Sở GD-ĐT Sơn La CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán (Đề đề nghị) (Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề thi) BÀI 1:( 6 điểm ) Cho hàm số: 1 x m y x − = + Với m là tham số;Gọi đồ thị là: ( ) m c 1/ Chứng minh rằng: 2; 1m m∀ ≠ − ≠ − ,đường thẳng: y x m = − + ( ) d luôn luôn cắt đồ thị ( ) m c tại hai điểm phân biệt A và B. 2/ Với 0m ≥ . Xác định m để độ dài AB ngắn nhất. BÀI 2: ( 3,5 điểm ) 1/ Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ. Giả thiết rằng kích thước và trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt như nhau, Lấy hú hoạ 5 quả cầu. Tìm xác suất của biến cố : Trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ. 2/ Giải phương trình: 3 2 14 x x x A C x − + = (1) BÀI 3: ( 4,50 điểm) 1/Với giá trị nào của k ∈ ¢ phương trình sau có nghiệm: 2 2 1 2 sin 1 os 2sin 2 3 2 3 4 2 x x x c k π + + + − = ÷ ÷ 2/ Giải phương trình: lg 7 lg 1 4 10 x x x + + = BÀI 4: ( 6 điểm ) 1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng: ( ) : 6 0d x y+ − = và ( ) 1 : 2 13 0d x y+ − = và chắn trên hai trục toạ độ những đoạ thẳng bằng nhau. 2/ Trong không gian Oxyz cho bốn điểm ( ) ( ) 2;4; 1 ; 1;4; 1A B− − ; ( ) ( ) 2;4;3 ; 2;2; 1C D − a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AB;AC;AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện đó b/ Viết phương trình mặt cầu ( ) s đi qua bốn điểm A;B;C;D. GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM (Đề đề nghị ) A/ VẤN ĐỀ CHUNG: +/ Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa +/ Điểm của bài làm bằng: Tổng điểm của các phần và giữ nguyên không làm tròn. +/ Đápán có thể chưa tối ưu. Nếu học sinh làm theo cách khác tối ưu hơn, điểm thưởng tối đa là 1 điểm. +/ Giám khảo có thể chia thang điểm nhỏ hơn,nhưng phải có sự thống nhất và không được vượt quá khung điểm đã qui định trong phần đó. B/ GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM : Câu Ý GỢI Ý NỘI DUNG Điểm Ghi chú 1 1 Xét phương trình: 1 x m x m x − = − + + ; 1x ≠ − ( ) 1 Đường thẳng ( ) d cắt đường cong ( ) m c tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt. 1x ≠ − 1,00 Nếu thiếu 1x ≠ − trừ 0,50đ ( ) ( ) 2 1 2 2 0x m x m⇔ + − − = ( ) 2 có hai nghiệm phân biệt 1x ≠ − Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 8 2 0 2 x m m m m∆ = − + = + > ∀ ≠ − 0,50 Do đó phương trình ( ) 2 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt: 1 2 2;x x m= − = vì 2; 1m m≠ − ≠ − nên 2 1x m= ≠ − do đó phương trình ( ) 1 luôn có hai nghiệm phân biệt. Đường thẳng ( ) d cắt đường cong ( ) m c tại hai điểm phân biệt A và B. 1,50 2 Gọi: Toạ độ điểm Alà: 1 2 A x x= = − 2 A y m⇒ = + ( ) 2;2A m⇒ − + Toạ độ điểm B là: ( ) 2 0 ;0 B B x x m y B m= = ⇒ = ⇒ 1,00 AB ngắn nhất khi và chỉ khi 2 AB bé nhất ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8AB m m m⇔ = + + + = + ≥ Dấu “=” xẩy ra khi 0m = (vì gt cho 0m ≥ ) Vậy với: 0m = thì đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt A và B có độ dài 2 2AB = ngắn nhất. 2,00 2 1 Số quả cầu trong hộp kín là 10+8=18 . Mỗi lần lấy 5 quả 0,50 cầu,số phần tử của không gian mẫu là: 5 18 18! 36.17.14 5!.13! c = = Số cách lấy 3 quả cầu đỏ trong 8 quả là: 3 8 8! 8.7 3!.5! c = = Số cách lấy 2 quả cầu trắng trong 10 quả là: 2 10 10! 5.9 2!.8! c = = Vậy số biến cố thoả mãn bài toán là: 3 2 8 10 . 8.7.5.9c c = 1,00 Vậy xác suất để xẩy ra biến cố này là: 3 2 8 10 5 18 . 8.7.5.9 5 36.17.14 17 c c c = = 0,25 2 ĐK: 3x ≥ (*) 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 ! ! 1 14 2 5 25 0 3 !.3! 2 !.2! x x x x x x x ⇔ + = ⇔ − − = − − 5 5 2 x x = ⇔ = So sánh vói ĐK (*) 5x = là nghiệm của phương trình. 1,50 3 1 Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2 2 sin cos 1 cos 2 3 3 2 x x x k π + + − − = ÷ 2 sin 2 sin 2 2x k x k ⇔ − = ⇔ = − (*) 1,25 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm: 1 3 2 2 1 2 2 k k⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ Vì: k ∈ ¢ nên 1k = 1,00 2 ĐK: 0 1x < ≠ Vì cả hai vế đều dương lấy lôgarit cả hai vế ta được: lg 7 .lg lg 1 4 x x x + = + 1,00 2 4 10 lg 1 lg 3lg 4 0 1 lg 4 10 x x x x x x = = ⇔ + − = ⇔ ⇔ = − = Thoả mãn ĐK 1,25 4 1 Giao điểm của hai đường thẳng là A là nghiệm của hệ pt: 6 0 7 2 13 0 1 x y x x y y + − = = ⇔ + − = = − ( ) 7; 1A⇔ − 0,25 Phương trình đườnh thẳng cắt hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau có phương trình: 0x y a± − = Đi qua điểm ( ) 7; 1A − nên ( ) 6 7 1 0 8 a a a = ± − − = ⇒ = 1,50 Vậy có hai đường thẳng thoả mãn ĐK bài toán: 0,25 6 0x y+ − = 8 0x y− − = 2 A/ Các đường thẳng: AB;AC;AD vuông góc với nhau từng đôi một khi và chỉ khi . 0 . 0 . 0 AB AC AB AD AC AD = = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur (*) 0,25 Mà: ( ) ( ) ( ) 1;0;0 ; 0;0;4 ; 0; 2;0AB AC AD− − uuur uuur uuur nên: ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 .0 0.0 0.4 0 . 1 .0 0. 2 0.0 0 . 0.0 0. 2 4.0 0 AB AC AB AD AC AD = − + + = = − + − + = = + − + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB AC AB AD AC AD ⊥ ⇔ ⊥ ⊥ 0,50 1 3 V Bh= Trong đó: B là diện tích đáy khối chóp h là chiều cao khối chóp 0,25 Do: A AB AC B AD AC AD ⊥ ⊥ ⊥ Nên 1 1 . .1.4 2 2 2 B AB AC= = = uuur uuur 2h AD= = uuur vậy: 1 1 4 . . .2.2 3 3 3 V B h= = = 1,00 B/ Gọi mặt cầu tâm ( ) ; ;I x y z bán kính R đi qua bốn điểm A;B;C;D IA IB R IA IC R IA ID R = = ⇔ = = = = 0,75 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 4 1 2 4 1 2 4 3 2 4 1 2 2 1 x y z x y z x y z x y z x y z x y z − + − + + = − + − + + ⇔ − + − + + = − + − + − − + − + + = − + − + + 0,25 3 2 3 2 8 8 3 4 12 1 x x z y y z = = ⇔ = ⇔ = = = 21 4 R⇒ = Vậy mặt cầu cần tìm là: ( ) ( ) 2 2 2 2 21 3 1 3 4 x y z − + − + − = ÷ 1,00 . NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán (Đề đề nghị) (Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề thi) BÀI 1:( 6 điểm ) Cho hàm. mặt cầu ( ) s đi qua bốn điểm A;B;C;D. GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM (Đề đề nghị ) A/ VẤN ĐỀ CHUNG: +/ Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối