RELATIVE CLAUSES Exercise 1: Combine the sentences, using who, whom, whose or which I met a lot of people at the party. I can’t remember their names. ->…………………………………………………………………………………………………………………………… 2. I talked to a woman. Her car had broken down on the way to the party. ->………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. He gave me the information. I wrote it down at once. ->…………………………………………………………………………………………………………………………… 4. Lan went to see the dentist. He took out one of her teeth. ->…………………………………………………………………………………………………………………………. 5. Tam lives in the house around the corner. It has a green front door. ->…………………………………………………………………………………………………………………………… 6. Show me the photographs. You took them last week. ->……………………………………………………………………………………………………………………… 7. Have you posted the letter? I gave you yesterday. ->………………………………………………………………………………………………………………………… 8. My friend refused to go to the cinema with me. He hated horror film. ->……………………………………………………………………………………………………………………… 9. Have you found the keys? You lost them. ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… 10. You sent me the present. Thank you very much for it. (Thank you very much for ………) -> …………………………………………………………………………………………………………………………. 11. She was dancing with a student. he had a slight limp. (two ways) -> …………………………………………………………………………………………………………………………. 12. I’m looking after some children. They are terribly spoilt. (two ways) -> ……………………………………………………………………………………………………………… 13. Romeo and Juliet were lovers. Their parents hated each other. -> ……………………………………………………………………………………………………………… 14. The man was sitting at the desk. I had come to see this man. -> ……………………………………………………………………………………………………………… 15. This is the story of a man. His wife suddenly loses her memory. -> ……………………………………………………………………………………………………………… 16. The shop will make a big profit. Its turnover is the largest. ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… 17. We are studying sentences. They contain adjective clauses. ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… 18. Algebra problems contain letters. They stand for unknown numbers. ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercise 2: Combine the sentences, using defining or non-defining relative clauses: 1. Aunt Joan is a bit deaf, so she didn’t hear the phone. ->………………………………………………………………………………………………………… 2. Ba has just moved to Hai Phong. His mother died last year. ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. Who was that boy? You were with him this morning? ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. I was waiting for a man. he didn’t turn up. (The man………….) -> ……………………………………………………………………………………………………………… 5. This is a story of a groups of boys. Their plane crashed on an uninhabited island. -> ……………………………………………………………………………………………………………… 6. This is Mrs Jones. Her son won the championship last year. -> ……………………………………………………………………………………………………………… 7. His girl friend turned out to be an enemy spy. he trusted her absolutely. -> ……………………………………………………………………………………………………………… 8. Tom had been driving all day. he was tired and wanted to stop. -> ……………………………………………………………………………………………………………… 9. I went to Munich. I had always wanted to visit Munich. -> ……………………………………………………………………………………………………………… 10. I apologized for the woman. I spilt her coffee. -> ……………………………………………………………………………………………………………… Exercise 3: Combine the sentences, using “preposition+ relative pronouns” 1. The girl is very beautiful. I talked with her at my friend’s party last night. ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. The man teaches me Maths. I told you about him last week. ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. I’ll give you my office address. You should send the document to it. ->…………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. The book is very interesting. We are Onthionline.net GV: Lê Thế Nhân Đạisố tổ hợp Phần 2: ĐẠISỐ TỔ HỢP – NHỊ THỨC NIU TƠN XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài 1: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn? e/ Khác nhau, có số lẻ? Bài 2: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? Bài 3: Trên kệ sách có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý ? b) Theo môn? c) Theo môn sách Toán nằm giữa? Bài 4: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a/ Bạn C ngồi giữa? b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế? Bài 5: Cho 10 điểm không gian, điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm? b) Có vectơ nối cặp điểm? c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên? d) Nếu 10 điểm điểm đồng phẳng, thh́ có tứ diện tạo thành? Bài 6: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức: a) x + 10 1 ÷ x4 b) x2 + 12 1 ÷ x4 c) x3 − 1 ÷ x2 d) x2 − ÷ x Bài 7: a/ Tìm hệ số x12y13 khai triển (2x + 3y)25 b/ Tìm số hạng khai triển (x3 − xy)15 x c/ Tìm hệ số x5 khai triển: (3x − ) 10 Bài 8: Khai triển: a (2x – y)9 b ( x − ) x2 c (3x – 2y)6 Bài 9: Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất b) Tích hai mặt xuất số lẻ Trang Onthionline.net GV: Lê Thế Nhân Đạisố tổ hợp c) Tích hai mặt xuất số chẵn Bài 10: Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy: a Được viên bi xanh viên bi đỏ b Được viên bi xanh c Không lấy viên bi xanh d Lấy viên bi xanh Bài 11: Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi môn GVCN chọn em Tính xác suất: a Chọn học sinh giỏi môn b Chọn học sinh giỏi môn c Chọn học sinh giỏi toán Bài 12: Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bh́nh Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để : a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi c) Không có học sinh trung bh́ình Bài 13 Một lớp có 45 học sinh gồm 30 nam 15 nữ Giáo viên muốn chọn học sinh lao động Tính xác suất: a Chọn học sinh nữ b Chọn học sinh có nam nữ c Chọn học sinh có nam d Chọn học sinh nam làm ba nhiệm vụ khác Còn học sinh nữ làm nhiệm vụ Bài 14: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất a Để em khác phái b Để em phái Bài 15: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được: a) bóng tốt b) bóng tốt c)Cả bóng không tốt Bài 16: Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất: a Có cầu đen cầu trắng b Có màu đen Bài 17: Xếp ngẫu nhiên người đàn ông, người phụ em bé vào ghế kê hàng ngang Tính xác suất cho: a Đứa bé ngồi người phụ nữ b Đứa bé ngồi người đàn ông Trang CHUYấN 2 I S T HP A. MT S DNG TON THNG GP I) QUY TC CNG V QUY TC NHN: Bi 1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ? Bi 2: Có 4 con đờng nối liền điểm A v điểm B, có 3 con đờng nối liền điểm B v điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi v về nếu ta không muốn dùng đờng đi lm đờng về trên cả hai chặng AB v BC? Bi 3: Có 5 miếng bìa, trên mỗi miếng ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa ny đặt lần lợt cạnh nhau từ trái sang phải để đợc các số gồm 3 chữ số. Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số v trong đó có bao nhiêu số chẵn? Bi 4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ số trên có thể lập đợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau v không chia hết cho 10. Bi 5: Một ngời có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc v 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần đen; v có 3 đôi giy, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi ngời đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo - quần - giy, nếu: 1) Chọn áo, quần v giy no cũng đợc. 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần no v giy no cũng đợc; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen v đi giy đen. II) HON V - CHNH HP - T HP: Bi 1: Có n ngời bạn ngồi quanh một bn tròn (n > 3). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: 1) Có 2 ngời ấn định trớc ngồi cạnh nhau. 2) 3 ngời ấn định trớc ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định Bi 2: Một đội xây dựng gồm 10 công nhân v 3 kỹ s. Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kỹ s lm tổ trởng, 1 công nhân lm tổ phó v 5 công nhân lm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Bi 3: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bn, mỗi bn có 5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Các học sinh ngồi tuỳ ý. b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bn Bi 4: Với các số: 0, 1, 2, , 9 lập đợc bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số. Bi 5: Từ hai chữ số 1; 2 lập đợc bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ số 1 v ít nhất 3 chữ số 2. Bi 6: Tìm tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau đợc viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5 Bi 7: Trong một phòng có hai bn di, mỗi bn có 5 ghế. Ngời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam v 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: 1) Các học sinh ngồi tuỳ ý. 2) Các học sinh nam ngồi một bn v các học sinh nữ ngồi một bn. Bi 8: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thnh lập đợc bao nhiêu số chia hết cho 3 v gồm 5 chữ số khác nhau Bi 9: Từ các chữ cái của câu: "TRNG THPT Lí THNG KIT" có bao nhiêu cách xếp một từ (từ không cần có nghĩa hay không) có 6 chữ cái m trong từ đó chữ "T" có mặt đúng 3 lần, các chữ khác đôi một khác nhau v trong từ đó không có chữ "Ê" Bi 10: Cho A l một tậphợp có 20 phần tử. a) Có bao nhiêu tậphợp con của A? b) Có bao nhiêu tậphợp con khác rỗng của A m có số phần tử l số chẵn? Bi 11: 1) Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau đợc tạo thnh từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đợc tạo thnh từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 n các số đó nhỏ hơn số 345? Bi 12: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập đợc, có bao nhiêu số m hai chữ số 1 v 6 không đứng cạnh nhau? Bi 13: Một trờng tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi no. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. Bi 14: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Bàitập về đạisố tổ hợp: Quy tác cộng, Quy tắc nhân: 1. Một trờng phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai ngời sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn nh trên? 2. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8. a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau? b. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5? 3. Có thể lập bao nhiêu số chẳn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 0,2,3,6,9? 4. Có bao nhiêu số chẳn có 4 chữ số đôi một khác nhau? 5. Từ các sô 0,1,2,3,4,5. a. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 b. có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9? Hoán vị. 1. Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5. a. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau? b. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và bắt đầu là số3? c. Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và không bắt đầu bằng số 1. d. Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và bắt đầu la chữ số lẻ? 2. Có bao nhiêu xếp 5 bạn A,B,C,D, E vào một ghế dài sao cho: a. Bạn C ngồi chính giữa. b, Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế? 3. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn Văn, 2 cuốn Toán, 6 cuốn Anh Văn, Hỏi có bao nhiêu cách sắp các cuốn sách lên một kệ dài sao cho các cuốn cùng môn nằm kề nhau? 4. Có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Ngời ta muốn xếp chổ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a. Các học sinh ngồi tuỳ ý? b. Các học sinh nam ngồi một bàn, học sinh nữ ngồi một bàn? 5. Xét các số gồm 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu cách sắp nếu a. Năm chữ số 1 xếp kề nhau b. Năm chữ số 1 xếp tuỳ ý? Chỉnh hợp. 1. Từ các số 1,2,3,4,5,6 lập bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau? 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?? 3. Từ các số 0,1,3,5,7 lập bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau a. Chia hết cho 5 b. Không chia hết cho 5? 4. Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau trong đó a. Số tạo thành là số chẳn? b. Một trong 3 chữ số đầu tiên phải có mặt số 1? c. nhất thiết phải có mặt chữ số 5?? d. Phải có mặt hai số 0 và 1? 5. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 lập đựoc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276?? 6, Giải các phơng trình và bất phơng trình sau: a. )2(672. 2 ã 2 xxxx PAAP +=+ b. xAA xx 215 23 + c. 8910 9 xxx AAA =+ Tổ hợp. 1. Đề thi trắc nghiệm có 10câu hỏi Học sinh cần chọn trả lời 8 câu a. Hỏi có mấy cách chọn tuỳ ý? b. Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc? 1 c. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau?? 2. Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn? 3. Có 5 tem th khác nhau và 6 bì th khác nhau. Ngời ta muốn chọn từ đó ra 3 tem th và 3 bì th và dán 3 tem th lên 3 bì th đã chọn. Mỗi bì th chỉ dán 1 tem. Hỏi có bao nhiêu cách làm nh thế? 4. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngời đi dự Hội nghị sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp? 5. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý. Muốn lập một đoàn công tác có 3 nguời gồm cả nam lẫn nữ, cần có nhà Toán hoc lẫn Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 6. Một đội Văn Nghệ gồm 10 nguời trong đó có 6 nữ, 4 nam. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ: a. Thành hai ĐẠISỐ TỔ HP
Chương I
QUY TẮC CƠ BẢN CỦA PHÉP ĐẾM
Môn đạisố tổ hợp (có sách gọi là giải tích tổ hợp) chuyên khảo sát các hoán vò,
tổ hợp, chỉnh hợp, nhằm xác đònh số cách xảy ra một hiện tượng nào đó mà
không nhất thiết phải liệt kê từng trường hợp.
1. Trong đạisố tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc cơ bản của phép đếm, đó là
quy tắc cộng và quy tắc nhân.
a) Quy tắc cộng :
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện
tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện
tượng kia là : m + n cách.
Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần
chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Có : 3 + 2 = 5 cách chọn.
Ví dụ 2. Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực
khách cần chọn đúng 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Có : 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn.
b) Quy tắc nhân :
Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi
tiếp đến hiện tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi”
hiện tượng 2 là : m
× n.
Ví dụ 1. Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao
thông : đường bộ, đường sắt và đường hàng không. Hỏi có mấy cách chọn
phương tiện giao thông để đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay
về?
Giải
Có : 3
×
3 = 9 cách chọn.
Ví dụ 2. Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tòch, 1 phó chủ
tòch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có
mấy cách ?
Giải
Có 15 cách chọn chủ tòch. Với mỗi cách chọn chủ tòch, có 14 cách chọn phó chủ
tòch. Với mỗi cách chọn chủ tòch và phó chủ tòch, có 13 cách chọn thư ký.
Vậy có : 15 14 × 13 = 2730 cách chọn. ×
2) Sơ đồ cây
Người ta dùng sơ đồ cây để liệt kê các trường hợp xảy ra đối với các bài toán
có ít hiện tượng liên tiếp và mỗi hiện tượng có ít trường hợp. Chú ý ta chỉ dùng
sơ đồ cây để kiểm tra kết quả.
Ví dụ. Trong một lớp học, thầy giáo muốn biết trong ba môn Toán, Lý, Hóa
học sinh thích môn nào theo thứ tự giảm dần. Số cách mà học sinh có thể ghi là
:
H
T
L
L H T H T L
H L H T L T
3. Các dấu hiệu chia hết
– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276).
– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho
4 (ví dụ : 1300, 2512, 708).
– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5.
– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết
cho 8 (ví dụ : 15000, 2016, 13824).
– Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835).
– Chia hết cho 25 : số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
– Chia hết cho 10 : số tận cùng là 0.
Ví dụ. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số
đôi một khác nhau không chia hết cho 9.
Giải
Gọi : n = abc là số cần lập.
m = abc
′′′
là số gồm 3 chữ số khác nhau.
=
m
′
111
abc
là số gồm 3 chữ số khác nhau mà chia hết cho 9.
Ta có : tập các số n = tập các số m – tập các số
m
′
.
* Tìm m : có 5 cách chọn a
′
(vì a
′
≠
0), có 5 cách chọn b
′
(vì b ), có 4
cách chọn (vì
c và
′
≠
a
′
c
′ ′
≠
a
′
c
′
≠
b
′
). Vậy có :
5
×
5
×
4 = 100 số m.
* Tìm m : trong các chữ số đã cho, 3 chữ số có tổng chia hết cho 9 là
{
′
}
0, 4, 5
,
{
}
1, 3, 5 ,
{
}
2, 3, 4 .
• Với
{
}
0, 4, 5 : có 2 cách chọn a
1
, 2 cách chọn b
1
, 1 cách chọn c
1
, được
2
×
2
×
1 = 4 số
m
′
.
• Với
{
}
1, 3, 5 : có 3! = 6 số Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương CHUYÊN ĐỀ 2: ĐẠISỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT Kiến thức 1.1 Đạisố tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng: Có n1 cách chọn đối tượng A1 n2 cách chọn đối tượng A2 A ∩ A2 = ∅ ⇒ Có n1 + n2 cách chọn đối tượng A1, A2 1.1.2 Quy tắc nhân: Có n1 cách chọn đối tượng A1 Ứng với cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2 ⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2 1.1.3 Hoán vị: − Mỗi cách thứ tự n phần tử gọi hoán vị n phần tử − Số hoán vị: Pn = n! 1.1.4 Chỉnh hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) thứ tự chúng gọi chỉnh hợp chập k n phần tử n! k − Số chỉnh hợp: An = (n − k )! 1.1.5 Tổ hợp: − Mỗi cách lấy k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử n! k − Số tổ hợp: Cn = k !(n − k )! k n −k k −1 k k − Hai tính chất: Cn = Cn , Cn−1 + Cn−1 = Cn 1.1.6 Nhị thức Newton n (a + b) = ∑ Cnk a n− k b k = Cn0 a n + Cn1a n−1b + + Cnnb n n k =0 k n −k k − Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): Tk +1 = Cn a b n 2 n n − Đặc biệt: (1 + x) = Cn + xCn + x Cn + + x Cn 1.2 Xác suất 1.2.1 Tính xác suất định nghĩa cổ điển: P ( A ) = + ≤ P(A) ≤ ΩA Ω + P ( Ω) = 1, P ( ∅) = 1.2.2 Tính xác suất theo quy tắc: a) Quy tắc cộng xác suất Nếu A B hai biến cố xung khắc, thì: Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) c) Quy tắc nhân xác suất Nếu hai biến cố A B độc lập với thì: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Các dạng toán 2.1 Bài toán đếm: Ví dụ Cho tập A = { 1; 2;3;4;5;6;7} a) Có số tự nhienegoomf chữ số đôi khác lấy từ tập A b) Từ tập A lập số chẵn có chữ số đôi khác Lời giải a) Gọi số cần tìm : n = abcde Các số tự nhiên có chữ số khác lấy từ tập A chỉnh hợp chập phần tử A75 = 2520 b) Gọi số cần tìm : n = abcdef + n số chẵn f ∈ {2;4;6} ⇒ có cách chọn f + số lại A65 Theo quy tắc nhân: A65 =2160 (số) Ví dụ Cho tập A = { 0;1;2;3;4;5;6} , Từ tập A lập được: a) số có chữ số khác b) số có chữ số khác cho chữ sốsố lẻ c) số có chữ số khác cho chữ số chẵn Lời giải : a) Gọi số cần tìm : n = abcde Cách : + a có cách chọn + số lại A64 =360 Theo quy tắc nhân: A64 =2160 Cách 2: chọn sốtập A: A75 = 2520 + Chọn số có chữ số mà chữ số đầu có chữ số 0: A64 = 360 Vậy có: A75 − A64 = 2520 − 360 = 2160 b) Gọi số cần tìm : n = abcde + n số lẻ e ∈ {1;3;5} ⇒ có cách chọn e + a có cách chọn + số lại A53 = 60 Theo quy tắc nhân: 3.5.60=900 c) Gọi số cần tìm : n = abcde Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương + n số chẵn e ∈ {0;2;4;6} TH1 : e=0 ⇒ e có cách chọn + số lại: A64 = 360 Theo quy tắc nhân: 1.360=360 TH2: e ≠ ⇒ e có cách chọn + a có cách chọn + số lại A53 = 60 Theo quy tắc nhân: 3.5.60=90 Kl: có tất cả: 360+900=1260 Ví dụ Cho tập A = { 0;1; 2;3;4;5} , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số Lời giải Gọi số cần tìm abcde ( a ≠ ) Tìm sốsố có chữ số khác mà có mặt không xét đến vị trí a Xếp vào vị trí có: A52 cách vị trí lại có A43 cách Suy có A52 A43 số Tìm sốsố có chữ số khác mà có mặt với a = Xếp có cách vị trí lại có A43 cách Suy có 4.A43 số Vậy sốsố cần tìm tmycbt là: A52 A43 − A43 = 384 Ví dụ Cho tậphợp A={1;2;3;4;5;6} Hỏi có tập chứa phần tử tập A Lời giải Tập chứa phần tử tập A : C62 =15 Ví dụ Một có 52 quân màu a) Có cách rút quân có quân píc, quân chuồn quân b) Có cách rút quân có đỏ đen? Lời giải a) + Lấy pic 13 : C13 + Lấy chuồn 13 C13 + Lấy 13 C13 Theo quy tắc nhân : C13 C13 C13 =290004 b) Số cách rút đỏ đen : C26 C26 = 845000 Trường THPT Sóc Sơn GV: Nguyễn Thị Hương Tập chứa phần tử tập A : C62 =15 Ví dụ Một hộp đựng viên bi màu xanh, viên bi màu vàng a) Có cách lấy viên bi b) Có cách lấy viên bi có màu xanh vàng c) Có cách lấy viên bi cho có viên bi màu xanh Lời giải a) C12 = 924 b) Số cách lấy viên bi xanh, vàng : C52 C74 = 350 c) + chọn viên bi : C12 = 924 + viên bi lấy viên màu xanh : C76 = Vậy có tất : 924-7=917