bài tập tương tự

Bài 1 Rút gọn biểu thức:

) 8 2 15 8 2 15

) 6,5 12 6,5 12 2 6

a A

b B

c C

d D

= − − +

= − − −

= − − + +

Bài 2 Rút gọn biểu thức:

A= x− − x− − x+ − x− với 3 ≤ ≤x 4

Bài 3 So sánh hai số:

2 2 3 5 2 2 3 5

Bài 4 Giải phương trình:

a) 2x− 2 + 2 2x− 3 + 2x+ 13 + 8 2x− 3 = 5

b) + − − + + − − =

c) x+ 2x− 1 + x− 2x− 1 = 2 (Nhân cả 2 vế với 2sẽ xuất hiện HĐT) d) x− 4 x− 1 + 3 + x− 6 x− 1 + 8 = 1

e) x+ 3 + 4 x− 1 + x+ 8 − 6 x− 1 = 5

f) x+ 3 + 3 2x− 5 + x− 2 − 2x− 5 = 2 2

Bài 5 Cho biểu thức:

( ) ( )

2

1

1 4( 1)

M

x x

x

−

− − a) Tìm điều kiện của x để M có nghĩa;

b) Rút gọn M

B

ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY

I Quá trình áp dụng của bản thân:

Bản thân tôi khi nghiên cứu xong sáng kiến này, tôi đã giảng dạy sáng kiến này

cho ba đối tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tùy từng đối tượng mà tôi chọn bài tập cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong sáng kiến một cách khá dễ dàng, các em rất hứng thú khi tự mình có thể lập ra các bài toán mới tương tự

II Hiệu quả khi áp dụng đề tài

Khi giảng dạy xong sáng kiến này cho học sinh hai lớp 9B và 9C tôi đã cho các

em làm bài kiểm tra và kết quả thu được như sau:

SỐ

III Nh ững bài học kinh nghiệm rút ra:

Qua đề sáng kiến này tôi nhận thấy rằng muốn dạy cho học sinh hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc, vì vậy người thầy phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân

Khi giảng dạy sáng kiến này cho học sinh, thầy cô cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh của mình

PHẦN III KẾT LUẬN

Với hệ thống bài tập nói trên tôi đã dẫn dắt từ bài toán cơ bản đến bài toán nâng cao, tìm tòi và xây dựng bài toán khó mà cách giải bài tập sau hoàn toàn có thể suy ra

từ cách giải bài toán trước đó Với các hệ thống bài tập tương tự mà khi giảng dạy nếu người giáo viên biết khai thác và tập cho học sinh thói quen khai thác một cách hiệu quả thì rõ ràng mục đích của dạy học là dạy cho học sinh phương pháp tự học,

tự tìm tòi và khám phá hoàn toàn có thể đạt được

Trên đây là một số bài toán và suy nghĩ của tôi trong việc nâng cao chất lượng dạy học bộ môn Toán 9 Đặc biệt là tiết luyện tập Đại số sao cho có hiệu quả Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý xây dựng để trong thực tế giảng dạy của mình đối với môn toán nói chung và môn đại số nói riêng ngày càng có chất lượng hơn

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng với kiến thức còn hạn chế chắc chắn tôi chưa thể đưa ra vấn đề một cách trọn vẹn được, mong các thầy cô giáo đóng góp ý kiến xây dựng để sáng kiến này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tháng 01 năm 2015

Người thực hiện