De thi HSG+DaP an

Phòng GD Tam Dơng Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Năm học: 2006 -2007 Môn : Toán Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: ( 2 đ) a) Chứng minh rằng không thể biểu diễn số 2007 thành tổng của hai số chính phơng. b) Chứng minh rằng luôn tồn tại số có dạng 78787878 chia hết cho 79. Câu 2: (1,5 đ) Rút gọn biểu thức . 2 3 3 2 1 1 ( (1 ) (1 ) ) 2 1 x x x M x + + = + . Câu 3: (2,5 đ) a) Giải phơng trình nghiệm nguyên: 01 22 =++ yxxyyx . b) Giải phơng trình: 2 2 2 1 1 2x x x x x x+ + + + = + Câu 4: (1,5 đ) Cho x>0, y>0 thoả mãn x+ 1 y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 16 2006 x y P y x = + Câu 5: (2,5 đ) Cho hình thoi ABCD , 0 60 = B . Một đờng thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhng cắt các đờng thẳng AB , BC lần lợt tại E và F . Gọi M là giao điểm của AF và CE . Chứng minh rằng. a) Tam giác AEC đồng dạng với tam giác CAF. b) AD 2 = AM.AF Hớng dẫn chấm Môn: Toán 9 Năm học: 2006-2007 Câu Nội dung Điểm 1a ------ 1b Xét 2 số nguyên a, b có các trờng hợp xảy ra nh sau: +) Nếu a, b cùng tính chẵn lẻ thì a 2 và b 2 cùng tính chẵn lẻ a 2 + b 2 là số nguyên chẵn. Do đó a 2 + b 2 2007 . +) Nếu a, b khác tính chẵn lẻ : Giả sử a chẵn , b lẻ thì a 2 + b 2 = (2k) 2 +(2l+1) 2 = 4m +1 chia cho 4 d 1, mà 2007 chia cho 4 d 3 nên a 2 + b 2 2007 ( Với k, l, m Z ) (Trờng hợp a lẻ b chẵn tơng tự). Vậy không thể biểu diễn số 2007 thành tổng của 2 số chính phơng ----------------------------------------------------------------------------------------- Xét 80 số có dạng a n = 787878 (1 80)n gồm n số 78 viết liên tiếp nhau. Theo nguyên tắc Đirichlet tồn tại 2 số a k , a t mà a k - a t chia hết cho 79 ( 1 80)t k < với a k - a t =10 2t . k t a . Do (10 2t , 79) =1 k t a chia hết cho 79 (đpcm) 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 ĐKXĐ: 1 1x 2 3 3 2 2 2. 1 1 ( (1 ) (1 ) ) 2. 2 1 2 2 (1 )(1 ) ( 1 1 )(1 1 (1 )(1 )) 2 1 x x x M x x x x x x x x x x + + = = + + + + + + + + = = + 2 1 2 (1 )(1 ) 1 ( 1 1 )(2 (1 )(1 )) 2 1 x x x x x x x x x + + + + + + + = + 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2 ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1 ( 1 1 ) ( 1 1 )( 1 1 ) (1 ) (1 ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x = + + + = + + + = + + + = + = Vậy 2 2 2 M x x= = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3a) ------ 3b) 01 22 =++ yxxyyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1) 0 2 2 2 2 2 2 0 ( 2 1) ( 2 1) ( 2 ) 0 ( 1) ( 1) ( ) 0 x y xy x y x y xy x y x x y y x xy y x y x y + + = + + = + + + + + = + + = Do 2 ( 1)x 2 2 0;( 1) 0;( ) 0y x y với mọi , ,x y z Z Nên 2 2 2 ( 1) ( 1) ( ) 0x y x y + + = 1 0 1 0 1 0 x y x y x y = = = = = (thoả mãn) KL: Vậy phơng trình có nghiệm 1x y= = . ----------------------------------------------------------------------------------------- ĐKXĐ: 2 1x x+ 0 và 2 1x x + + 0 áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có : 2 2 ( 1) 1 1 2 x x x x + + + (1). 2 2 ( 1) 1 1 2 x x x x + + + + + (2). Cộng các vế của phơng trình (1) và (2) suy ra : 1x + 2 1x x+ + 2 1x x + + = 2 2x x + 2 2 2 2 1 2 1 0 ( 1) 0 1 x x x x x x x + + + = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Thử lại : thấy 1x = là nghiệm của phơng trình. KL: nghiệm của pt là : 1x = 0,25đ 4 5a) 5b) Do x>0, y>0 thoả mãn x+ 1 y 1. Suy ra 2 1 (x+ 1 y ) 2 1 4 4 4 x x y y y x Ta có 16 2006 x y P y x = + = (16 ) 2005 x y y y x x + + 16 2 xy xy + 2005 y x =8 + 2005 y x Vì 4 y x 8 2005.4 8028P + = . Vậy: Min 8028P = 4 1 2 1 2 y x x x y y = = = = ---------------------------------------------------------------------------------------- Ta có: AED đồng dạng với CDF ( vì chúng cùng đồng dạng với BEF ) . Suy ra AE CD AD CF = hay AE AC AC CF = . (Vì tam giác ABC đều) Mặt khác CAE FCA = nên AEC đồng dạng với CAF Do AEC đồng dạng với CAF Nên suy ra ACE CFA = Do đó ACM đồng dạng với AFC . Suy ra AM AC AC AF = hay 2 .AC AM AF= 2 . .AD AM AF = 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ B A E D F C M . Phòng GD Tam Dơng Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Năm học: 2006 -2007 Môn : Toán Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: ( 2 đ)