Sở Gd&Đt Nghệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007 - 2008
hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Môn: Toán lớp 12 - THPT - bảng a
(1) trở thành: (m - 3)t + (2 - m)t2 + 3 - m = 0 <=> m =
2 2
(2)
0,5
Xét f(t) =
2 2
, t 0
f/(t) =
2
t 2t (t t 1)
; f/(t) = 0 <=> t 0
t 2
Bảng biến thiên
0,5
f(t)
3
2 5
3 Phơng trình (1) có nghiệm <=> phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn t 0
<=> 5
m 3
cosx x
(1)
3,0
(1) <=> tgx.sin2x - x3 > 0
Xét f(x) = tgx.sin2x - x3 > 0 ; x (0; )
2
0,5
f/(x) = tg2x + 2sin2x - 3x2
f//(x) = 2tgx 12
cos x + 4sinx.cosx - 6x = 3
2sin x cos x + 2sin2x - 6x
f///(x) =
6
2cos x 6sin x.cos x
4cos2x 6 cos x
0,5
=
2 4
2cos x 6sin x
8cos x 10 cos x
4
8cos x 10cos x 4cos x 6
cos x
=
2(cos x 1) (4cos x 3)
0
x (0; )
Trang 2=> f//(x) đồng biến trên (0; )
2
=> f//(x) > f//(0) = 0 , x (0; )
2
0,5
=> f/(x) đồng biến trên (0; )
2
=> f/(x) > f/(0) = 0 , x (0; )
2
0,5
=> f(x) đồng biến trên (0; )
2
=> f(x) > f(0) = 0 , x (0; )
2
0,5
a.
x + y = 3 <=> y = 3 - x Ta có x 0
y 1
=> x 0;2
0,5 Thay vào P: P = x3 + 2(3 - x)2 + 4x(3 - x) - 5x + 3x2 = x3 + x2 - 5x + 18 0,5 Xét f(x) = x3 + x2 - 5x + 18 ; x 0;2
f/(x) = 3x2 + 2x - 5 ; f/(x) = 0 <=>
x 1 5
Vậy max P 20 t
min P 15 t
ại x = 2 ; y = 1
ại x = 1 ; y = 2
x y sinx
sin y cos2y sin 2y sin x cos x 1 (2)
4
Ta có (1) <=> sin xx sin yy /
(1 )
Xét f(t) = sin tt
e , t 0;4
f/(t) = t
2.cos(t )
e (cos t sin t) cos t sin t 4
0 , t (0; )
4
0,5
=> f/(t) đồng biến trên 0;
4
Khi đó từ (1
/) => x = y
0,5
Trang 3Thay vào (2) ta đợc:
3 8x 3 1 6 2x 2x 1 8x
<=> 3( 8x2 3 8x2 8x 4) 8x 1
<=> 3(8x - 1) = (8x - 1)( 8x2 3 8x2 8x 4 )
<=> (8x - 1)( 8x2 3 8x2 8x 4 - 3) = 0
<=>
8x 1 0
0,5
Xét phơng trình (*) ta có:
8x 3 8x 8x 4 - 3
= 8x2 3 2(2x 1) 22 3 3 2 3 0
=> phơng trình vô nghiệm
0,5
Với 8x - 1 = 0 <=> x = 1
0;
Vậy hệ có nghiệm
1 x 8 1 y 8
Với n N*, xét f(x) = x
1
x n
2008 ; x R.
f/(x) = - ln 2008x
2008 - 1 < 0 x R.
Ta có:
n
n 1
1
2008
1
2008
=> f(x) =0 có nghiệm xn (n; n + 1) (2)
Ta có: xn - n =
n
x
1
2008 > 0 => x
n > n
=> 0 < xn - n < 1 n
Mặt khác: lim 1 n
0
Khi đó lim(xn - 1 - xn) = lim{[xn + 1- (n + 1)] - (xn - n) + 1} = 1 0,5
Bài 4.
Trang 4 S = 1
2CH.AB (1).
Ta có: AB = 2
Phơng trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) = a b 5
2
do đó: (1) <=> 3 1 a b 5
<=> a b 8
a b 2
Toạ độ G(a 5 b 5
;
)
Ta có: G <=> 3(a 5) b 5
8 0
<=> 3a - b = 4
0,5
=> C(-2; -10)
0,5 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89
=> r = 2S 3
TH2: a b 2 a 1
=> C(1; -1)
0,5 Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2
=> r = 3
b. Xét hệ toạ độ Axy nh hình vẽ:
O(R; 0)
0,5 Gọi M(x0; y0)
MT = MH <=> MT2 = MH2 <=> OM2 - R2 = MH2
<=> (x0 - R)2 + y0 - R2 = x0 <=> y0 = 2Rx0
=> M (P): y2 = 2Rx ; (P) có tiêu điểm F(R
;0
Xét đờng tròn (C) tâm F, bán kính R
2 .
R
MF x
2
=> MF = MT + R
2 .
0,5
A H
y
T M(x0; y0)
Trang 5=> (M, MT) tiÕp xóc (C) => (®pcm) 0,5
