bai tap tuong giao ve hai do thi 89180 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...
Bài 19. Bài toán giao điểm của hai đồ thị Chúng ta đã dùng giao điểm của hai đồ thị để xét nghiệm của phương trình, nay ta lại làm điều ngược lại, tức là đưa bài toán xét giao điểm của hai đồ thị về bài toán xét nghiệm của phương trình. Thí dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng y = x + k luôn cắt đồ thị x 2 y x 1 + = + tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm K sao cho AB ngắn nhất. Giải : Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x + K và đồ thị x 2 y x 1 + = + là các nghiệm của phương trình x 2 x K x 1 + = + + (*) Ta có : (*) ⇔ x + 2 = (x + 1)(x + K) (x = −1 không là nghiệm của phương trình này nên hai phương trình tương đương) ⇔ 2 x kx k 2 0+ + − = . Vì 2 2 k 4k 8 (k 2) 4 0∆ = − + = − + > với mọi K nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt tức là đường thẳng y = x + K luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi các nghiệm của (*) là A x , B x . Theo định lý Vi-et ta có A B x x k+ = − ; A B x x k 2= − . Do đó 2 2 A B A B A B A B AB (x x ) (y y ) 2[(x x ) 4x x= − + − = + − = 2 2 2[K 4K 8] 2[(K 2) 4] 2 2− + = − + ≥ . Do đó AB ngắn nhất là 2 2 (đơn vị độ dài) ⇔ k = 2. Chú ý : Có thể chứng minh đường thẳng y = x + K cắt cả hai nhánh của đồ thị, với lưu ý hai nhánh của đồ thị ở hai phía tiệm cận đứng x = −1 và phương trình (*) luôn có hai nghiệm thỏa mãn A B x 1 x< − < . Thí dụ 2 : Tìm m để đường thẳng y = −x + m (d) cắt đồ thị 2 x 2x 2 y x 1 − + = − (H) tại 2 điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y = x + 3. Hướng dẫn : Lưu ý đường thẳng (d) và đường thẳng (d') : y = x + 3 vuông góc với nhau tại I với I m 3 x 2 − = . Do đó A và B đối xứng nhau qua (d') ⇔ A B I x x 2x+ = . 1 Mặt khác A x , B x là các nghiệm của phương trình : 2 x 2x 2 x m x 1 − + = − + − ⇔ 2 2x (m 3)x m 2 0− + + + = nên A B I x x 2x+ = ⇔ m 3 m 3 2 + = − ⇔ m = 9. Với m = 9 phương trình có 2 nghiệm phân biệt nên m = 9 thỏa mãn. Thí dụ 3 : Tìm k để đồ thị 3 2 y x 3x 6x k= − − + cắt trục hoành tại 3 điểm lần lượt là A, B, C sao cho AB = BC. Giải : Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là các nghiệm của phương trình 3 2 x 3x 6x k 0− − + = (*) Điều kiện cần : Giả sử k thỏa mãn bài toán thì phương trình (*) có 3 nghiệm A B C x x x< < thỏa mãn B A C B x x x x− = − hay A C B x x 2x+ = . Khi đó : 3 2 A B C x 3x 6x k (x x )(x x )(x x )− − + = − − − với mọi x. Khai triển vế phải và đồng nhất hệ số của 2 x ở hai vế ta có A B C x x x 3+ + = ⇒ B 3x 3= ⇒ B x 1= là nghiệm của (*) ⇒ k = 8. Điều kiện đủ : Với k = 8 thì phương trình (*) trở thành 3 2 x 3x 6x 8 0− − + = ⇔ 2 (x 2)(x 5x 4) 0+ − + = có các nghiệm A B C x 2 x 1 x 4= − < = < = nên AB = BC = 3. Vậy k = 8 thỏa mãn. Chú ý : Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Bài toán : Tìm k để (*) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân làm tương tự, khi đó 2 A C B x x x= và đồng nhất số hạng bậc 0 của hai vế và kết quả vẫn là k = 8. Thí dụ 4 : Tìm m để đồ thị : 2 y mx 2(m 2)x onthionline.net Bài tập nhà: Tương giao hai đồ thị hàm số Bài Kshs y = x3 - 3x2 BiÖn luËn theo m sè nghiÖm m x − 3x cña ph¬ng tr×nh x = Bài Cho hs y = x − 3x + Gọi d đường thẳng qua điểm A(2;4) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho BC = 2 Bài Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) đường thẳng (d): y = mx + m + Tìm m để (d) cắt (C) ba điểm phân biệt M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vuông góc Bài Cho hs y = − x + 3x − Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;-2) có hệ số góc k 15 Ví dụ [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 − 3mx + (3m − 1) x + 6m − Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm pb có hoành độ thỏa mãn x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 20 Ví dụ [ĐVH]: Cho hàm số y = x − 6mx + đường thẳng d : y = − x + Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng ba điểm phân biệt A, B, C với A(0; 1) thỏa mãn a) OB.OC = −4 b) Độ dài BC ngắn ? Ví dụ [ĐVH]: Cho hàm số y = x3 − x + (m + 4) x − m a) Tìm m để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến điểm vuông góc với đường thẳng y= x+3 b) Tìm m để đồ thị cắt Ox A(1 ; 0), B, C