de thi hkii toan 11 tinh nam dinh 2008 2009 49728

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH CÀ MAU NĂM HỌC : 2008 – 2009 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể phát đề) Ngày thi : 01/03/2009 Bài 1: (3,0 điểm) a. Tính giá trị của biểu thức : S = 32 32 − + + 32 32 + − . b. Rút gọn biểu thức: y = 12 2 +− xx + 44 2 +− xx Bài 2: (3,0 điểm) a. Chứng minh rằng số a = 2 ( 32)13( −+ là số hữu tỉ. b. Cho đa thức f(x) = mx 3 + (m-2)x 2 – (3n – 5)x – 4n. Xác định m,n sao cho đa thức f(x) chia hết cho x + 1 và x – 3. Bài 3: (3,0 điểm) Tìm một số tự nhiên gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số ở hàng đơn vị đặt về bên trái của số gồm hai chữ số còn lại, ta được một số có 3 chữ số lớn hơn chữ số ban đầu là 765 đơn vị. Bài 4: (3,0 điểm) Cho đa thức f(x – 1) = x 2 – (m+1)x – m 2 + 2m – 2. a. Tìm f(x). b. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) khi m = - 2. Bài 5: (3,5 điểm). Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh CD, E là giao điểm của AC và BI , F là giao điểm của hai tia AB và DE. Chứng minh rằng: a. B là trung điểm của đoạn AF. b. Nếu BC = BD thì AC = FD. c. Nếu AC = FD thì BC = BD. Bài 6: (4,5 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Trong đó hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại M. Cho biết ADB là tam giác cân có góc A>90 0 . a. Chứng minh rằng : AD 2 = AM.AC b. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DCM và J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Chứng minh rằng : IDB = JBD. c. Chứng minh rằng: Tổng các độ dài của hai đoạn thẳng ID và JB không tùy thuộc vào vị trí của điểm C trên cung lớn BD của đường tròn (O). Onthionline.net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI HỌC KỲ II LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn : Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm 90 phút) Đề thi gồm 01 trang I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH ( 7,0 ĐIỂM ) Câu ( 2,0 điểm ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = − x + x − điểm M ( 1;4 ) Cho hàm số f ( x) = cos x + 5sin x Giải phương trình f '( x) = Câu ( 2,0 điểm ) Tính giới hạn sau : x − 2x + 9x2 − + x a) lim b) lim x→ x → +∞ x2 − x+3 Câu ( 3,0 điểm ) Cho hình chóp S.BCD có đáy ABCD hình vuông ; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Kẻ AE vuông góc với SB E ; kẻ AK vuông góc với SD K Chứng minh : mặt bên hình chóp S.ABCD tam giác vuông Chứng minh : mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (AEK) II PHẦN RIÊNG ( 3,0 ĐIỂM ) Học sinh chọn hai phần sau : Phần Iia phần Iib Phần IIa ( Dành cho học sinh học chương trình chuẩn ) Câu 4a ( 1,0 điểm ) Với hình chóp S.ABCD cho Câu , tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (AKE ) Biết : AB = a SA = 2a n −1) 1 ( Câu 5a ( 1,0 điểm ) Tính tổng S = −1 + − + + n−1 + 3 5x = có Câu 6a ( 1,0 điểm ) Chứng minh phương trình sin ( π x ) −  π π ba nghiệm khoảng  − ; ÷  2 Phần IIb ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao ) Câu 4b ( 1,0 điểm ) Với hình chóp S.ABCD cho Câu , tính khoảng cách hai đường thẳng AE SC Biết : AB = SA = a Câu 5b ( 1,0 điểm ) Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân ( un ) , biết :  u − u = −  27  u − u =  81 Câu 6b ( 1,0 điểm ) Cho phương trình x − sin mx − n = ( với m , n số dương cho trước ) Chứng minh phương trình cho có nghiệm HẾT Sở Giáo dục − ðào tạo Nam ðịnh ðỀ CHÍNH THỨC Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên Năm học 2008 − 2009 Môn: Toán − Ngày thứ nhất Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1 (4 ñiểm): CMR trong 4 số thực dương không nhỏ hơn 1 luôn tồn tại 2 số a;b thỏa mãn 2 2 ( 1)( 1) 1 3 2 a b ab − − + ≥ Bài 2 (5 ñiểm): Cho x;y là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2 6x y xy + + ∈ Z Tìm tất cả các cặp số (x;y) ñể 2 2 6 x y xy + + là lập phương của 1 số tự nhiên. Bài 3 (2 ñiểm): Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn ñồng thời 2 ñiều kiện sau với mọi cặp số thực x;y: i) f(x) ≥ e 2009x với 1 lim 1 x x e x →∞   = +     ii) f(x+y) ≥ f(x).f(y) Bài 4 (5 ñiểm): Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích là S. ðặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. CMR 2 2 2 2 13 6 2 4 2 a b c d S+ − + ≥ Bài 5 (4 ñiểm): Cho dãy số {x n } xác ñịnh bởi: 0 1 0 ( 1) 2008 n n n x x x − =    = + −   với mọi n = 1;2;3;… CMR dãy số {x n 2 } có giới hạn hữu hạn và tính 2 lim n x x →+∞ . Hết Sở Giáo dục − ðào tạo Nam ðịnh ðỀ CHÍNH THỨC Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên Năm học 2008 − 2009 Môn: Toán − Ngày thứ hai Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1 (2 ñiểm): Cho a;b;c các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 1. CMR: 3 2 ab bc ca c ab a bc b ca + + ≤ + + + Bài 2 (5 ñiểm): Giải hệ phương trình với ẩn x;y;z dương: 2 2 2 2 3 4 4 3 2 2 1 3 3 1 4 4 6 z xyz x y y x x y z zy y y y z  + =  + = +   + + = +  Bài 3 (4 ñiểm): Cho các số thực a;b;c;d;e. CMR nếu phương trình ax 2 +(b+c)x+d+e = 0 có nghiệm thực thuộc khoảng [1;+∞) thì phương trình ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e = 0 có nghiệm thực. Bài 4 (5 ñiểm): Tìm tất cả các hàm số :f + → ℝ ℝ tăng và thỏa mãn ñiều kiện f(x+1) = f(x) + 2 −x với mọi số thực dương x. Bài 5 (4 ñiểm): Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy ñiểm D sao cho BD = 2DC. Giả sử P là ñiểm trên ñoạn AD sao cho ∠ BAC = ∠ BPD. Chứng minh rằng ∠ BAC = 2 ∠ DPC Hết Sở Giáo dục − ðào tạo Nam ðịnh ðỀ CHÍNH THỨC Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên Năm học 2008 − 2009 Môn: Toán − Ngày thứ hai Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1 (2 ñiểm): Cho a;b;c các số thực dương thỏa mãn a+b+c = 1. CMR: 3 2 ab bc ca c ab a bc b ca + + ≤ + + + Bài 2 (5 ñiểm): Giải hệ phương trình với ẩn x;y;z dương: 2 2 2 2 3 4 4 3 2 2 1 3 3 1 4 4 6 z xyz x y y x x y z zy y y y z  + =  + = +   + + = +  Bài 3 (4 ñiểm): Cho các số thực a;b;c;d;e. CMR nếu phương trình ax 2 +(b+c)x+d+e = 0 có nghiệm thực thuộc khoảng [1;+∞) thì phương trình ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e = 0 có nghiệm thực. Bài 4 (5 ñiểm): Tìm tất cả các hàm số :f + → ℝ ℝ tăng và thỏa mãn ñiều kiện f(x+1) = f(x) + 2 −x với mọi số thực dương x. Bài 5 (4 ñiểm): Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy ñiểm D sao cho BD = 2DC. Giả sử P là ñiểm trên ñoạn AD sao cho ∠ BAC = ∠ BPD. Chứng minh rằng ∠ BAC = 2 ∠ DPC Hết Sở Giáo dục − ðào tạo Nam ðịnh ðỀ CHÍNH THỨC Kì thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên Năm học 2008 − 2009 Môn: Toán − Ngày thứ nhất Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1 (4 ñiểm): CMR trong 4 số thực dương không nhỏ hơn 1 luôn tồn tại 2 số a;b thỏa mãn 2 2 ( 1)( 1) 1 3 2 a b ab − − + ≥ Bài 2 (5 ñiểm): Cho x;y là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2 6x y xy + + ∈ Z Tìm tất cả các cặp số (x;y) ñể 2 2 6 x y xy + + là lập phương của 1 số tự nhiên. Bài 3 (2 ñiểm): Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn ñồng thời 2 ñiều kiện sau với mọi cặp số thực x;y: i) f(x) ≥ e 2009x với 1 lim 1 x x e x →∞   = +     ii) f(x+y) ≥ f(x).f(y) Bài 4 (5 ñiểm): Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích là S. ðặt AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. CMR 2 2 2 2 13 6 2 4 2 a b c d S+ − + ≥ Bài 5 (4 ñiểm): Cho dãy số {x n } xác ñịnh bởi: 0 1 0 ( 1) 2008 n n n x x x − =    = + −   với mọi n = 1;2;3;… CMR dãy số {x n 2 } có giới hạn hữu hạn và tính 2 lim n x x →+∞ . Hết