Xác định m để độ dài AB ngắn nhất.. Giả thiết rằng kích thước và trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt như nhau, Lấy hú hoạ 5 quả cầu.. Tìm xác suất của biến cố : Trong 5
Trang 1Sở GD-ĐT Sơn La CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán
(Đề đề nghị) (Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề thi)
BÀI 1:( 6 điểm ) Cho hàm số:
1
x m y
x
−
= + Với m là tham số;Gọi đồ thị là:( )c m
1/ Chứng minh rằng: ∀ ≠ −m 2;m≠ −1,đường thẳng: y= − +x m ( )d luôn luôn cắt đồ thị
( )c tại hai điểm phân biệt A và B m
2/ Với m≥0 Xác định m để độ dài AB ngắn nhất.
BÀI 2: ( 3,5 điểm )
1/ Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ Giả thiết rằng kích thước và trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt như nhau, Lấy
hú hoạ 5 quả cầu Tìm xác suất của biến cố : Trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ
2/ Giải phương trình: 3 x 2 14
x x
A +C − = x (1)
BÀI 3: ( 4,50 điểm)
1/Với giá trị nào của k∈¢ phương trình sau có nghiệm:
sin2 1 1 os2 2sin2 2
2/ Giải phương trình:
lg47 lg 1
10
x
x
x
+
+
=
BÀI 4: ( 6 điểm )
1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng: ( )d :x y+ − =6 0 và ( )d1 : 2x y+ − =13 0 và chắn trên hai trục toạ độ những đoạ thẳng bằng nhau
2/ Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2; 4; 1 ;− ) (B 1; 4; 1− );C(2; 4;3 ;) (D 2; 2; 1− )
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AB;AC;AD vuông góc với nhau từng đôi một Tính thể tích khối tứ diện đó
b/ Viết phương trình mặt cầu ( )s đi qua bốn điểm A;B;C;D.
Trang 2GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
(Đề đề nghị )
A/ VẤN ĐỀ CHUNG:
+/ Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
+/ Điểm của bài làm bằng: Tổng điểm của các phần và giữ nguyên không làm tròn
+/ Đáp án có thể chưa tối ưu Nếu học sinh làm theo cách khác tối ưu hơn, điểm thưởng tối
đa là 1 điểm
+/ Giám khảo có thể chia thang điểm nhỏ hơn,nhưng phải có sự thống nhất và không được vượt quá khung điểm đã qui định trong phần đó
B/ GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM :
chú
1
1
Xét phương trình:
1
x m
x m
x− = − + + ; x≠ −1 ( )1 Đường thẳng ( )d cắt đường cong ( )c tại hai điểm phân biệt m
A và B khi và chỉ khi phương trình ( )1 có hai nghiệm phân
biệt x≠ −1
1,00 Nếu
thiếu 1
x≠ −
trừ 0,50đ
1 ⇔x + −2 m x−2m=0 ( )2
có hai nghiệm phân biệt x≠ −1
Ta có: ( )2 ( )2
∆ = − + = + > ∀ ≠ −
0,50
Do đó phương trình ( )2 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt:
1 2; 2
x = − x =m vì m≠ −2;m≠ −1 nên x2 = ≠ −m 1 do đó
phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt Đường thẳng
( )d cắt đường cong ( )c tại hai điểm phân biệt A và B m
1,50
2 Gọi: Toạ độ điểm Alà: x A = = −x1 2⇒ y A = +2 m
Toạ độ điểm B là: x B =x2 = ⇒m y B = ⇒0 B m( ;0)
1,00
AB ngắn nhất khi và chỉ khiAB bé nhất2
⇔ = + + + = + ≥ Dấu “=” xẩy ra
khi m=0 (vì gt cho m≥0)
Vậy với:m=0 thì đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm
phân biệt A và B có độ dài AB=2 2ngắn nhất
2,00
2 1 Số quả cầu trong hộp kín là 10+8=18 Mỗi lần lấy 5 quả 0,50
Trang 3cầu,số phần tử của không gian mẫu là: 5
18
18!
36.17.14 5!.13!
Số cách lấy 3 quả cầu đỏ trong 8 quả là: 83
8!
8.7 3!.5!
Số cách lấy 2 quả cầu trắng trong 10 quả là: 2
10
10!
5.9 2!.8!
Vậy số biến cố thoả mãn bài toán là: c c83 102 =8.7.5.9
1,00
Vậy xác suất để xẩy ra biến cố này là:
3 2
8 10 5 18
8.7.5.9 5 36.17.14 17
c c
3 !.3! 2 !.2!
5 5 2
x x
=
⇔
=
So sánh vói ĐK (*) x=5 là nghiệm của phương trình
1,50
3 1 Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
π
2 sinx 2k sinx 2 2k
⇔ − = ⇔ = − (*)
1,25
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*)
có nghiệm: 2 2 1 1 3
Vì: k∈¢ nên k =1
1,00
2 ĐK: 0< ≠x 1
Vì cả hai vế đều dương lấy lôgarit cả hai vế ta được:
lg 7
.lg lg 1 4
x
1,00
2
4
10
lg 1
10
x x
=
=
Thoả mãn ĐK
1,25
4 1 Giao điểm của hai đường thẳng là A là nghiệm của hệ pt:
0,25
Phương trình đườnh thẳng cắt hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau có phương trình:x y a± − =0 Đi qua điểm A(7; 1− ) nên
8
a a
a
=
± − − = ⇒ =
1,50
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn ĐK bài toán: 0,25
Trang 4x y+ − =6 0
x y− − =8 0
2 A/ Các đường thẳng: AB;AC;AD vuông góc với nhau từng đôi
một khi và chỉ khi
AB AC
AB AD
AC AD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur (*)
0,25
Mà: uuurAB(−1;0;0 ;) uuurAC(0;0;4 ;) uuurAD(0; 2;0− ) nên:
( )
( )
1 0 0.0 0.4 0
1 0 0 2 0.0 0
0.0 0 2 4.0 0
AB AC
AB AD
AC AD
uuur uuur
uuur uuur
AB AC
AB AD
⊥
0,50
1
3
V = Bh Trong đó: B là diện tích đáy khối chóp
h là chiều cao khối chóp
0,25
Do: A
AB AC
B AD
⊥
Nên 1 1.1.4 2
B= uuur uuurAB AC = =
h= uuurAD =2
vậy: 1 1.2.2 4
V = B h= =
1,00
B/ Gọi mặt cầu tâm I x y z bán kính R đi qua bốn điểm ( ; ; )
A;B;C;D
IA IB R
IA IC R
IA ID R
= =
0,75
0,25
3
x x
=
=
⇔ = ⇔ =
21
4
R
⇒ =
Vậy mặt cầu cần tìm là: 2 2 ( ) (2 )2 21
1,00