Sở Giáo dục và đào tạo Hà Nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học: 2009 - 2010 Môn thi: Toán Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2009 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức 1 1 4 2 2 x A x x x = + + - - + , với x0; x4 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25. 3) Tìm giá trị của x để 1 3 A =- . Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình: Hai tổ sản suất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may đợc 1310 chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may đợc nhiều hơn tổ thứ hai 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày đợc bao nhiêu chiếc áo? Bài III (1,0 điểm) Cho phơng trình (ẩn x): 2 2 2( 1) 2 0x m x m- + + + = 1) Giải phơng trình đã cho với m=1. 2) Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn hệ thức: 2 2 1 2 10x x+ = . Bài IV (3,5 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngoài đờng tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm). 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA=R 2 . 3) Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đờng tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4) Đờng thẳng qua O, vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM+QN MN. Bài V (0,5 điểm) Giải phơng trình: ( ) 2 2 3 2 1 1 1 2 2 1 4 4 2 x x x x x x- + + + = + + + ----------------------Hết---------------------- L u ý : Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh Chữ ký giám thị số 1: . Chữ ký giám thị số 2: . Đề chính thức SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10THPT NĂM HỌC: 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 09 tháng năm 2017 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = √ √ B = √ + √ , với x ≥ 0, x ≠ 25 1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh B = √ 3) Tìm tất giá trị x để A = B |x - 4| Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe không đổi toàn quãng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Bài III (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình √ + −1=5 4√ − −1=2 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0;5) với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y = x2 hai điểm phân biệt có hoành độ , (với < ) cho | | > | | Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K 1) Chứng minh bốn điểm C,N,K,I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB2 = NK.NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn (O) Chứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng Bài V (0,5 điểm) Cho số thực a, b, c thay đổi thoả mãn a ≥1, b ≥ 1, c ≥ ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 ………………… Hết…………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I Với x = (TMĐK) ta có A = 2) Ta có: B= (√ B= B= B= ) √ √ (√ √ (x ≥ 0, x≠ 25) √ + √ B= √ + √ ) √ 3) A = B|x – 4| √ √ = | √ | (x ≥ 0, x≠ 25) √ + = |x – 4| √ + = x – (x > 4, x≠ 25 ) √ + = - x + (0 ≤ x ≤ 4) x-√ -6=0 x+√ -2=0 √ =3 √ =1 x = (TMĐK) x=1 Vậy x = 1; x = TMYCBT √ √ = =- Câu II Gọi vận tốc xe ô tô x (km/h) với x > 10 ta có thời gian ô tô AB là: (h) Khi vận tốc xe máy là: x – 10(km/h) thời gian xe máy AB là: (h) Do ô tô đến sớm xe máy 36 phút tức (h) nên ta có phương trình là: - = x = 50 x > 10 nên x = 50(km/h) x = - 40 Vậy vận tốc ô tô 50km/h, vận tốc xe máy 40km/h Câu III 1) Điều kiện: HPT x≥1 y≥1 4√ + − = 20 − = 18 4√ + −1=2 4√ + −1=2 y=5 x=1 Vậy nghiệm hệ (1;5) 2) a) Giao điểm (d) với Oy A (0;5) nên (d) qua A với giá trị m b) Phương trình hoành độ giao điểm: x2 = mx + x2 - mx - = Do P = (-5) < => phương trình có hai nghiệm trái dấu, mà : < => | | = - ; | | = Mặt khác: | | > | | => - > + < m < Câu IV NIC = sd (AM + NC); NKC = sd (BM + CN); Do M N điểm m gi cung AB cung BC nên: AM = BM => NIC = NKC Vậy tứ giác CNKI nội tiếp p hay điểm C, N, K, I thuộc mộtt đường đư tròn Ta có BMN = sdMN, NBC = sdNC Mà N trung điểm m BC => BN = CN => BMN = NBC => BMN = KMN Xét tam giác NBK tam giác NMB: BMN = KBN BNK = NMB ∆NBK ~ ∆NMB (g.g g.g) = => NB2 = NK NM ((dpcm) Nối BI cắt đường ng tròn ((O) F => AF = FC Ta có BMH = HMI (vì nhìn BN = NC) NC MBI = (sdMA + SdAF) MIB = (sdMB + SdFC) ∆BMI BMI cân có MN phân giác => MN đường đư trung trựcc ccủa BI HK ⊥ BI, BH = HI, BK = KI (1) ( Mặt khác, HBF = FBC(AF AF = FC FC) ∆BHK BHK có BF phân giác, đường đư cao => ∆BHK cân tạii B => BH = BK ((2) Từ (1) (2) ta có tứ giác BHIK hình thoi góc QCK = 90 – góc CMK = 90 – góc CBN = 90 – góc BCN Suy CQ vuông góc CN nên C, D, Q thẳng th hàng Tương tự D, B, P thẳng ng hàng Lại có góc CKQ = 90 – góc CMK góc KBP = 90 – góc BMK Mà góc CMK = góc BMK nên góc CKQ = góc KBP hay KQ//DP Tương tự KP // DQ nên KPDQ hbh Có hai đường ng chéo KD PQ ccắt trung điểm đường ng nên D,E,K th thẳng hàng Câu V Ta có: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca = Dấu “=” xảy tạii a = b = c = √3 Vậy P = tạii a = b = c = √3 Giá trị lớn nhất: Vì số ố a, b, c ≥ nên có a – 1, b – ≥ ab + ≥ a + b Làm tương tự cộng ng bất b đẳng thức ta có: a + b + c ≤ + ab + bc + ca Do đó: P ≤ Vậy - ab + bc + ca = 18 = 18 đạt đượ ợc chẳng hạn a = b = 1, c = SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PTTH HÀ NỘI Năm học : 2010 – 2011 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: (2.5 điểm) Cho biểu thức A = 2 3 9 9 3 3 + + − − + − x x x x x x , với x ≥ 0 và x ≠ 9. 1/ Rút gọn biểu thức A. 2/ Tìm giá trị của x để 1 A 3 = 3/ Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài 2: (2.5 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài dường chéo 13 m và chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Bài 3: (1.0 điểm) Cho Parabol y = - x 2 và đường thẳng (d) : y= mx – 1 1/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 2/ Gọi x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ giao điểm (d) và (P). tìm giá trị của m để 2 2 1 2 2 1 1 2 x x x x x x 3+ − = Bài 4 : (3.5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A và B) lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B và C), tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại F. 1/ Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 2/ Chứng minh DA.DE = DB.DC 3/ Chứng minh · · CFD OCB= . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến đường tròn (O) 4/ Cho biết DF = R, chứng minh · tgAFB 2= Bài 5: (0.5 điểm) Giải phương trình: ( ) 2 2 4 7 4 7+ + = + +x x x x - HẾT - Họ và tên thí sinh : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Chữ ký giám thị I :. . . . . . . . . . . . . . Số báo danh : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2011 – 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) Cho x 10 x 5 A x 25 x 5 x 5 , với x 0 và x 25. 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trị của A khi x = 9. 3) Tìm x để A < 1 3 . Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) : y = 2x – m 2 + 9. 1) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d 1 và d 2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh ENI EBI và MIN = 90 0 . 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI. 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2 1 4x 3x 2011 4x . BÀI GIẢI Bài I: (2,5 điểm) Với x ≥ 0 và x 25 ta có : 1) x 10 x 5 A x 25 x 5 x 5 = ( 5) 10 5( 5) 25 25 25 x x x x x x x = 5 10 5 25 25 25 25 x x x x x x x = 10 25 25 x x x = 2 ( 5) ( 5)( 5) x x x = 5 5 x x 2) x = 9 A = 9 5 1 4 9 5 3) A < 1 3 5 5 x x < 1 3 3 15 5x x 2 20x 10x 0 100x Bài II: (2,5 điểm) Cách 1: Gọi x (ngày) (x N * ) là số ngày theo kế hoạch đội xe chở hết hàng Theo đề bài ta có: 140 5 ( 1) 140 10x x 140x + 5x 2 – 140 x - 5 = 150 5x 2 – 15x – 140 = 0 x = 7 hay x = -4 (loại) Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày. Cách 2: Gọi a (tấn) (a 0): số tấn hàng mỗi ngày, b (ngày) (b N * ) : số ngày Theo đề bài ta có : . 140 ( 5)( 1) 140 10 a b a b . 140 5 15 a b b a 5b 2 – 15b = 140 b = 7 hay b = -4 (loại). Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày. Bài III: (1,0 điểm) 1) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1 là: x 2 = 2x + 8 x 2 – 2x + 8 = 0 (x + 2) (x – 4) = 0 x = -2 hay x = 4 y(-2) = 4, y(4) = 16 Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2 là : (-2; 4) và (4; 16). 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x 2 = 2x – m 2 + 9 x 2 – 2x + m 2 – 9 = 0 (1) Ycbt (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu a.c = m 2 – 9 < 0 m 2 < 9 m < 3 -3 < m < 3. Bài IV: (3,5 điểm) 1) Xét từ giác MAIE có 2 góc vuông là góc A, và góc E (đối nhau) nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính MI. 2) Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường tròn đường kính IN. Vậy góc ENI = góc EBI (vì cùng chắn cung EI) Tương tự góc EMI = góc EAI (vì cùng chắn cung EI) Mà góc EAI + góc EBI = 90 0 ( EAD vuông tại E) góc MIN = 180 0 – (góc EMI + góc ENI) = 180 0 – 90 0 = 90 0 3) Xét 2 tam giác vuông MAI và IBN Ta có góc NIB = góc IMA (góc có cạnh thẳng góc) chúng đồng dạng AM AI IB BN AM.BN AI.BI (1) 4) Gọi G là điểm đối xứng của F qua AB. Ta có AM + BN = 2OG (2) (Vì tứ giác AMNB là hình thang và cạnh OG là cạnh trung bình của AM và BN) Ta có : AI = R 2 , BI = 3R 2 Từ (1) và (2) AM + BN = 2R và AM.BN = 2 3R 4 Vậy AM, BN là nghiệm của phương trình X 2 – 2RX + 2 3R 4 = 0 AM = R 2 hay BN = 3R 2 . Vậy ta có 2 tam giác vuông cân là MAI cân tại A và NBI cân tại B MI = R 2 R 2 2 và NI = 3R 2 3R 2 2 S (MIN) = 2 1 R 3R 3R . . 2 4 2 2 Cách khác góc AEF = 45 0 ( chắn cung AF ) mà góc AMI = góc AEI suy ra góc AMI = SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN Ngày thi 11/6/2015 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2 điểm). Cho hai biểu thức x 3 P x 2 + = − và x 1 5 x 2 Q x 4 x 2 − − = + − + với x > 0, x 4 ≠ a) Tính giá trị của P khi x = 9. b) Rút gọn biểu thức Q c) Tìm giá trị của x để P Q đạt giá trị nhỏ nhất. Bài II (2 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau đó chạy xuôi dòng 48 km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Bài III (2 điểm). 1) Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 x y x 1 4 x y 3 x 1 5 + + + = + − + = − 2) Cho phương trình ( ) 2 x m 5 x 3m 6 0− + + + = (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 Bài IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( C khác A và O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K và B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D, đường thẳng BH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. 1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CA.CB = CH.CD 3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn (O) đi qua trung điểm của DH. 4) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định. Bài V (0,5 điểm). Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn 2 2 a b 4+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = ab a b 2+ + ĐỀ THI CHÍNH THỨC Hết HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI – MÔN: TOÁN 2015-2016 Bài IV. a) Tứ giác ACMD nội tiếp C/m: góc ACD = góc AMD = 90 0 b) CA.CB = CH.CD C/m: tứ giác ANHC nội tiếp suy ra góc DAC = góc CHB(cùng bù góc NHC) suy ra tam giác CAD đồng dạng với tam giác CHB c) ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm của DH * tứ giác ACMD nội tiếp suy ra góc ADC = góc AMC, tứ giác CHMB nội tiếp suy ra góc AMC = góc HBC = góc NMA suy ra góc ADC = góc NMA nên tứ giác DNHM nội tiếp do đó góc DNH = 90 0 do góc ANB = 90 0 suy ra điều phải chứng minh. * Vì NJ là tiếp tuyến (O) suy ra góc JND = góc ONB = góc OBN = góc NDH suy ra tam giác NJD cân tại J suy ra JN = JD mà tam giác NDH vuông tại N suy ra góc JNH + góc JND = góc JDN + góc JHN = 90 0 do đó góc JNH = góc JHN suy ra tam giác INH cân tại J suy ra JN = JH do vậy JH = JD nên J là trung điểm của DH d) MN đi qua điểm cố định khi M di chuyển trên cung KB Gọi Q là giao điểm của MN và AB; OJ cắt MN tại L Ta chứng minh được MJ là tiếp tuyến của (O) suy ra MN vuông góc OJ do đó tam giác OLQ đồng dạng với tam giác OCJ (g – g) suy ra OL OQ OC OJ = suy ra OL.OJ = OQ.OC. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMJ ta có OL.OJ = OM 2 = R 2 (R là bán kính (O)) suy ra OQ.OC = R 2 suy ra 2 R OQ OC = do O, C cố định R không đổi suy ra OQ không đổi suy ra Q cố định vậy MN đi qua Q Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực dương không âm a, b thỏa 2 2 4a b+ = ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2a b a ab b a b ab ab+ = + + = + + = + Suy ra ( ) 2 4 2a b ab+ = + (do 4 2 0; , 0ab a b+ > > ) Hay 4 2 4 2a b ab a b ab+ = + ⇔ + = + Khi đó, biểu thức M được viết lại thành: 2 4 2 2 ab ab M a b ab = = + + + + (1) Mặc khác: 4 2 4 4 2 4 2ab ab+ > ⇔ + > = ( ) ( ) 2 4 2 2 4 2 2ab ab ab⇒ = + + + − (2) Từ (1) và (2) ta có: 4 2 2 2 2 4 2 2 ab ab M ab ab + − = = + − Áp Gợi ý làm thi môn Toán Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 Hà Nội năm học 2009-2010 Bài I/ (2,5 điểm) Cho biểu thức A = x 1 , với x x x4 x 2 x 2 1/ Rút gọn biểu thức A 2/ Tính giá trị biểu thức A x = 25 3/ Tìm giá trị x để A = Giải: x 1 x x 2 x 2 x2 x 1/ A = x4 x 2 x 2 ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) = x ( x 2) ( x 2)( x 2) 2/ A = x = x 2 3/ A= 25 x x 2 = 25 x = x x2 x 2 x 2 x x Bài II/ (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai tổ sản xuất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may 1310 áo Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ ngày may áo? Giải: Gọi số áo tổ may ngày x (x N*) số áo tổ may ngày x +10 ngày tổ may 3(x+10) ngày tổ may 5x Theo đề hai tổ may 1310 chiếc, ta có: 3(x+10) + 5x = 1310 3x + 30 + 5x = 1310 8x + 30 = 1310 8x = 1280 x = 1280:8 x = 160 Vậy ngày tổ may 160 áo ngày tổ may 160+10 = 170 áo Bài III/ (1,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 1/ Giải phương trình cho m = 2/ Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10 Giải: 1/ Khi m = 1: x2 – 4x + = a+b+c = + (-4) + = x1 = 1; x2 = c =3 a 2/ Để phương trình có nghiệm phân biệt: ' > ' = [-(m+1)]2 – (m2+2) = m2 + 2m + – m2 – = 2m -1 > m> Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - x1x2 (Theo Vi-et x1+x2 = b c = 2m+1 ;x1 x2 = = m2+2) a a = [2(m+1)]2 – 2(m2+2) = 4(m2 + 2m + 1) – 2m2-4 = 4m2 + 8m + – 2m2 -4 = 2m2 + 8m Theo đề x12 + x22 = 10: 2m2 + 8m = 10 2m2 + 8m – 10 = 2(m2 + 4m – 5) = 2(m2 + 5m – m – 5) = 2[m(m+5)-(m+5)] = 2(m+5)(m-1) = Được: m - lo¹i m Bài IV/ (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm bên đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C tiếp điểm) 1/ Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2/ Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vuông góc với OA OE.OA = R2 3/ Trên cung nhỏ BC đường tròn (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4/ Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM + QN MN Giải: M B P K A O E Q N C 1/ Xét ABOC có ABO = 1V (tính chất tiếp tuyến) ACO = 1V (tính chất tiếp tuyến) ABO + ACO = 1V + 1V = 2V hai góc đối diện ABOC nội tiếp 2/ AB = AC (t/c tiếp tuyến xuất phát từ điểm) ABC cân mà AO phân giác BAC (t/c tiếp tuyến xuất phát từ điểm) AO đường cao ABC hay AOBC Xét ABO vuông B có BE đường cao, theo hệ thức lượng tam giác vuông OB2 = OE.OA, mà OB = R R2 = OE.OA 3/ PK = PB (t/c tiếp tuyến xuất phát từ điểm) KQ = QC (t/c tiếp tuyến xuất phát từ điểm) Xét P APQ = AP + AQ + QP = AP + AQ + PK + KQ = AP + PK + AQ + KQ = AP + PB + AQ + QC = AB + AC = 2AB - (O) cố định AB không đổi - A cố định 4/ OMP QNO MP OM MN MN MN = = MP.QN = OM.ON = ON QN 2 MN2 = 4MP.QN MN = MP.QN MP+NQ (Theo BĐT Cauchy) Hay MP+NQ MN (ĐPCM) Bài V/ (0,5 điểm) Giải phương trình: x2 1 x2 x (2 x + x2 + 2x + 1) 4 Giải: x2 1 x2 x (2 x + x2 + 2x + 1) 4 x2 1 x x = 2x3 + x2 + 2x + 4 = x2(2x + 1) + (2x + 1) 4x2 1 x2 x x x x = (2x + 1) (x2 + 1) (2 x 1)(2 x 1) (2 x 1) = (2x + 1) (x2 + 1) (2 x 1)(2 x 1) 2 x = (2x + 1) (x2 + 1) Ta thấy: Vế trái PT với x mà x2 + > với x 2x + x PT (2 x 1)(2 x 1) 2(2 x 1) = (2x + 1) (x2 + 1) (2 x 1)(2 x 2) = (2x + 1) (x2 + 1) (2 x 1) = (2x + 1) (x2 + 1) 2x+1 = (2x + 1) (x2 + 1) (2x + 1)(x2 + 1-1) = x2 (2x + 1) = x 2x x x - thỏa mãn Kết luận: PT có nghiệm x = 0; x = Thử lại, ta thấy x = x = -Người giải đề thi: NGUYỄN NGỌC ĐẠI (Giáo viên Trường THCS Đống Đa, Hà Nội) ... x > 10 ta có thời gian ô tô AB là: (h) Khi vận tốc xe máy là: x – 10( km/h) thời gian xe máy AB là: (h) Do ô tô đến sớm xe máy 36 phút tức (h) nên ta có phương trình là: - = x = 50 x > 10 nên... góc CMK góc KBP = 90 – góc BMK Mà góc CMK = góc BMK nên góc CKQ = góc KBP hay KQ//DP Tương tự KP // DQ nên KPDQ hbh Có hai đường ng chéo KD PQ ccắt trung điểm đường ng nên D,E,K th thẳng hàng... (BM + CN); Do M N điểm m gi cung AB cung BC nên: AM = BM => NIC = NKC Vậy tứ giác CNKI nội tiếp p hay điểm C, N, K, I thuộc mộtt đường đư tròn Ta có BMN = sdMN, NBC = sdNC Mà N trung điểm m BC =>