chuyen de so phuc

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Vnmath.com Bỉm sơn. 05.04.2011 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn 21i   . Ký hiệu số phức đó là z và viết z a bi  (dạng đại số) i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu  Re z a b được gọi là phần ảo của số phức z a bi , ký hiệu  Im z b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. Chú ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z a bi  có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z a bi  và ’ ’ ’z a b i . '’'a az zb b  3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z a bi . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z a bi  và’ ’ ’z a b i . Ta định nghĩa: ' ( ') ( ')' ( ') ( ')z z a a b b iz z a a b b i         5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z a bi  và’ ’ ’z a b i . Ta định nghĩa: ' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i    6. Số phức liên hợp. Cho số phức z a bi . Số phức – z a bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z a bi a bi    Chú ý: 1) z z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 2) z. z = a2 + b2 - Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z (2): ' 'z z z z   (3): . ' . 'z z z z (4): z. z = 2 2a b (z a bi ) 7. Môđun của số phức. www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 23 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2z z z x yi x yi x yi x yi yi                  22 2 202 1 4 4 2 02xx y y x xx         Vậy tập hợp các điểm cần tìm là 2 đường thẳng Bài 12: Trên mp phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z: 1. 1z  2. 2z  3. 1 2 3.z z i    Giải: Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Ta có:2 2 2 21 1 1z x y x y       . Vậy: Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R = 1. 2. Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. Ta có: 2 2 2 2z x y 2 x y 4        . Vậy: Tập hợp các điểm M là hình tròn tâm O(0;0) bán kính R = 2. 3. Biểu diễn số phức   ,z x yi x y    bởi điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có:      2 221 2 3 1 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 2z z i y i y y y                  Tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z là hai đường thẳng song song với trục hoành 1 2y   . Bài 13: Trên mp phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z: 1. 1 1z   2. 1z i  Giải: Đặt   ,z x yi x y    và điểm M(x;y) biểu diễn số phức z trên mặt phẳng I GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC I.1 CÁC KHÁI NIỆM Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi , đó a, b ∈ ¡ , i = −1 được gọi là một số phức Đối với số phức z = a + bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z Tập hợp các số phức kí hiệu là £ Chú ý:  Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i  Như vậy ta có ¡ ⊂ £  Số phức bi với b ∈ ¡ được gọi là số thuần ảo ( số ảo)  Số được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo Số phức bằng Hai số phức là bằng nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau: a = c a + bi = c + di ⇔  b = d Số phức đối và số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ ¡ , i = −1  Số phức đối của z kí hiệu là − z và − z = −a − bi  Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z = a − bi Biểu diễn hình học của số phức Điểm M (a; b) một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi Môđun của số phức uuuur Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi M (a; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | z | uuuur Vậy: | z |=| OM | hay | z |= a + b Nhận xét: | z |=| − z |=| z | I.2 CÁC PHÉP TOÁN Phép cộng và phép trư Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức Tổng quát: (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i (a + bi ) − (c + di ) = (a − c) + (b − d )i Phép nhân Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i = −1 kết quả nhận được Tổng quát: (a + bi ).(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc)i Chú ý:  Phép cộng và phép nhân các số phức có đầy đủ các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực  Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ ¡ , i = −1 Ta có: z + z = 2a ; z.z =| z |2 Phép chia hai số phức c + di , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi a + bi c + di (c + di )(a − bi ) ac + bd ad − bc = = + i Cụ thể: a + bi (a + bi )(a − bi ) a + b a + b Với a + bi ≠ , để tính thương I.1.3 TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi , a, b ∈ ¡ , i = −1  Tính chất 1: Số phức z là số thực ⇔ z = z  Tính chất 2: Số phức z là số ảo ⇔ z = − z  Cho hai số phức z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i; a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ ta có:  Tính chất 3: z1 + z2 = z1 + z2  Tính chất 4: z1 z2 = z1 z2  z1  z1 ÷ = ; z2 ≠  z2  z2  Tính chất 5:   Tính chất 6: | z1 z2 |=| z1 | | z2 | z1 |z | = ; z2 ≠ z | z2 |  Tính chất 7:  Tính chất 8: | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | I.1.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC 1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai: az + bz + c = (a ≠ 0) có ∆ = b −4ac  TH1: a, b, c là các số thực  −b ± ∆ Nếu ∆ > thì phương trình có nghiệm thực phân biệt z =  Nếu ∆ = thì phương trình có nghiệm kép thực z =  −b ± i −∆ Nếu ∆ < ⇒ ∆ = i (−∆) thì phương trình có nghiệm phức phân biệt z = 2a −b 2a 2a  TH2: a, b, c là các số phức  ∆ = thì phương trình có nghiệm kép thực z = −b 2a  ∆ ≠ 0; ∆ = a + bi = ( x + iy ) Khi đó phương trình có hai nghiệm z = −b ± ( x + yi ) 2a Chú ý  Phương trình bậc hai tập hợp số phức với hệ số thực có nghiệm là số phức liên hợp  Khi b là số chẵn ta có thể tính ∆ ' và công thức nghiệm tương tự tập hợp số thực  Gọi z1 , z2 là nghiệm của phương trình az + bz + c = (a ≠ 0) a, b, c là các số thực hoăc số phức Khi đó ta −b   z1 + z2 = a có:   z z = c  a II GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ II.1 CHUYÊN ĐỀ 1: Tính toán tập hợp số phức II.1.1.Dạng 1: Thực phép tính tập hợp số phức Xác định phần thực, phần ảo tính môđun của số phức A Phương pháp  Sử dụng các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức để tính toán giá trị các biểu thức  Để xác định phần thực, phần ảo và môđun của số phức z thì ta phải sử dụng các khái niệm liên quan đến số phức và các phép toán tập hợp số phức để biến đổi số phức z = a + bi (a; b ∈ R ) Khi đó: z có phần thực bằng a; phần ảo bằng b; z = a + b  Trong tính toán số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ số thực B Bài tập minh họa Bài 1: Cho số phức z = + i 2 Tìm các số phức sau: z; z ; ( z ) ; + z + z Lời giải: a) z = 3 + i⇒z= − i 2 2   3 b) z =  + i ÷÷ = + i + i = + i 4 2  2  c) ( z ) 3    3  3 =  − i÷ =  −  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷  2      d) + z + z = 31  1  1   i ÷+  i ÷ −  i ÷ = −i 2  2  2  + 1+ + i 2  Nhận xét: Với bài tập trên, học sinh dễ dàng tính được Qua bài tập này mục đích giúp học sinh nhớ lại khái niệm số phức liên hợp và biết cách tính toán đơn giản phép cộng, phép trừ số phức và phép tính luỹ thừa của một số phức Bài 2: ... Chuyªn ®Ò sè phøc Chuyªn ®Ò sè phøc Chuyªn ®Ò sè phøc Chuyªn ®Ò sè phøc Chuyªn ®Ò sè phøc Tổ Toán Tin Trờng THPT Thái Hoà Chuyên đề số phức Ôn thi tốt nghiệp: Kiến thức và kĩ năng cần đạt: 1.Nắm đợc định nghĩa dạng đại số của số phức và các khái niệm liên quan: phần thực và phần ảo của số phức, số ảo (số thuần ảo). 2.Tính toán thành thạo các phép toán cộng, trừ , nhân , chia hai hay nhiều số phhức ở dạng đại số VD. Tính: a)(5+2i)-3(-7+6i) b)(2- 3 i)(1- 3 i) c)(1+ 2 i) 2 d) 2 15 3 2 i i + e) ( ) ( ) 1 3 2 2 i i i + 3.Biết cách biểu diễn hình học của số phức , môđun của số phức, số phức liên hợp Vd.Biểu diễn hình học các số phức z trên mặt phẳng phức biết: a) z = 2 b) z = -3i c) 1z = d) 2 1z = e) 2z i = f) 2 3 3z i+ = g) z 2 là số ảo h) 2z z i+ = + 4 .Tính căn bậc hai của số phức VD.Tính căn bậc hai của số phức 3 + 4i, 5 12i 5.Biết cách nhân chia hai số phức ở dạng lợng giác VD.Tính : a) 7 7 cos sin cos sin 12 12 12 12 i i + + ữ ữ b) cos sin 12 12 7 7 cos sin 12 12 i i + ữ + ữ 6.Sử dụng công thức Moavrơ và ứng dụng công thức để xác định sin 3 ,cos 3 ,sin 4 ,cos 4 theo sin , cos VD.Xác định 1+i, 1- 3 i dới dạng lợng giác, từ đó đa về dạng đại số các biểu thức sau : Tổ Toán Tin Trờng THPT Thái Hoà a)(1+i) 15 b)(1+i) 15 .(1- 3 i) 10 c) ( ) ( ) 10 15 1 3 1 i i + Ôn thi đại học Dạng 1.Bài toán liên quan đến các phép biến đổi số phức VD1: Cho hai số phức 1 2 ,z z thoả mãn điều kiện 1 2 1 2 1, 3z z z z= = + = . Tính 1 2 z z VD2: Tìm số phức z biết 2z = và 2 z là số thuần ảo (đề thi khối D năm 2010) VD3: Tìm phần ảo của số phức z biết ( ) ( ) 2 2 1 2z i i= + (đề thi khối A năm 2010) VD4: Cho số phức z thoả mãn ( ) 3 1 3 1 i z i = . Tìm môđun của số phức z iz+ (đề thi khối A năm 2010) Dạng 2: Bài toán liên quan đến phơng trình nghiệm phức VD1.Tìm hai số thực x, y thoả mãn phơng trình x(3+5i)+y(1-2i) 3 = 9+14i VD2: a)z 3 -1 = 0 b)z 3 + (1-i)z 2 +(1-i)z-i=0 c)z(z-1)(z+2)(z+3)=10 d)(z+4) 4 + (z+6) 4 =82 e)z 4 + z 3 + 1 2 z 2 + z +1 = 0 Lu ý: Các phơng trình bậc 3, bậc 4 nên dừng lại ở việc giải các phơng trình bậc 3 nhẩm đợc 1 nghiệm dễ dàng hoặc phơng trình bậc 4 có thuật toán giải. Không nên ra cho học sinh những bài toán đánh đố. VD: Xuất phát từ: (z+1+2i)(z 2 + 2z +3) = 0 z 3 +(3+2i)z 2 +(5+4i)z+3+6i = 0 (z 2 -2z+2)(z 2 + 3z -1) = 0 z 4 + z 3 -2z 2 +12z -2 =0 mà đa ra các bài toán giải phơng trình : z 3 +(3+2i)z 2 +(5+4i)z+3+6i = 0; z 4 + z 3 -2z 2 +12z -2 =0 thì chỉ có ngời ra đề là giải đ- ợc. Nếu có thì nên có gợi ý cho học sinh VD: Giải phơng trình ( ) 3 2 2 1 4(1 ) 8 0z i z i z i + + + = biết rằng phơng trình có một nghiệm thuần ảo VD3.Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi là nghiệm của phơng trình z 3 =18 + 26i VD4.Cho z 1 ,z 2 là hai nghiệm phơng trình: (1+i 2 )z 2 (3+2i)z +1 i = 0 Tổ Toán Tin Trờng THPT Thái Hoà Tính: a) 2 2 1 2 z z+ b) 1 2 2 1 z z z z + Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện cho trớc B1: Gọi số phức có dạng z = x + yi (không nên gọi z = a + bi) B2: Biến đổi điều kiện cho trớc để tìm mối liên hệ giữa x và y (hoành độ và tung độ các điểm cần tìm tập hợp) B3: Dựa vào đặc trng của phơng trình đó để nêu tập hợp điểm VD: ax + by + c = 0=> đờng Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC . 1. Một số phức là một biểu thức có dạng a bi , trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn 2 1i   . Ký hiệu số phức đó là z và viết z a bi  (dạng đại số) i được gọi là đơn vị ảo a được gọi là phần thực. Ký hiệu   Re z a b được gọi là phần ảo của số phức z a bi  , ký hiệu   Im z b Tập hợp các số phức ký hiệu là C. Chú ý: - Mỗi số thực a dương đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0. - Số phức z a bi  có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo. - Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Hai số phức bằng nhau. Cho z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . ' ’ ' a a z z b b        3. Biểu diễn hình học của số phức. Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z a bi  . 4. Phép cộng và phép trừ các số phức. Cho hai số phức z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . Ta định nghĩa: ' ( ') ( ') ' ( ') ( ') z z a a b b i z z a a b b i              5. Phép nhân số phức. Cho hai số phức z a bi  và ’ ’ ’z a b i  . Ta định nghĩa: ' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i    6. Số phức liên hợp. Cho số phức z a bi  . Số phức – z a bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên. Vậy z a bi a bi    Chú ý: 1) z z  z và z gọi là hai số phức liên hợp với nhau. 2) z. z = a 2 + b 2 - Tính chất của số phức liên hợp: (1): z z (2): ' 'z z z z   (3): . ' . 'z z z z (4): z. z = 2 2 a b ( z a bi  ) 7. Môđun của số phức. www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 Cho số phức z a bi  . Ta ký hiệu z là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau: - Nếu M(a;b) biểu diễn số phức z a bi  , thì 2 2 z OM a b    - Nếu z a bi  , thì 2 2 .z z z a b   8. Phép chia số phức khác 0. Cho số phức 0z a bi   (tức là 2 2 0a b  ) Ta định nghĩa số nghịch đảo 1 z  của số phức z ≠ 0 là số 1 2 2 2 1 1 z z z a b z     Thương 'z z của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: 1 2 ' '. . z z z z z z z    Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường. II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. 1. Cho số phức z  0. Gọi M là một điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Như vậy nếu  là một acgumen của z, thì mọi acgumen đều có dạng:  + 2k, k  Z. 2. Dạng lượng giác của số phức. Xét số phức   , , 0z a bi a b R z    Gọi r là môđun của z và  là một acgumen của z. Ta có: a = rcos , b = rsin   cos sinz r i     trong đó 0r  , được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0. z = a + bi (a, b  R) gọi là dạng đại số của z. 2 2 r a b  là môđun của z.  là một acgumen của z thỏa cos sin a r b r            3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu   cos sinz r i     ,   ' ' cos ' Chuyªn ®Ò sè phøc Chuyªn ®Ò sè phøc Chuyªn ®Ò sè phøc Chuyªn ®Ò sè phøc Chuyªn ®Ò sè phøc ... sinh có lực học trung bình cũng có thể định hướng được cách làm bài Sau học sinh làm song bài mới thay đổi lại câu hỏi trên, từ đó đưa phương pháp cụ thể của dạng câu hỏi... Lời giải: Gọi z = a + bi (a; b ∈ R ) và ω = x + yi ( x; y ∈ R) ⇒ M ( x; y ) biểu diễn cho so phức ω mặt phẳng toạ độ z − ≤ ⇔ (a − 1) + b ≤ (1) Ta có:  x = a − 3b + ω = (1 + i 3)