Đáp án và biểu điểm đề xuất thi Đại học khối A môn Toán năm 2009

ỏp ỏn v biu im thi i hc Khi A nm 2009 Trung THPT o Duy T _ TPTH ======================================================================================= Bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2009 Môn thi : Tóan - khối A đáp án đề xuất Huớng dẫn chấm thi Bản hớng dẫn gồm 05 trang Câu Đáp án Điểm Phần chung cho tất cả các thí sinh 7 điểm Câu I a) Khảo sát hàm số 32 2 + + = x x y 1.00 a/ Tập xác định: = 2 3 \RD 0.25 b/ Sự biến thiên của hàm số Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đờng tiệm cận 3 3 2 2 lim , lim x x y y + = = + , nên đờng thẳng 2 3 = x là tiệm cận đứng 2 1 lim = + y x , 2 1 lim = y x , nên đờng thẳng 2 1 = y là tiệm cận ngang Bảng biến thiên : ( ) 2 3 ;0 32 1 ' 2 < + = x x y Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 2 3 ; và + ; 2 3 0.25 0.25 c/ Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm 3 2 ;0 và Cắt trục hoành tại điểm ( ) 0;2 Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm = 2 1 ; 2 3 I của hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y 0.25 Giỏo viờn Nguyn Quc Tun 1 Đáp án và biểu điểm đề thi Đại học Khối A năm 2009 Truờng THPT Đào Duy Từ _ TPTH ======================================================================================= b) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun 1.00 * Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = -x. Mµ y’ < 0, nªn: 2 0 1 1 (2x 3) − = − + ⇒ 0 0 0 0 x 1 y 1 x 2 y 0 = − ⇒ =   = − ⇒ =  0.50 * ∆ 1 : y – 1 = -1(x + 1) ⇔ y = -x (loại) 0.25 * ∆ 2 : y – 0 = -1(x + 2) ⇔ y = -x – 2 0.25 C©u II 2.00 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 1.00 * ĐK: 1 sin 2 x − ≠ , sinx ≠ 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin cos 2sin cos 3 1 sin 2sin cos 3sin sin2 3cos2 ⇔ − = + − ⇔ − = + − ⇔ − = + Pt x x x x x x x x x x x x x 0.50 * cos cos 2 3 6 x x π π     ⇔ + = −  ÷  ÷     2 2 ⇔ = −x k π π (loại) 2 18 3 = − +x k π π , k ∈ Z (tho¶ m·n) 0.50 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 2 3x 2 3 6 5x 8 0− + − − = 1.00 * §Ỉt xvxu 56,23 3 −=−= víi 0 ≥ v Ta ®ỵc 835 23 =+ vu 0.25 * Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi Hpt      ≥ =+ =+ 0 825 832 23 v vu vu 0.25 * Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh ta ®ỵc    = −= 4 2 v u 0.25 * Do ®ã 2 456 223 3 −=⇔    =− −− x x x . VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt x = -2 0.25 C©u 3 TÝnh tÝch ph©n 1.00 * Ta cã ( ) 21 2 0 2 2 0 5 2 0 23 coscoscos1cos IIxdxxdxxdxxI −=−=−= ∫∫∫ πππ 0.25 * TÝnh ( ) ( ) 15 8 sin 5 1 sin 3 2 sinsinsin1cos 2 0 5 2 0 3 2 0 2 0 2 2 2 0 5 1 =+−=−== ∫∫ ππ π ππ xxxxdxxdxI 0.25 * TÝnh ( ) 4 2sin 2 1 . 2 1 2 1 2cos1 2 1 cos 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 π ππ ππ =+=+== ∫∫ xxdxxxdxI 0.25 * VËy 415 8 21 π −=−= III 0.25 C©u 4 TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp Giáo viên Nguyễn Quốc Tuấn 2 ỏp ỏn v biu im thi i hc Khi A nm 2009 Trung THPT o Duy T _ TPTH ======================================================================================= A B D C S I H J * Vì các mp(SBI) và mp(SCI) cùnh vuông góc với mp(ABCD), nên SI là đờng cao của hình chóp Gọi H là hình chiếu của I trên BC thì góc SHI là góc giữa 2 mp(SBC) và mp(ABCD). Hay góc SHI = 60 0 0.25 * Đáy ABCD có diện tích là: ( ) 2 3. 2 1 aADCDABS d =+= 0.25 * Tam giác IBC có diện tích 2 3 2 a SSSS ICDIABdIBC == Suy ra: 5 3 2. a IHSBCIH IBC == vì với trung điểm M của AB thì tam giác MBC vuông cân ,nên 5aBC = 0.25 * Xét tam giác vuông SIH : 5 153 60tan. 0 a IHSI == . Vởy thể tích của hình chóp là : 5 153 3 1 3 a SSIV d == 0.25 Câu 5 Chứng minh bất đẳng thức 1.00 * Vì x,y,z >0 nên x(x+y+z) = 3yz 1 3 y z y z x x x x + + = t 0, 0, 0 y z u v t u v x x = > = > = + > .Tađợc: ( ) ( ) 2 2 2 1 3 3 3 3 4 4 0 2 3 2 0 2 2 4 + + = = + ữ u v t t uv t t t t t 0.25 * Chia hai v cho x 3 bt ng thc cn chng minh a v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 3 1 1 5u v u v u v u v+ + + + + + + + 0.25 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 1 1 3 1 1 3 1 1 5 2 6 1 1 5 2 6(1 ) 5 1 2 6 1 5 4 6 4 0 2 1 2 0 3 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ữ t u v u v u v t t t u v t t u v uv t t t t t t t t t t t 0.50 * Lại do 2 t ,nên bất đẳng thức luôn đúng. Vậy ta có ĐPCM Giỏo viờn Nguyn Quc Tun 3 ỏp ỏn v biu im thi i hc Khi A nm 2009 Trung THPT o Duy T _ TPTH ======================================================================================= Phần riêng cho từng chơng trình 3.00 Phần đề thi theo chơng trình chuẩn Câu VI.a Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian 2.00 a) Viết phơng trình đờng thẳng 1.00 * Vì ( ) E nên toạ độ của E có dạng E(m; 5 m); Gi F l trung im ca AB thì F (12 m; m 1). Do E,F đối xứng nhau qua điểm I(6;2) 0.25 * Theo giả thiết ( )( ) ( )( ) 0366110. =+= mmmmFMIEFMIE 0.25 * Với m = 6 thì AB có VTPT là: ( ) 3;0 = IE , suy ra pt AB là y = 5 0.25 * Với m = 7 thì VTPT là ( ) 4;1 = IE , suy ra pt AB là x 4y + 19 = 0 0.25 b) Mặt cầu, đờng tròn giao tuyến 1.00 * PT m.c viết thành ( ) ( ) ( ) 25321 222 =++ zyx , nên tâm I(1;2;3) và R=5 0.25 * Khoảng cách d từ tâm I đến mp(P) là: Rd =<= ++ = 53 144 432.21.2 . Vậy mp(P) cắt mc(I) theo giao tuyến là đờng tròn tâm J, bán kính r. 0.25 * Bỏn kớnh ng trũn r = 2 2 R IJ 25 9 4 = = 0.25 * Phơng trình JI là x=1+2t,y=2-2t,z=3-t, nên J=(1+2t;2-2t;3-t) và ( ) PJ , suy ra tâm của đờng tròn là J(3 ;0 ;2) 0.25 Câu VII.a Số phức 1.00 * Phơng trình 0102 2 =++ zz có 2 nghiệm phức là z= -1+3i và z = -1- 3i 0.50 * Do đó A = z 1 2 + z 2 2 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 0.50 Phần đề thi theo chơng trình nâng cao Câu VI.b Phơng pháp toạ độ trong không gian 2.00 a) Tìm tham số m 1.00 * (C) : x 2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 cú tõm l I (-2; -2); R = 2 Điều kiện để ct (C) ti hai im phõn bit A, B là ( ) 2 , < I d (1) 0.25 * K ng cao IH ca IAB, ta cú: S ABC = ã 1 IA.IB.sin AIB 2 = sin ã AIB Do ú S ABC ln nht khi v ch khi sin ã AIB = 1 AIB vuụng ti I 0.25 * Ta đợc IH = IA 1 2 = (tha IH < R) 2 1 4m 1 m 1 = + 1 8m + 16m 2 = m 2 + 1 15m 2 8m = 0 m = 0 hay m = 8 15 0.50 b) Tìm điểm M 1.00 * Toạ độ của M có dạng: M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1 2 qua A (1; 3; -1) cú vộct ch phng a r = (2; 1; -2) 0.25 * Vectơ AM uuuur = (t 2; t 3; 6t 8) AM a uuuur r = (14 8t; 14t 20; 4 t) 0.25 * Ta cú : d (M, 2 ) = d (M, (P)) 2 261t 792t 612 11t 20 + = 35t 2 - 88t + 53 = 0 t = 1 hay t = 53 35 0.25 * Do đó, có 2 điểm M thoả mãn là : M (0; 1; -3) và M 18 53 3 ; ; 35 35 35 ữ 0.25 Câu VII.b GiảI hệ phơng trình 1.00 * iu kin xy > 0 0.25 Giỏo viờn Nguyn Quc Tun 4 Đáp án và biểu điểm đề thi Đại học Khối A năm 2009 Truờng THPT Đào Duy Từ _ TPTH ======================================================================================= * HÖ ph¬ng tr×nh ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 log (x y ) log 2 log (xy) log (2xy) x xy y 4  + = + =   − + =   ⇔ 2 2 2 2 x y 2xy x xy y 4  + =   − + =   0.25 * Gi¶I hpt ta ®îc 2nghiÖm lµ: x 2 y 2 =   =  vµ x 2 y 2 = −   = −  0.50 ------------------------------------- HÕt ---------------------------------- Giáo viên Nguyễn Quốc Tuấn 5 . và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2009 Môn thi : Tóan - khối A đáp án đề xuất Huớng dẫn chấm thi Bản hớng dẫn gồm 05 trang Câu Đáp án Điểm Phần chung. 2 3 4 -4 -2 2 4 x y 0.25 Giỏo viờn Nguyn Quc Tun 1 Đáp án và biểu điểm đề thi Đại học Khối A năm 2009 Truờng THPT Đào Duy Từ _ TPTH =======================================================================================