Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com SỐ PHỨC Chuyên đề 9: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHỨC z = a + ib với i2 = 1 a, b a phần thực b phần ảo Số phức liên hợp z là: z a ib MÔĐUN z = a + ib (a; b ) Môđun: z a2 b2 zz BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: z = a + ib (a, b ) M(a; b) ảnh z: OM r a2 b2 môđun z (Ox,OM) + k 2 Argument z, argz = DẠNG LƯNG GIÁC z = r(cos + isin) z = rei r = z = argz CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC Phép cộng: z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2) Phép trừ: z1 z2 = (a1 a2) + i(b1 b2) Phép nhân: z1.z2 = (a1a2 + b1b2) + i(a1b2 + a2b1) Phép chia: z1 z1 z2 a1a2 b1b2 i(a1b2 a2 b1 ) z2 z2 a12 b12 Với dạng lượng giác: z1z2 = rr'[cos( + ) + isin( + )] = rr'ei( + ) z1 r r cos( ) isin( ) ei() z2 r r LŨY THỪA SỐ PHỨC z = r (cos + isin) zn = rn(cosn + isinn) công thức de Moirve zn =rnein CĂN BẬC n z = r (cos + isin) = rei (r > 0) k2n k2n n z n r cos isin n n n n n z n re k2n i n n 281 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Tìm tất số phức z, biết z2 z z Giải Giả sử z = x + yi với x, y R Ta có: z2 z z (x iy)2 x2 y2 x iy x2 y2 2xyi x2 y2 x yi x 2y2 x2 y2 x x2 y2 y 2xy y x 1 4y2 x x x x y y 1 x y y 1 1 Vậy z 0, z i, z i 2 2 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Tính môđun số phức z, biết 2z 11 i z 1 i 2i Giải Giả sử z = x + yi với x, y R Ta có: 2z 11 i z 1 i 2i 2 x yi 1 1 i x yi 1 1 i 2i x 3x 3y 1 Suy ra: z = i 3 x y y Do đó: z 1 9 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Tìm số phức z, biết z 5 i 1 z Giải Giả sử z = x + yi 282 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Ta có: z Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 5 i zz i z z x2 y2 i x yi x2 y2 x y i 2 x y x x x x 1 x y y y Vậy z 1 i z i Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 1 i Tìm phần thực phần ảo số phức z 1 i Giải Cách 1: Ta có: z = 3i 9i2 3i3 = 3i 3i 4 4 i 1 = = =2 + 2i 3i i i 1 i 1 3i 3i i Vậy số phức z có phần thực phần ảo Cách 2: Có thể giải cách chuyển dạng lượng giác sau: cos i sin = 2 cos isin Ta có: z 3 3 cos isin cos i sin 4 3 3 = 2 cos isin = 2 cos isin 2i 4 4 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tìm số phức z, biết z 3i z 9i Giải Gọi z = x + yi với x, y R Ta có: z 3i z 9i (x + yi) – (2 + 3i)(x – yi) = – 9i (x + yi) – (2x – 2yi + 3xi + 3y) = – 9i x 3y x (–x – 3y) + (3y – 3x)i = – 9i 3y 3x 9 y 1 Vậy z = – i Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho số phức z thoả mãn (1+2i)2z + z = 4i – 20 Tính môđun z 283 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học Giải Đặt z = a + bi Ta có: (3 4i) a bi a bi 4i 20 3a 3bi 4ai 4b a bi 4i 20 2a 4b 20 a 2b 10 a 4a 4b a b b Vậy z = + 3i z Bài 7: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho số phức z thỏa mãn z2 – 2(1 + i)z +2i = Tìm phần thực phần ảo z Giải Ta có: z2 2(1 i)z 2i z i z = + i Vậy phần thực 1 i z 2 1 phần ảo – 2 z Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Tìm phần ảo số phức z, biết z ( i)2 (1 2i) Giải Ta có: z ( i)2 (1 2i) = (1 2i)(1 2i) = 2i z i Phần ảo số phức z Bài : ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho số phức z thỏa mãn z (1 3i)2 Tìm môđun số phức z iz 1 i Giải Ta có: (1 3i) cos isin (1 3i)3 cos() isin() = 8 z 8 8(1 i) 4 4i 1 i z iz 4 4i i(4 4i) = 8(1 i) z iz Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z i (1 i)z Giải Giả sử z = x + yi (với x, y 284 ) Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Suy : z i x (y 1)i (1+ i)z = (1 + i)(x + yi) = (x – y) + (x + y)i Ta có z i (1 i)z x2 (y 1)2 (x y)2 (x y)2 x2 + (y2 – 2y + 1) = (x2 + y2) x2 + y2 + 2y – = x2 + (y + 1)2 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn tâm I(0; –1) có bán kính R = Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Tìm số phức z thoả mãn z z2 số ảo Giải Đặt z = a + bi (với a, b ) z = a2 – b2 + 2abi 2 a b a Từ giả thiết ta có hệ phương trình 2 a b b Vậy: z1 i, z2 i, z3 1 i, z4 1 i Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2 + 2z + 10 = Tính giá trò biểu thức A = z12 + z22 Giải Ta có: ’ = -9 = 9i phương trình z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Tìm số phức z thỏa mãn: z i 10 z.z 25 Giải Gọi z = x + yi (với x, y ) suy z – (2 + i) = (x – 2) + (y – 1)i 2 Ta có z i 10 x y 1 10 z.z 25 x2 y2 25 (1) 2 Giải hệ (1) (2) ta được: (x; y) = (3; 4) (x; y) = (5; 0) Vậy: z = + 4i z = Bài 14: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (2 – 3i)z + (4 + i) z = – (1 + 3i)2 Tìm phần thực phần ảo z Giải 285 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học Gọi z = x + yi (x, y ) Ta có (2 – 3i)z + (4 + i) z = – (1 + 3i)2 (2 – 3i)(x + yi) + (4 + i)(x – yi) = – 6i (6x + 4y) – (2x + 2y)i = – 6i 6x + 4y = 2x + 2y = x = –2 y = Vậy phần thực z –2 phần ảo z Bài 15: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Giải phương trình z2 – (1 + i)z + + 3i = tập hợp số phức Giải Ta có: = –24 – 10i = (1 – 5i) Do z2 – (1 + i)z + + 3i = z = – 2i hay z = 3i Bài 16: TNPT NĂM 2010 Cho hai số phức z1 = + 2i z2 = – 3i Xác đònh phần thực phần ảo số phức z1 – 2z2 Giải Ta có: z1 – 2z2 = (1 + 2i) – 2(2 – 3i) = 3 + 8i Suy số phức z1 – 2z2 có phần thực 3 phần ảo Bài 17: TNPT NĂM 2010 Cho hai số phức z1 = + 5i z2 = – 4i Xác đònh phần thực phần ảo số phức z1.z2 Giải Ta có: z1z2 = (2 + 5i) (3 – 4i) = – 8i + 15i – 20i2 = 26 + 7i số phức z1z2 có phần thực 26 phần ảo Bài 18: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i Giải Đặt z = x + yi (x, y ); suy z – + 4i = (x – 3) + (y + 4)i Từ giả thiết, ta có: x 32 y 2 2 x 3 y Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R = Bài 19: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 286 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)2(2 – i)z = + i + (1 + 2i)z Tìm phần thực phần ảo z Giải Ta có: (1 + i) (2 – i)z = + i + (1 + 2i)z (2i)(2 – i)z – (1 + 2i)z = + i z[4i + – – 2i] = + i z i i 1 2i 15i 10 15i 3i 2i 5 Phần thực z Phần ảo z 3 Bài 20: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Giải phương trình sau tập hợp số phức: 4z 7i z 2i zi Giải Ta có: 4z 7i z 2i z2 – (4 + 3i)z + + 7i = (với z i) zi = (4 + 3i)2 – 4(1 + 7i) = – 4i = (2 – i)2 3i i 3i i Vậy : z i hay z 2i 2 Kết hợp với điều kiện nên phương trình có nghiệm z = + i; z = + 2i Bài 21: TNPT NĂM 2009 Giải phương trình (S): 8z2 – 4z + = tập số phức Giải Ta có: = 16 – 32 = 16 = (4i) Do đó, phương trình cho có nghiệm là: 4i 1 4i 1 z1 i z2 i 16 4 16 4 Bài 22: TNPT NĂM 2009 Giải phương trình 2z2 – iz + = tập số phức Giải 2 Ta có: = i – = 9 = (3i) Do đó, phương trình cho có nghiệm là: i 3i i 3i z1 i z2 i 4 287