Nhận xét đề thi môn Toán khối A năm 2009 của TS. Lê Thống Nhất: Đề thi đảm bảo tính chính xác và phân loại tốt. Đối với phần chung (7 điểm), đề thi bám sát các kiến thức cơ bản về khảo sát hàm số, phương trình tiếp tuyến tại một điểm, phương trình lượng giác (sử dụng các công thức về góc nhân đôi, công thức cộng góc đưa về dạng cơ bản), phương trình vô tỷ (sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ), tính tích phân hàm lượng giác (sử dụng đổi biến và hạ bậc hàm lượng giác). A Đề toán khối A kỳ thi ĐH 2009 Bài hình học là bài toán cơ bản về tính thể tích khối đa diện. Riêng câu V về bất đẳng thức là dành cho học sinh khá, giỏi đòi hỏi phải có biến đổi biểu thức để đưa giả thiết về dạng đối xứng và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ( Cô – si, Bunhicopsky với n = 2). Phần riêng cho từng chương trình: - Với chương trình chuẩn: Bài hình học sẽ là khó khăn cho học sinh bình thường nhưng bài về số phức lại quá dễ như sách giáo khoa. - Với chương trình nâng cao thì phần đại số là bài giải hệ cơ bản (tuy có logarit), phần hình học là phù hợp với các em học sinh. Như vậy để được điểm tối đa đòi hỏi các em phải có kỹ năng và tư duy tốt. Điểm 10 năm nay chắc sẽ ít, nhất là phải vượt qua bài V. Các em học sinh học khá vẫn có thể hy vọng được 9 điểm. VTC News Onthionline.net Câu I. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số + Tập xác định: x 3 2 ≠ − + y’ = ( ) 2 1 3 0 x 2 2x 3 − < ∀ ≠ − + + Tiệm cận Vì x x 2 1 lim 2x 3 2 →∞ + = + nên tiệm cận ngang là y = 1 2 Vì 3 3 x x 2 2 x 2 x 2 lim ; lim 2x 3 2x 3 + − →− →− ÷ ÷ + + = +∞ = −∞ + + nên tiệm cận đứng là x = - 3 2 Bảng biến thiên: Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy tại 2 0; 3 ÷ và cắt Ox tại (-2; 0) 2. Ta có 2 1 y' (2x 3) − = + nên phương trình tiếp tuyến tại 0 x x= (với 0 3 x 2 ≠ − ) là: 1 y - f( 0 x ) = f’( 0 x )(x - 0 x ) 2 0 0 2 2 0 0 2x 8x 6 x y (2x 3) (2x 3) + + − = + + + Do đó tiếp tuyến cắt Ox tại A( 2 0 0 2x 8x 6+ + ;0) và cắt Oy tại B(0; 2 0 0 2 0 2x 8x 6 (2x 3) + + + ) Tam giác OAB cân tại O OA OB⇔ = (với OA > 0) 2 2 0 0 A B 0 0 2 0 2x 8x 6 x y 2x 8x 6 (2x 3) + + ⇔ = ⇔ + + = + 0 2 0 0 0 x 1(L) (2x 3) 1 2x 3 1 x 2(TM) = − ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = − Với 0 x 2= − ta có tiếp tuyến y = −x − 2 Câu II. 1. ĐKXĐ: 5 1 x k2 ;x k2 sinx 6 6 2 sinx 1 x 2l 2 π − π ≠ − + π ≠ + π ≠ − ⇔ π ≠ ≠ + π Phương trình ⇔ cosx - 2sinxcosx = 3 (1 – sinx + 2sinx – 2sin 2 x) ⇔ cosx – sin2x = 3 + 3 sinx - 2 3 sin 2 x ⇔ 3− sinx + cosx = sin2x + 3 (1 – 2sin 2 x) = sin2x + 3 cos2x ⇔ - 3 1 1 3 sin x cos x sin 2x cos 2x 2 2 2 2 + = + ⇔ 5 5 sin x.cos cos x.sin sin 2x.cos cos 2x.sin 6 6 3 3 π π π π + = + ⇔ 5 sin x sin 2x 6 3 π π + = + ÷ ÷ ⇔ 5 x 2x m2 6 3 5 x 2x n2 6 3 π π + = + + π π π + = π − − + π 2 ⇔ x m2 x m2 2 2 2 3x n2 x n 6 18 3 π π − = − + π = − π ⇔ π π π = − + π = − + Kết hợp với đkxđ ta có họ nghiệm của pt là: x = ( ) 2 n n 18 3 π π − + ∈ ¢ 2. Đkxđ: 6 6 5x 0 x 5 − ≥ ⇔ ≤ (*) Đặt 3 3 3 2 2 2u 3v 8 u 3x 2 u 3x 2 (v 0) 5u 3v 8 v 6 5x v 6 5x + = = − = − ≥ ⇒ ⇒ + = = − = − 3 2 8 2u v 3 5u 3v 8 − = ⇒ + = 3 2 15u 64 32u 4u 24 0⇒ + − + − = 3 2 2 2 2 0 15u 4u 32u 40 0 (u 2)(15u 26u 20) 0 u 2 15u 26u 20 0 vô n do ' 13 15.20 0 u 2 x 2(tm). ⇔ + − + = ⇔ + − + = = − ⇔ − + = ∆ = − < ⇔ = − ⇒ = − Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2} Câu III. I = 2 2 5 2 0 0 cos x.dx cos x.dx π π − ∫ ∫ Ta có: I 2 = 2 2 2 0 0 1 cos x.dx (1 cos2x).dx 2 π π = + ∫ ∫ = 1 1 x sin 2x 2 2 2 4 0 π π + = ÷ Mặt khác xét I 1 = 2 2 5 4 0 0 cos x.dx cos x.cosx.dx π π = ∫ ∫ = 3 2 2 2 5 0 1 2sin x 8 (1 sin x) d(sin x) sin x sin x 2 5 3 15 0 π π − = − + = ÷ ∫ Vậy I = I 1 – I 2 = 8 15 4 π − Câu IV. Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI (ABCD)⊥ . Ta có IB a 5;BC a 5;IC a 2;= = = 3 Hạ IH BC ⊥ tính được 3a 5 IH 5 = ; Trong tam giác vuông SIH có 0 3a 15 SI = IH tan 60 5 = . 2 2 2 ABCD AECD EBC S S S 2a a 3a= + = + = (E là trung điểm của AB). 3 2 ABCD 1 1 3a 15 3a 15 V S SI 3a 3 3 5 5 = = = . Câu V. Từ giả thiết ta có: x 2 + xy + xz = 3yz ⇔ (x + y)(x + z) = 4yz Đặt a = x + y và b = x + z Ta có: (a – b) 2 = (y – z) 2 và ab = 4yz Mặt khác a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b) 2 ≤ ( ) 2 2 2 2(a b ) a b ab + − + = ( ) 2 2 2 (a b) 2ab a b ab − + − + = ( ) 2 2 2 (y z) 2yz y z 4yz − + − + = ( ) 2 2 2 (y z) 4yz y z + + + ≤ ( ) 2 2 2 4(y z) y z 2(y z) (1)+ + = + Ta lại có: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z) ≤ 3(y + z) 2 . (y + z) = 3(y + z) 3 (2) 4 Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Câu VI .a 1. Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I. Ta có N DC ∈ , F ∈ AB, IE ⊥ NE. Tính được N = (11; −1) . Giả sử E = (x; y), ta có: IE uur = (x – 6; y – 2); NE uuur = (x – 11; y + 1). IE uur . NE uuur = x 2 – 17x + 66 + y 2 – y – 2 = 0 (1) E ∈ ∆ ⇒ x + y – 5 = 0 . (2) Giải hệ (1), (2) tìm được x 1 = 7; x 2 = 6. Tương ứng có y 1 = −2; y 2 = −1 ⇒ E 1 = (7; −2); E 2 = (6; −1) Suy ra F 1 = (5; 6), F 2 = (6; 5). Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB là x – 4y + 19 = 0 hoặc ỏp ỏn v biu im thi i hc Khi A nm 2009 Trung THPT o Duy T _ TPTH ======================================================================================= Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2009 Môn thi : Tóan - khối A đáp án đề xuất Huớng dẫn chấm thi Bản hớng dẫn gồm 05 trang Câu Đáp án Điểm Phần chung cho tất cả các thí sinh 7 điểm Câu I a) Khảo sát hàm số 32 2 + + = x x y 1.00 a/ Tập xác định: = 2 3 \RD 0.25 b/ Sự biến thiên của hàm số Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đờng tiệm cận 3 3 2 2 lim , lim x x y y + = = + , nên đờng thẳng 2 3 = x là tiệm cận đứng 2 1 lim = + y x , 2 1 lim = y x , nên đờng thẳng 2 1 = y là tiệm cận ngang Bảng biến thiên : ( ) 2 3 ;0 32 1 ' 2 < + = x x y Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 2 3 ; và + ; 2 3 0.25 0.25 c/ Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm 3 2 ;0 và Cắt trục hoành tại điểm ( ) 0;2 Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm = 2 1 ; 2 3 I của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y 0.25 Giỏo viờn Nguyn Quc Tun 1 Đáp án và biểu điểm đề thi Đại học Khối A năm 2009 Truờng THPT Đào Duy Từ _ TPTH ======================================================================================= b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun 1.00 * Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = -x. Mµ y’ < 0, nªn: 2 0 1 1 (2x 3) − = − + ⇒ 0 0 0 0 x 1 y 1 x 2 y 0 = − ⇒ = = − ⇒ = 0.50 * ∆ 1 : y – 1 = -1(x + 1) ⇔ y = -x (loại) 0.25 * ∆ 2 : y – 0 = -1(x + 2) ⇔ y = -x – 2 0.25 C©u II 2.00 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 1.00 * ĐK: 1 sin 2 x − ≠ , sinx ≠ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin cos 2sin cos 3 1 sin 2sin cos 3sin sin2 3cos2 ⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇔ − = + Pt x x x x x x x x x x x x x 0.50 * cos cos 2 3 6 x x π π ⇔ + = − ÷ ÷ 2 2 ⇔ = −x k π π (loại) 2 18 3 = − +x k π π , k ∈ Z (tho¶ m·n) 0.50 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 2 3x 2 3 6 5x 8 0− + − − = 1.00 * §Ỉt xvxu 56,23 3 −=−= víi 0 ≥ v Ta ®ỵc 835 23 =+ vu 0.25 * Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi Hpt ≥ =+ =+ 0 825 832 23 v vu vu 0.25 * Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh ta ®ỵc = −= 4 2 v u 0.25 * Do ®ã 2 456 223 3 −=⇔ =− −− x x x . VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt x = -2 0.25 C©u 3 TÝnh tÝch ph©n 1.00 * Ta cã ( ) 21 2 0 2 2 0 5 2 0 23 coscoscos1cos IIxdxxdxxdxxI −=−=−= ∫∫∫ πππ 0.25 * TÝnh ( ) ( ) 15 8 sin 5 1 sin 3 2 sinsinsin1cos 2 0 5 2 0 3 2 0 2 0 2 2 2 0 5 1 =+−=−== ∫∫ ππ π ππ xxxxdxxdxI 0.25 * TÝnh ( ) 4 2sin 2 1 . 2 1 2 1 2cos1 2 1 cos 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 π ππ ππ =+=+== ∫∫ xxdxxxdxI 0.25 * VËy 415 8 21 π −=−= III 0.25 C©u 4 TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp Giáo viên Nguyễn Quốc Tuấn 2 ỏp ỏn v biu im thi i hc Khi A nm 2009 Trung THPT o Duy T _ TPTH ======================================================================================= A B D C S I H J * Vì các mp(SBI) và mp(SCI) cùnh vuông góc với mp(ABCD), nên SI là đờng cao của hình chóp Gọi H là hình chiếu của I trên BC thì góc SHI là góc giữa 2 mp(SBC) và mp(ABCD). Hay góc SHI = 60 0 0.25 * Đáy ABCD có diện tích là: Bộ Giáo dục và đào tạo Đề chính thức Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 32 2 + + = x x y (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần l ợt tại hai điểm phân biết A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ. Câu II ( 2,0 điểm) 1. Giải phơng trình: 3 )sin1)(sin21( cos)sin21( = + xx xx 2. Giải phơng trình: 0 8 - 5x - 6 .32-3x .2 3 =+ x R Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: xdxxI 2 2 0 3 cos)1(cos = . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB=AD=2a, CD=a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu V (1.0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x, y, z thoả mãn: x(x+y+z)=3yz. Ta có: (x+y) 3 + (x+z) 3 +3(x+y)(x+z)(y+z) 5(y+z) 3 Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần( phần A hoặc phần B) A. Theo chơng trình chuẩn Câu VI.a ( 2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có I(6;2) là giao điểm của hai đ ờng chéo AC và BD, Điểm M(1;5) thuộc đờng thẳng AB và trung điểm E của CD thuộc đờng thẳng : x+y-5=0. Viết phơng trình đờng thẳng AB. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 -2x-4y-6z-11=0. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đờng tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đờng tròn đó. Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phơng trình: z 2 +2z+10=0. Tính giá trị của biểu thức A= 2 2 2 1 zz + B. Theo chơng trình nâng cao Câu VI. b(2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): x 2 +y 2 +4x+4y+6=0 và đờng thẳng : x+my-2m+3=0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đờng tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (P): x-2y+2z-1=0 và hai đờng thẳng: 1 : 6 9 11 1 + == + zyx và 2 : 2 1 1 3 2 1 + = = zyx . Xác định toạ độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng cách từ M đến 2 và khoảng cách từ M đến (P) bằng nhau. Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình: Ry x, 813 )(log1)(log 22 2 22 2 = +=+ + yxyx xyyx --------Hết------- 1 Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 Môn thi: Toán; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ThÝ sinh kh«ng ®îc sö dông tµi liÖu. C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh:………………………………….; Sè b¸o danh:……………… 2 SỞ GD – ĐT ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT PHAN CHU TRINH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II – KHỐI A Môn: Toán; Năm học: 2012-2013 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: 3 32yx x=−+ có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A, B song song với nhau và độ dài đoạn AB 32= . Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải bất phương trình: 2 4 39 3xx x+ ≤+ + 2. Giải hệ phương trình: 33 2 44 1 (, ) 44 x y xy xy R x y xy −=+ ∈ +=− Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: ( ) ( ) ln 2 2 0 2 1 xx x x xe e dx e +− + ∫ Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, AD = 2a; M là một điểm thuộc cạnh AB sao cho MA = 2MB, tam giác SMI cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Biết mặt bên (SBC) hợp với đáy (ABCD) một góc bằng 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.AMID theo a. Câu V: (1,0 điểm) Cho hai số thực dương ,xy thỏa mãn: ( )( ) 6 22 1xy x y xy=+− Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 2 22 1 4 .3 4 1 4 A x y xy xy =+− − + Câu VI: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có A(0 ; 4), đỉnh B nằm trên đường thẳng ( ): 2 2 0 d xy− += . Gọi E và F lần lượt là hai điểm nằm trên BC, CD sao cho BE = CF. Biết AE cắt BF tại 16 12 ; 25 25 K . Tìm tọa độ điểm C biết rằng điểm C có hoành độ dương. Câu VII: (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm A(1 ; 1; 1); B(1 ; 2; 0) và tiếp xúc với mặt cầu (S): 222 6 4 4 13 0xyz xyz++−− −+= Câu VIII: (1,0 điểm) Cho hai số phức liên hợp nhau ,zz thỏa mãn điều kiện ( ) 2 z z là một số thực và 23 zz −= . Tìm số phức z . Sở GD – ĐT ĐăkLăk Trường THPT Phan Chu Trinh Năm học: 2012 - 2013 ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II – KHỐI A MÔN: TOÁN ; NĂM HỌC 2012 – 2013 (Đáp án – Thang điểm này gồm 4 trang) Câu Đáp án Điểm Câu I: ( 2,0 điểm) i) Tập xác định: D = R. ii) Sự biến thiên: +) Chiều biến thiên: 2 '3 3yx = − ; '0y = ⇔ 1 x = − hoặc 1x = . • Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ;1−∞ − và ( ) 1; +∞ • Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1;1− +) Cực trị: • Hàm số đạt cực đại tại x = −1 ; y CĐ = 4 • Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ; y CT = 0 +) Giới hạn: lim x y →−∞ = −∞ ; lim x y →+∞ = +∞ +) Bảng biến thiên: x −∞ −1 1 +∞ y + 0 − 0 + y’ 4 +∞ −∞ 0 iii) Đồ thị: 0,25 0,25 0,25 Giả sử ( ) 3 ; 32Aaa a−+ ; ( ) 3 ; 32Bbb b −+ với ab> là hai điểm nằm trên đồ thị (C). Vì tiếp tuyến tại A và B song song với nhau nên: '( ) '( )ya yb= ⇔ 22 3 33 3ab−= − ⇔ ab= − và 0a > (do ab > ) ( ) 2 2 2 33 3( )AB ba b a ba =− + −− − = ( ) 24 2 4 6 10aa a −+ (thay ba= − ) 32AB = ⇔ ( ) 24 2 4 6 10 32aa a−+= ⇔ 64 2 6 10 8 0aa a− + −= (*) Đặt 2 0ta= > , pt (*) trở thành: 32 6 10 8 0tt t − + −= ⇔ ( ) ( ) 2 4 220t tt− −+= ⇔ 4t = Khi 4t = , ta được 2 4a = ⇔ 2a = do 0 a > Với 22ab=⇒=− ta được ( ) 2;4A ; ( ) 2;0B − 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu II: ( 2,0 điểm) Điều kiện : 0x ≥ . Biến đổi bất phương trình về: 2 4 9 3 30x xx−+ − +≤ ⇔ ( )( ) 23 2 32 3